|
在《如何用一張1×1的紙折出正七邊形？ 》一文中,，我們知道了一張1×1的紙可以玩出怎樣的花樣：折出長度比等于1： 當(dāng)然,，如果除了紙和雙手以外，你還有更多的工具,，創(chuàng)造出一些驚人的藝術(shù)品也不是不可能,，就像這樣： Credit：Meenakshi Mukerji 這次我們就暫不討論剪紙工藝的問題，而是繼續(xù)暢游Origamics的世界,，用數(shù)學(xué)的方法去虐手,。 認(rèn)識芳賀 芳賀和夫（Kazuo Haga）被認(rèn)為是折紙幾何的開創(chuàng)者,，筑波大學(xué)（University of Tsukuba）教授，同時(shí)在植物分類學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出貢獻(xiàn),。 芳賀生于1934年，作為一名具有探索精神的研究者,，早些時(shí)候他就發(fā)現(xiàn)了折紙過程中的一些數(shù)學(xué)結(jié)論,，但并沒有作為研究重點(diǎn)去關(guān)注。 直到之后與其他數(shù)學(xué)家的交流中,，他提到了自己的這些“小發(fā)現(xiàn)”,，沒想到受到了其他人的高度贊賞，從此就一發(fā)不可收拾,，在折紙的路上越走越遠(yuǎn),。不僅提出了Origamics這一學(xué)科領(lǐng)域，還在1992年第三次折紙年會上,，用自己的名字命名了芳賀第三定理?，F(xiàn)在，我們通常把折紙幾何中的三個(gè)基本定理分別稱為芳賀第一,、第二和第三定理,。 2008年，芳賀出版了圖書《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》（折紙幾何：用折紙來探索數(shù)學(xué)）,，里面包含了更多有趣的結(jié)論,，圖文并茂地展示了這個(gè)年輕學(xué)科里的內(nèi)涵和無限的可能性。 《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》 芳賀第一定理 芳賀第一定理是教你如何折出三等分點(diǎn)的定律,。 關(guān)于芳賀最早的“小發(fā)現(xiàn)”,，經(jīng)過歸納之后變成了我們現(xiàn)在所說的芳賀第一定理，它巧妙地把中點(diǎn),、三等分點(diǎn),、3:4:5直角三角形融合到了一張1×1的白紙上。 說到折紙幾何,，這一定理無疑可以幫助我們真正理解其中的精髓,。 下面就請同學(xué)們緊張地拿出準(zhǔn)備好的1×1白紙，跟著我一起折吧,。 第一步：將紙對折,，找到一邊的中點(diǎn)，我們叫它P點(diǎn) 第二步：找到P點(diǎn)右下對應(yīng)的正方形角點(diǎn)D點(diǎn) 第三步：折疊使D點(diǎn)與P點(diǎn)重合,，同時(shí)正方形底邊與臨邊相交于Q點(diǎn) 這時(shí),， Q點(diǎn)是正方形臨邊的三等分點(diǎn)，如下圖： P是AB的中點(diǎn)時(shí),，我們得到BQ=2QC 利用相似三角形的性質(zhì),，我們可以輕易證明這一結(jié)論,，但關(guān)于這個(gè)圖形還有更多值得注意的地方。 通過計(jì)算,，我們發(fā)現(xiàn)AR：DR=3:5,。由于是翻折，所以DR=PR,，再加上∠A是直角,，聰明的你一定發(fā)現(xiàn)了直角△PAR是著名的勾股三角形（三條邊的長度之比等于3:4:5），不知你有沒有和我一樣,，很驚喜很意外呢,！ 好了，根據(jù)芳賀第一定理,，簡單兩步我們就得到了三等分點(diǎn)（QC=1/3）,，不要就此止步，我們可以順著這個(gè)思路繼續(xù)走下去,，看看有沒有其他的隱藏成就等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn),。 多走一步！ 答案是肯定的,。要嘗試其他可能,，第一反應(yīng)大概就是讓P點(diǎn)在邊上移動(dòng)了，芳賀也確實(shí)是這么做的,。 有些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的小伙伴們掐指一算,，就不難發(fā)現(xiàn)：無論P(yáng)在邊上怎么移動(dòng)，AP,，BQ,，CQ還有另外幾條線段之間都有相同的關(guān)系： 如果正方形邊長是1，其他線段之間的關(guān)系 簡單取幾個(gè)數(shù)試試,，當(dāng)P點(diǎn)分別是2等分點(diǎn),、3等分點(diǎn)、5等分點(diǎn)的時(shí)候,，對應(yīng)的Q點(diǎn)就是3等分點(diǎn),、2等分點(diǎn)、3等分點(diǎn),。 至此我們就完整回答了上篇文章里讀者提出的找3等分點(diǎn)的問題,。 關(guān)于芳賀第二、第三定理,，本文就不展開贅述了,，折紙到現(xiàn)在已經(jīng)不易，且行且珍惜。后面的內(nèi)容數(shù)學(xué)性較強(qiáng),，歡迎有興趣的讀者繼續(xù)試探,。 等分等分等分！ 按照上面的辦法,，要多等分線段的話,，我們首先要找到對應(yīng)的P點(diǎn)。然而,，當(dāng)你需要找例如6等分的Q點(diǎn)時(shí),，你會發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的AP需要等于5/7，6等分點(diǎn)都沒找著,，我們上哪去找5/7的點(diǎn)呢？真是讓人頭大,。 這下總算終于輪到新方法登場了,，接下來的步驟同樣簡單，卻可以幫你找到n等分線段（當(dāng)然n是正整數(shù)）的辦法,。想知道怎么做到的,？迭代！ 首先我們來看基本操作,。 對于CE上任意一個(gè)點(diǎn)A,， 第一步：沿CD折疊，得到折痕CD 第二步：沿A點(diǎn)對折,，得到折痕AB 第三步：沿EB折疊,，得到交點(diǎn)X 第四步：沿X點(diǎn)對折，得到F,、G兩點(diǎn) 基本操作完成,。 熟悉的味道，相似的三角,！~ 我們找出△XFE和△BAE這對相似三角形,，結(jié)合下圖寫出那個(gè)偉大的等式。 聰明的你會發(fā)現(xiàn),，如果像圖中這樣表示長度,，設(shè)正方形邊長為1，那么一定有 EF/AE = XF/AB 也就是： x/(1/(n-1)) = (1-x)/1 化簡：x=1/n 是的 x=1/n ,！如果你沒有看出其中的玄機(jī),，可以嘗試帶入具體的數(shù)字試試看。
堅(jiān)持到這里，不知道你有沒有和小編一樣恍然大悟的感覺呢,？這就是迭代的力量,，通過重復(fù)完成同一個(gè)基本操作，我們可以找出線段上的n等分點(diǎn)（只要你的紙足夠大）,。 那么,，折紙系列到此就結(jié)束了，撒花,！對于有興趣的小伙伴們,，相信你們已經(jīng)領(lǐng)會到了個(gè)中奧妙，大門已經(jīng)開啟,，各位各自前行就好,。不太感冒的小伙伴權(quán)當(dāng)是一種嘗試，世界還很大,，我們之后會繼續(xù)陪你探索的,，下次見。 參考資料： https://en./wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms https://www./worldscibooks/10.1142/7023 https://ja./wiki/%E8%8A%B3%E8%B3%80%E5%92%8C%E5%A4%AB https:///origami#intersecting-planes 來源： |
|
|
的兩段,、三等分一個(gè)角、得到正n邊形（n=費(fèi)馬質(zhì)數(shù)）,。
