1.平均數(shù)

• 樣本平均數(shù)

• 總體平均數(shù)

• 加權(quán)平均數(shù)

• 幾何平均數(shù)

• 中位數(shù)

將數(shù)據(jù)按照從小到大排列：

• 對(duì)于偶數(shù)個(gè)觀測(cè)值，中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均值,。

• 對(duì)于奇數(shù)個(gè)觀測(cè)值,，中位數(shù)為中間數(shù)。
  

• 眾數(shù)

出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù),，可能不止一個(gè),。

• 百分位數(shù)

至少有p%的數(shù)據(jù)小于等于該值，至少有1-p%的數(shù)據(jù)大于等于該值,。

將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,，并計(jì)算n*p%：

• 若為整數(shù)，則取該值與下一位數(shù)的平均數(shù),。

• 若不為整數(shù),，則向上取整。
  

• 中位數(shù),、四分位數(shù)等是特殊的百分位數(shù),。

1.極差與四分位數(shù)間距

• 極差：最大值與最小值之差

• 四分位數(shù)間距(Interquantile Range,IQR)：四分位數(shù)之差

極差與四分位數(shù)間距都是變異程度的簡(jiǎn)單度量，相比較而言,，極差更容易受異常值影響,，因此多采用四分位數(shù)間距,。

2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差是對(duì)數(shù)據(jù)總體變異程度的度量。

• 總體方差:

• 樣本方差:

其中樣本方差為無(wú)偏方差,。

• 無(wú)偏性：統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值的均值等于該統(tǒng)計(jì)量

證明：其中μ為總體均值,，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差

對(duì)于隨機(jī)變量X

故有

同理，由于

故

標(biāo)準(zhǔn)差（s）：方差的算術(shù)平方根,。

標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（變異系數(shù)）：標(biāo)準(zhǔn)差除以平均數(shù),。

1.分布形態(tài)的度量——偏度

偏度：若隨機(jī)變量的三階矩存在,，則偏度定義如下：

當(dāng)偏度大于0時(shí),，稱為右偏，偏度小于零稱為左偏,。

2.切比雪夫定理

切比雪夫定理：對(duì)于任意分布,，與均值距離z個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的之內(nèi)的數(shù)據(jù)所占的比例至少為1-1/z²，其中z>0,。

切比雪夫定理來(lái)源于切比雪夫不等式：

或

針對(duì)連續(xù)變量的切比雪夫不等式證明：

要證

只需

即

由于

且

故原命題得證,。

3.異常值檢測(cè)

異常值檢測(cè)有兩種簡(jiǎn)單的方法：

1.z-score法

由于日常數(shù)據(jù)大多近似服從正態(tài)分布，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知,，數(shù)據(jù)位于z=±3之內(nèi)的的概率為99.87%,，因此，對(duì)于z位于該區(qū)間之外的數(shù)據(jù)認(rèn)為是異常值,。

2.四分位數(shù)間距法

1.五數(shù)概括法

用最大值最小值中位數(shù)以及上下四分位數(shù)五個(gè)數(shù)字對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概括的方法,。

2.箱線圖

以上數(shù)據(jù)為某城市100家餐廳的代表餐品價(jià)格以及餐廳的質(zhì)量評(píng)級(jí)，下面使用箱線圖描述不同等級(jí)的餐廳價(jià)格分布,。其中：

• 箱內(nèi)線：中位數(shù)

• 箱子上邊界：第三四分位數(shù)Q3

• 箱子下邊界：第一四分位數(shù)Q1

• 上邊界線：min{max(X),Q3+1.5IQR}

• 下邊界線：max{min(X),Q1-1.5IQR}

• 上下邊界外的點(diǎn)：異常值

1.協(xié)方差

協(xié)方差是兩隨機(jī)變量線性相關(guān)性的度量,，協(xié)方差絕對(duì)值越大，兩隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),，協(xié)方差為正數(shù)表明兩隨機(jī)變量正相關(guān),，協(xié)方差為負(fù)表明兩隨機(jī)變量負(fù)相關(guān)。對(duì)于一組容量為N的數(shù)據(jù),，其觀測(cè)值為(X₁Y₁),(X₂Y₂)...(X_NY_N),其協(xié)方差定義如下：

總體協(xié)方差：

樣本協(xié)方差為總體協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì)量，其證明如下：

2.相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差的問(wèn)題在于受數(shù)據(jù)大小影響,，例如,，將所有數(shù)據(jù)擴(kuò)大5倍，則線性相關(guān)性不變但是協(xié)方差絕對(duì)值增大,，為避免這種現(xiàn)象,，我們采用相關(guān)系數(shù)描述相關(guān)性。

總體相關(guān)系數(shù)：

樣本相關(guān)系數(shù)：

• 樣本相關(guān)系數(shù)不是總體相關(guān)系數(shù)的無(wú)偏估計(jì),。

• 相關(guān)系數(shù)取值范圍為[-1,1],，其絕對(duì)值越接近1線性相關(guān)性越強(qiáng),。

相關(guān)系數(shù)取值范圍的證明：

由柯西-施瓦茨不等式

易證明相關(guān)系數(shù)取值范圍為[-1,1]

柯西-施瓦茨不等式簡(jiǎn)單證明：

構(gòu)造一個(gè)恒不為負(fù)的二次函數(shù)

由于其恒為非負(fù)，故有判別式小于等于0,，即：

原命題得證,。