從數(shù)軸上看|a|表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,；|a-b|表示數(shù)a,、數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離。

|a-b| 的幾何意義就是數(shù)軸上數(shù)a,、數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離,。

|x-a1|+|x-a2| 就表示數(shù)x的點(diǎn)到數(shù)a1、a2兩點(diǎn)的距離和,，當(dāng)a1≤x≤a2時(shí),，距離和最小且為a1、a2兩點(diǎn)之間的距離|a1-a2|,。

|x-a1|+|x-a2|+|x-a3| 就表示數(shù)x的點(diǎn)到數(shù)a1、a2,、a3三點(diǎn)的距離和,，當(dāng)x=a2時(shí)，距離和最小且為a1,、a3兩點(diǎn)之間的距離|a1-a3|,。

以此類推,，求數(shù)x在到偶數(shù)個(gè)點(diǎn)的距離和,，x在最中間兩個(gè)點(diǎn)之間時(shí)，距離和最??；求數(shù)x在到奇數(shù)個(gè)點(diǎn)的距離和，x與最中間一個(gè)點(diǎn)重合時(shí),，距離和最小,。

01 典型例題講解

例1. 在學(xué)習(xí)絕對(duì)值后，我們知道,，|a|表示數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．

如：|5|表示5在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．而|5|=|5﹣0|,，即|5﹣0|表示5、0在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．類似的,，有：|5﹣3|表示5,、3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|5+3|=|5﹣（﹣3）|,，所以|5+3|表示5,、﹣3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．

一般地,，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,、b,，那么A、B之間的距離可表示為|a﹣b|．

請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是________,；數(shù)軸上P,、Q兩點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)P表示的數(shù)是2,，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是________．

（2）點(diǎn)A,、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x,、﹣3,、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為________（用含絕對(duì)值的式子表示）,；滿足|x﹣3|+|x+2|=7的x的值為________．

（3）試求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．

【分析】

（1）數(shù)軸上2,、3兩點(diǎn)相減距離為1，點(diǎn)Q可能在P點(diǎn)左右兩側(cè),，求出P點(diǎn)的數(shù),。

（2）表示出A到B的距離與A到C的距離之和；|x﹣3|+|x+2|=7,，考慮x的范圍,，寫出相應(yīng)的取值。

（3）通過推斷,，得出當(dāng)50≤x≤51時(shí),，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有最小值。

【解答】

解：（1）數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是3﹣2=1,；

數(shù)軸上P、Q兩點(diǎn)的距離為3,，點(diǎn)P表示的數(shù)是2,，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是2﹣3=﹣1或2+3=5；

故答案為：1,，﹣1或5,；|x+3|+|x﹣1|，﹣3或4．

（2）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+3|+|x﹣1|,，

∵|x﹣3|+|x+2|=7,，

當(dāng)x＜﹣2時(shí)，3﹣x﹣x﹣2=7,，x=﹣3,，

當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí),，x不存在．

當(dāng)x＞3時(shí)，x﹣3+x+2=7,，x=4．

故滿足|x﹣3|+|x+2|=7的x的值為﹣3或4．

故答案為： |x+3|+|x﹣1|,，﹣3或4．

（3）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|=（|x﹣1|+|x﹣100|）+（|x﹣2|+|x﹣99|）+…+（|x﹣50|+|x﹣51|）表示數(shù)x的點(diǎn)到1,2,3,…,100這100個(gè)點(diǎn)的距離和。

|x﹣1|+|x﹣100|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示1,、100兩點(diǎn)的距離之和,，當(dāng)1≤x≤100時(shí)，|x﹣1|+|x﹣100|有最小值為|100﹣1|=99,；

|x﹣2|+|x﹣99|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示2,、99兩點(diǎn)的距離之和，當(dāng)2≤x≤99時(shí),，|x﹣2|+|x﹣99|有最小值為|99﹣2|=97,；

…

|x﹣50|+|x﹣51|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示50、51兩點(diǎn)的距離之和,，

當(dāng)50≤x≤51時(shí),，|x﹣50|+|x﹣51|有最小值為|51﹣50|=1．

所以，當(dāng)50≤x≤51時(shí),，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值為：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500

02 舉一反三練習(xí)

1. 同學(xué)們都知道，|4﹣（﹣2）|表示4與﹣2的差的絕對(duì)值,，實(shí)際上也可理解為4與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離,；同理|x﹣3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：

（1）求|4﹣（﹣2）|=________；

（2）若|x﹣2|=5,，則x=________,；

（3）請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．

2. 同學(xué)們都知道,，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對(duì)值,，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：

（1）求|5-（-2）|=________；

（2）找出所有符合條件的整數(shù)x,，使得|x+5|+|x-2|=7這樣的整數(shù)是________,；

（3）對(duì)于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|是否有最小值,？如果有,，寫出最小值；如果沒有,，說明理由．

03 參考答案解析

1. 【答案】

（1）6

（2）-3

（3）解：由題意可知：|1﹣x|+|x+2|表示數(shù)x到1和﹣2的距離之和,，

∴﹣2≤x≤1，∴x=﹣2或﹣1或0或1

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì);正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù),、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),、0的絕對(duì)值是0可求解：

（1）由絕對(duì)值的性質(zhì)可得原式=6,；

（2）由絕對(duì)值的性質(zhì)可得x﹣2=±5，解方程即可求解,；

（3）由絕對(duì)值的意義可知|1﹣x|+|x+2|表示數(shù)x到1和﹣2的距離之和,，所以可得﹣2≤x≤1，寫出范圍內(nèi)的整數(shù)即可,。

2. 【答案】

（1）7

（2）-5,，-4，-3,，-2,，-1，0,，1,，2

（3）解：|x?3|+|x?6|有最小值，最小值是3,，

理由：當(dāng)x>6時(shí),，|x?3|+|x?6|=x?3+x?6=2x?9>3，

當(dāng)3?x?6時(shí),，|x?3|+|x?6|=x?3+6?x=3,，

當(dāng)x<3時(shí)，|x?3|+|x?6|=3?x+6?x=9?2x>3,，

故|x?3|+|x?6|有最小值,，最小值是3.

∴|x-3|+|x-6|有最小值，為3

【分析】

（1）根據(jù)題目中的式子和絕對(duì)值可以解答本題,。|5-（-2）|=|5+2|=7

（2）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行討論：當(dāng)x>2時(shí),；當(dāng)?5?x?2時(shí)；當(dāng)x<?5時(shí),，分別計(jì)算求出符合題意的整數(shù),。

解：當(dāng)x>2時(shí)，|x+5|+|x?2|=x+5+x?2=7,，解得,，x=2與x>2矛盾，故此種情況不存在,，

當(dāng)?5?x?2時(shí)，|x+5|+|x?2|=x+5+2?x=7,，故?5?x?2時(shí),，使得|x+5|+|x?2|=7，故使得|x+5|+|x?2|=7的整數(shù)是?5,、?4,、?3,、?2、?1,、0,、1、2,，

當(dāng)x<?5時(shí),，|x+5|+|x?2|=?x?5+2?x=?2x+3=7，得x=?5與x<?5矛盾,，故此種情況不存在,，

故答案為：?5、?4,、?3,、?2、?1,、0,、1、2,；

（3）根據(jù)題意,，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答。當(dāng)x>6時(shí),；當(dāng)3?x?6時(shí),；當(dāng)x<3時(shí)，求出最小值即可,。