人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----矩陣
今天復(fù)習(xí)矩陣,，作為程序員,，矩陣在程序中的應(yīng)用想必或多或少都接觸過，特別是在圖像變化算法上的應(yīng)用,。 一,、矩陣 1. 定義 矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣,。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。（此定義來自百度百科） 下面通過一個方程組來聲明一個矩陣（數(shù)學(xué)符號在PC上書寫真是很麻煩,，不知道誰有好用的公式符號書寫軟件推薦下）： 以上是一個三元一次方程組,，根據(jù)矩陣的來源定義，有矩陣A如下圖 2. 矩陣的運(yùn)算 2.1. 矩陣的加法 從上圖中我們可以看出,，矩陣A和矩陣B相加,，它們都是2 x 2的矩陣，相加就是兩個矩陣對應(yīng)的元素值的相加,，比如：矩陣A的一行一列元素3和矩陣B的一行一列的元素-7相加,，得到新的矩陣的一行一列元素-4,，以此類推計算出一個新的矩陣。上圖中A+B計算的結(jié)果和B+A是一樣的,，符合加法的交換律,。 重新定義兩個矩陣A[2x2]和B[2x3]： 矩陣A是2行2列，矩陣B是2行3列,，如果A+B,，根據(jù)上面兩個矩陣相加的計算法則，會發(fā)現(xiàn)矩陣B的第三列元素沒有辦法相加,。所以結(jié)論是： 當(dāng)兩個矩陣相加的時候,，這兩個矩陣的維數(shù)（行列個數(shù)）必須是相同的，比如要么都是 2x2,，要么都是3x3等等,。 同樣的如果是A+B+C三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是一樣的。2.2. 矩陣的減法 上圖可以看出,，矩陣A-B的計算就是對應(yīng)的每個元素的相減,，而且有個規(guī)律是： 矩陣A-B = -(B-A)，同矩陣加法一樣,，做減法的兩個或者多個矩陣的維數(shù)（行列個數(shù)）必須是一樣的,，否則無法進(jìn)行減法運(yùn)算。2.3. 矩陣的乘法 有矩陣A和B,，兩個矩陣相乘,，A的a11（表示矩陣的第一行第一列元素）、a12 分別和B的第一列的兩個元素相乘后相加,，作為新的矩陣的a11元素值,。 上圖就很清楚的描述了，矩陣乘法的計算規(guī)則,。 假設(shè)有兩個矩陣C和D,，分別是C·D和D·C，很明顯計算出的結(jié)果不相同,，所以通常情況下矩陣的乘法是不滿足：乘法交換律的,，即：C·D≠D·C 如上圖，你會發(fā)現(xiàn)也不是任何兩個矩陣都能夠相乘,，只有乘數(shù)矩陣A的列數(shù)和被乘矩陣B的行數(shù)相同的時候,，兩個矩陣才能相乘。 3. 單位矩陣 在介紹單位矩陣之前,，說介紹什么是方陣,，顧名思義，方陣就是方的,，行數(shù)和列數(shù)一樣的矩陣,，比如： 像上圖這樣,，行列一樣的矩陣就是方陣，這很直觀也很好理解,。單位矩陣,，是一直特殊的方陣，它的所有元素由0和1組成,，并且對角線的元素為1,其余元素為0,，當(dāng)然一階的單位矩陣只含有一個元素1：I? = [1]。
以上四個方陣都是單位矩陣,，分別是I?二階單位矩陣,、I?三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣,。單位矩陣的階數(shù)可以無限擴(kuò)大,，比如n階的單位矩陣:
單位矩陣有一個特殊重要的性質(zhì)，I·A = A,，A·I = A,，這里的矩陣A是一個和單位矩陣同個維數(shù)的方陣，不是方陣無法和單位矩陣相乘,，這個性質(zhì)很容易證明,，舉個例子就知道了：
反過來A·I 也等于A4. 逆矩陣
如上圖，如果一個矩陣可逆,，那么就會有性質(zhì)：A^-1·A=I,，I是一個單位矩陣。逆矩陣的求法,，如上圖所示,，逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數(shù)值 * 矩陣A的伴隨矩陣。當(dāng)矩陣A的行列式如果等于0,，即ad - bc = 0,，或者 a/c = b/d，那么這個矩陣不存在逆矩陣（行列式的倒數(shù)1/|A|沒有定義）,，我們也稱這樣的矩陣叫 “奇異矩陣”,。 （未完待續(xù)。,。,。。）
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