有效數(shù)字的意義與運(yùn)用的探討

231500 安徽省廬江二中 束義福

一、有效數(shù)字

(一)有效數(shù)字概念的引入～是從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原始記錄開始的,。

原始數(shù)據(jù)記錄的原則應(yīng)是:1,、盡量準(zhǔn)確地反映出被測(cè)物理量的大小,2、正確地反映出測(cè)量儀器的準(zhǔn)確度,3,、反映出在給定測(cè)量儀器的條件下～測(cè)試者已盡到了最大的努力,。但是～在任何一個(gè)物理量的測(cè)量中～無論使用精確度多么高的儀器～所得的結(jié)果與真值總是有差別的～只是近似的。例如用尺子測(cè)量某一物體長度時(shí)～尺子再精確～它總是有最小刻度的～而物體的長度不一定恰好是最小刻度的整數(shù)倍～這樣不夠一個(gè)最小刻度的部分就得靠人的主觀估計(jì)來確定～如某尺子的最小刻度為毫米～有人測(cè)長度時(shí)其讀數(shù)為4.54厘米～其中前兩位毫米的整數(shù)部分是準(zhǔn)確的,、可靠的～后一位是我們估計(jì)出來的～也可能因觀察者的位置不同～操作的熟練程度不同～不同的人會(huì)估計(jì)出不同的結(jié)果～或4.53厘米或4.55厘米均有可能～因此這最后一位數(shù)字是不可靠的～但帶有近似的～有參考價(jià)值～但我們估計(jì)出來后～仍有意義～在運(yùn)算中是有效的～因此～人們把這種帶有一位不可靠數(shù)字,或叫欠準(zhǔn)數(shù)字,的近似數(shù)字叫做有效數(shù)字,。

上述L=4.54厘米～有效數(shù)字表明了～在給定測(cè)量儀器——毫米尺的條件下～已經(jīng)用最大的努力和最妥善的方法測(cè)量到被測(cè)物體的長度L至0.01厘米的數(shù)位。

(二)直接有效數(shù)字和間接有效數(shù)字,。

通過相應(yīng)的儀器～直接測(cè)量得到的～并從測(cè)量儀器的精確度以下再估計(jì)一位讀出的數(shù)字～稱為直接有效數(shù)字,。通過若干直接有效數(shù)字的運(yùn)算而得的數(shù)字～稱為間22接有效數(shù)字。例如～單擺實(shí)驗(yàn)中～通過公式g=4πL/T去測(cè)量某地的重力加速度g～就是先對(duì)擺長L和周期T進(jìn)行直接測(cè)量～才能通過計(jì)算～間接測(cè)量g的大小,。通過有效數(shù)字判斷測(cè)量儀器及其精確度,最小刻度,。有效數(shù)字的最后一位～不僅與誤差有聯(lián)系～還與測(cè)量的精確度相聯(lián)系～因此～我們利用測(cè)量結(jié)果～通過有效數(shù)字判斷測(cè)量儀器及其精確度,最小刻度,,。如測(cè)得電流為2.51安～其電流表的精度,最小刻度,為0.1安～測(cè)得質(zhì)量為56.745克～其天平的最小感量為0.01克,如測(cè)量31.560g～則可判斷測(cè)量儀器是0.01克的物理天平,。

對(duì)于有效數(shù)字來說～小數(shù)點(diǎn)右邊最末位～是不能隨便增、減“O”這個(gè)數(shù)字的～盡管它們?cè)跀?shù)學(xué)上是等價(jià)的,。只有直接有效數(shù)字才可以直觀地反映出測(cè)量儀器的精確度～而間接有效數(shù)字則無這個(gè)功能,。例如實(shí)驗(yàn)單擺測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)中～測(cè)量到100個(gè)周期100T=248.70秒～是直接有效數(shù)字～只有它才能夠直觀地反映出使用秒表的精度為0.1秒;而100個(gè)周期的平均值T=248.70?100=2.4870(秒)～是通過觀察到的周期數(shù)100和直接有效100數(shù)字248.70秒的運(yùn)算而得到的～它是間接有效數(shù)字～不具有直觀反映測(cè)量儀器精確度的功能～因此不能由它判斷出測(cè)量儀器的精確度為0.001秒。

