一,、費(fèi)馬點(diǎn)的由來(lái)

費(fèi)馬(Pierre de Fermat,，1601—1665)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．費(fèi)馬一生從未受過(guò)專門的數(shù)學(xué)教育,，數(shù)學(xué)研究也不過(guò)是業(yè)余愛(ài)好． 然而,，在17世紀(jì)的法國(guó)還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵．他是解析幾何的發(fā)明者之一,；概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人；以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人． 一代數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬堪稱是17世紀(jì)法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家． 尤其他提出的費(fèi)馬大定理更是困惑了世間智者358年．費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問(wèn)題：在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P,，使 PA+PB+PC之值為最小,，人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

二、探索費(fèi)馬點(diǎn)

1． 當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°的時(shí)候,，則費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)．

下面來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論： 如圖1,，對(duì)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)C′,，使得AC′=AC,， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 即把△APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換． 則△APC≌△AP′C′,，

∵∠BAC≥120°,，∴∠PAP′≤60°． ∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′,，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC． 所以A是費(fèi)馬點(diǎn)．

2． 如果三個(gè)內(nèi)角都在120°以內(nèi),，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為 120°的點(diǎn)．

如圖2,，以B點(diǎn)為中心,，將△APB旋轉(zhuǎn)60°到△A′BP′． 因?yàn)樾D(zhuǎn)60°,，且PB=P′B,，所以△P′PB為正三角形． 因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知當(dāng)A′,，P′,，P，C四點(diǎn)共線時(shí),，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC為最?。?/p>

當(dāng)A′，P′,，P共線時(shí),，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°． 同理,，若P′,，P，C共線時(shí),，則∵∠BPP′=60°,， ∴∠BPC=120°．

所以點(diǎn)P為滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)．

二、費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題

等腰直角三角形,已知在直角平分線上的一點(diǎn)P,PA+PB+PC最小值為√6+√2,，求直角邊的長(zhǎng)度,？

解答：如圖

將三角形PAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得三角形DEC,，則角PCD=60度，三角形PCD是正三角形,，PC=PD且DE=PA,，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,，當(dāng)點(diǎn)E,、D、P,、B在一條直線上時(shí),，DE+PD+PB最小，這時(shí)∠BPC=120°,，∠APC=∠EDC=120°

下證這時(shí)的點(diǎn)P就在角ACB的平分線上,。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC,，又有∠EDC=∠BPC=120°,，

得三角形CDE、CPA,、CBP全等,，∠ECD=∠ACP=∠BCP，點(diǎn)P在∠ACB的平分線上,。

所以點(diǎn)P是這樣一個(gè)點(diǎn)：它使∠APC=∠BPC=∠APB=120度（這個(gè)點(diǎn)叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn)）,。

延長(zhǎng)CP交AB于F，則CF垂直AB,，且由三角形CPA,、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度,，

設(shè)PF=x,，則PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x,，PC=(√3-1)x,，有 2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6,。所以 AF=CF=√2,，AC=√2*CF=√2*√2=2。

三,、費(fèi)馬點(diǎn)與中考試題