第五講  解讀絕對值

絕對值是初中代數中的一個基本概念,，是學習相反數,、有理數運算及后續(xù)算術根的基礎．絕對值又是初中代數中的一個重要概念，在解代數式化簡求值、解方程（組),、解不等(組)等問題有著廣泛的應用,，全面理解、掌握絕對值這一概念,，應從以下方面人手：

l．去絕對值的符號法則：

2．絕對值基本性質

①非負性： ,；② ；③ ,；④ ．

3．絕對值的幾何意義

    從數軸上看,， 表示數 的點到原點的距離(長度，非負),； 表示數 ,、數 的兩點間的距離．

例題

【例1】(1)已知 ，且 ,，那么 ＝       ．

    (北京市“迎春杯”競賽題)

(2)已知 是有理數,， ，且 ,，

那么               ．

    ( “希望杯”邀請賽試題)

思路點撥  (1)由已知條件求出 的值,，注意條件 的約束；

(2)若注意到9+16＝25這一條件,，結合絕對值的性質,，問題可獲解．

【例2】 如果 是非零有理數，且 ,，那么 的所有可能的值為(    )．

  A．0    B． 1或一l    C．2或一2    D．0或一2

    (山東省競賽題)

    思路點撥  根據 的符號所有可能情況,，脫去絕對值符號，這是解本例的關鍵

【例3】已知 互為相反數,，試求代數式： 的值．

    (“五羊杯”競賽題)

思路點撥  運用相反數,、絕對值、非負數的概念與性質,，先求出 的值．

   【例4】化簡

    (1) ,；    (2) ；    (3) ．

    思路點撥  (1)就 兩種情形去掉絕對值符號,；(2)將零點1,，3在同一數軸上表示出來，就 ,，1≤x<3,，x≥3三種情況進行討論；(3)由 ,，得 ．

 【例5】已知 為有理數,，那么代數式  的取值有沒有最小值,？如果有，試求出這個最小值,；如果沒有,，請說明理由．

思路點撥  在有理數范圍變化， 的值的符號也在變化,，解本例的關鍵是把各式的絕對值符號去掉,，為此要對 的取值進行分段討論，在各種情況中選取式子的最小值．

注：①我們把大于或等于零的數稱為非負數,，現階段 ,、 是非負數的兩種重要形式，非負數有如下常用性質：

    (1) ≥0,，即非負敷有最小值為0,；

    (2)若 ，則

    ②形如(2)的問題稱為多個絕對值問題,，解這類問題的基本步驟是：求零點,、分區(qū)間、定性質,、去符號,、即令各絕對值代數式為0，得若干個絕對值為零的點,，這些點把數軸分成幾個區(qū)間,，再在各區(qū)間內化簡求值即可．請讀者通過本例的解決，仔細體會上述解題步驟．

學力訓練

1．若有理數 ,、y滿足2002(x一1)² + ,，則         ．

2．已知 ，且 ,，那么 =       ．

3．已知有理數 在數軸上的對應位置如圖所示：

則 化簡后的結果是      ．湖北省選拔賽題) 

4．若 為有理數,，那么，下列判斷中：

  (1)若 ,，則一定有 ,； (2)若 ，則一定有 ,；  (3)若 ,，則一定有 ；(4)若 ,，則一定有 ．正確的是          (填序號)

5．已知數軸上的三點A,、B、C分別表示有理數 ,，1,，一l，那么 表示(    )．

    A．A,、B兩點的距離    B．A,、C兩點的距離

    C．A、B兩點到原點的距離之和    D． A,、C兩點到原點的距離之和

(江蘇省競賽題)

6．已知 是任意有理數,，則 的值是(    )．

  A．必大于零  B．必小于零  C必不大于零  D．必不小于零

7．若 與 互為相反數，則 與 的大小關系是(    )．

    A．     B．   C．    D．

8．如圖,，有理數 在數軸上的位置如圖所示,，則在 中，負數共有（   ）

A． 1個    B．2個    C．3個  D．4個  

9．化簡：

    (1) ,；  (2) ．

10．求滿足 的非負整數對(a,，b)的值．

    (全國初中聯賽題)

11．若 ，則      ,；若 ,，則        ．

12．能夠使不等式 成立的 的取值范圍是       ．

l3． 與 互為相反數，且 ,，那么 ＝       ．

14．設 分別是一個三位數的百位,、十位和個位數字，并且 ,，則 可能取得的最大值是       ．

    (江蘇省競賽題)  ．

15．使代數式 的值為正整數的 值是(    )．

 A．正數    B．負數    C．零   D． 不存在的

16．如果 ,，則 等于（    ）．

A．2        B．3           C．4        D．5

17．如果 ，那么代數式 在 的最小值是（    ）．

A．30        B．0         C．15      D．一個與 有關的代數式

18．設 ,， ,，則 的值是（    ）．

A．-3       B．1      C．3或-1         D．-3或1

19．有理數 均不為零，且 ,，設 ,，

試求代數式 的值．

20．若 為整數，且 ,，求 的值．

21．已知 ,，設 ，求M 的最大值與最小值．

22．已知 ,，

求代數式 的值．

參考答案