(三)展延物理量的測(cè)量寬度～可以增加直接有效數(shù)字的位數(shù)～降低測(cè)量的相對(duì)誤差,雖然不能降低直接有效數(shù)字的絕對(duì)誤差～卻提供了降低間接有效數(shù)字絕對(duì)誤差的可能性,。相對(duì)誤差的降低～表明了測(cè)量準(zhǔn)確度的提高,盡管二者絕對(duì)誤差相等,,。相對(duì)誤差的降低和直接有效數(shù)字位數(shù)的增加相聯(lián)系的～這樣間接有效數(shù)字的位數(shù)也相應(yīng)增加～即間接有效數(shù)字的相對(duì)誤差也就降低了,。對(duì)于一個(gè)有確定值的物理量N,例如～N可以為物質(zhì)的密度、單擺的周期,、物體長度等等,來說～由于?X=ηN,。所以其絕對(duì)誤差為?X必然隨著相對(duì)誤差η的下降而減小。值得一提的是～展延物理量提供了降低間接有效數(shù)字絕對(duì)誤差的可能性,。這里之所以提及可能性～是因?yàn)閺奈锢韺?shí)驗(yàn)的角度來考慮問題的,。測(cè)量寬度的展延必定要受到實(shí)際條件的種種限制,不適當(dāng)?shù)亍o限地展延物理量的測(cè)量寬度在實(shí)際上將失去意義～而且這里還存在著各個(gè)測(cè)量因子的直接有效數(shù)字的相互配合問題,。

(四)兩種平均值的區(qū)別,。

測(cè)量連續(xù)物理量中的相同子元素的平均值和對(duì)同一子元素進(jìn)行多次測(cè)試的平均值～應(yīng)加以區(qū)別～前者屬于間接有效數(shù)字～后者屬于直接有效數(shù)字。如連續(xù)測(cè)量100張紙厚度而求得的每張紙的厚度的平均值是間接有效數(shù)字,分別測(cè)量100張紙的厚度而求得平均值～是直接有效數(shù)字,又如～用天平對(duì)同一物體的質(zhì)量測(cè)量10次的平均值～用米尺對(duì)同一物體的長度測(cè)量10次的平均值～都是直接有效數(shù)字～因?yàn)檫@里的10可以認(rèn)為沒有直接參與測(cè)量～而直接參與測(cè)量的只有質(zhì)量,、長度,。(五)直接有效數(shù)字和間接有效數(shù)字都遵循著原來的有效數(shù)字的運(yùn)算法則。

(六)確定有效數(shù)字位數(shù)的幾個(gè)問題:有效數(shù)字的個(gè)數(shù)稱為有效位數(shù)～又如2.83厘米,、50.8毫米～均為三位有效數(shù)字～應(yīng)用有效數(shù)字時(shí)～必須注意:1,、有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)位置無關(guān)～例如3.48和34.8都是三位有效數(shù)字,2、一切非零數(shù)字都是有效數(shù)字,3,、非零數(shù)字后邊的零及非零數(shù)字中間的零～都是有效數(shù)字,。如1.20為三位有效數(shù)字～1002為四位有效數(shù)字,4、乘方不算有效數(shù)字～如6.23×10為三位有效數(shù)字～80000若聲明為2位有效數(shù)字～則應(yīng)寫成8.0×10,。小數(shù)的第一個(gè)非零數(shù)字前面的零不算有效數(shù)字～如0.0031只算兩位有效數(shù)字～因?yàn)樾?shù)的第一個(gè)非零數(shù)字前面的零是用來表示小數(shù)點(diǎn)位置的～所以不是有效數(shù)字,。

5、有效數(shù)字的位數(shù)與單位無關(guān)～單位改變時(shí)可用10的乘方來表示數(shù)量的大小,。如前邊測(cè)量的4.54厘米～可以寫成45.4毫米或-24.54×10米～均為三位有效數(shù)字,。根據(jù)有效數(shù)字位數(shù)的要求～我們可以選取不同精確度的測(cè)量儀器～如測(cè)量約60米跑道的長度～要求四位有效數(shù)字即××××米～則第四位應(yīng)是厘米～是估讀出來的～第三位應(yīng)是分米～是準(zhǔn)確的～因此應(yīng)用最小刻度為分米的皮尺測(cè)量。

(七)測(cè)量儀器的精確度,或精度,是與測(cè)量儀器的最小分度對(duì)應(yīng)的～而儀器的最小分度～應(yīng)理解為能準(zhǔn)確讀出來的最小數(shù)值,。例如～對(duì)于精度為0.1mm的游標(biāo)卡尺～盡管其主尺上的最小分度大于0.1mm～但對(duì)包括主尺,、副尺在內(nèi)的整個(gè)卡尺來說～其最小分度應(yīng)為0.1mm。為了發(fā)揮直接有效數(shù)字反映測(cè)量儀器精確度的優(yōu)點(diǎn)～也為了使有效數(shù)字的記錄原則得到統(tǒng)一～所以必須規(guī)定～即使在末位準(zhǔn)確數(shù)字之后不能再進(jìn)行估計(jì)～也認(rèn)定其估計(jì)數(shù)字為“O”,。

(八)直接有效數(shù)字和間接有效數(shù)字概念的提出～不僅適應(yīng)了客觀存在著的實(shí)際情況～因?yàn)槲锢韺?shí)驗(yàn)中本身就存在著直接測(cè)量和間接測(cè)量～而且澄清了在有效數(shù)字上的模糊概念～明確地顯示了有效數(shù)字能夠反映測(cè)量儀器精確度的優(yōu)越性～使我們從原始測(cè)量數(shù)據(jù)的記錄中～既看到了被測(cè)物理量的大小～又看到了所用測(cè)量儀器的精確程度～判斷出原始數(shù)據(jù)在不同范圍內(nèi)的可信程度,。

(九)直接有效數(shù)字和間接有效數(shù)字概念的明確提出～使有效數(shù)字能夠幫助人們選擇合適的測(cè)量儀器和改進(jìn)測(cè)量方法～使直接有效數(shù)字與測(cè)量儀器的精確度相對(duì)應(yīng)。例如～用單擺測(cè)定重力加速度g時(shí)～22如果要求g具有5位有效數(shù)字～根據(jù)公式g=4πL/T～這就要求L,、T都至少具有5位有效數(shù)字,。欲使L具有5位有效數(shù)字～必須使L在1米以上～并用毫米尺去量度,擺球的直徑在10mm以上～并用0.01mm的千分尺去量度。欲使周期T具有5位有效數(shù)字～可使用毫秒表,或者使用0.1秒的秒表測(cè)量100個(gè)周期的方法,。顯然這種選擇的根據(jù)～就是使直接有效數(shù)字與測(cè)量儀器的精確度相對(duì)應(yīng),。

(十)最小分度為十進(jìn)制的一個(gè)單位的測(cè)量儀器～其數(shù)量級(jí)上的每個(gè)數(shù)字都可記為準(zhǔn)確數(shù)字。如毫米尺,、0.1mm的游標(biāo)尺,、0.01mm的千分尺,、0.1克的粗天平、0.01克的物理天平等～因此直接有效數(shù)字對(duì)其精度的反映是非常直觀的,。最小分度大于十進(jìn)制的一個(gè)單位的測(cè)量儀器～在最小分度這個(gè)數(shù)量級(jí)上的數(shù)字～既有準(zhǔn)確數(shù)字～也有欠準(zhǔn)數(shù)字,估計(jì)數(shù)字,如0.05mm的游標(biāo)卡尺,、0.2秒的秒表～讀數(shù)時(shí)應(yīng)盡量向準(zhǔn)確數(shù)字靠攏,記錄時(shí)不要降低儀器精度的數(shù)量級(jí),判斷測(cè)量儀器時(shí)～需要根據(jù)有效數(shù)字的記錄原則～首先判斷出儀器精度的數(shù)量級(jí)～再分析直接有效數(shù)字的記錄數(shù)據(jù)～并結(jié)合對(duì)實(shí)際測(cè)量儀器的了解～綜合判斷之。例如～當(dāng)我們看到幾個(gè)這樣一組測(cè)量數(shù)據(jù)～其小數(shù)點(diǎn)后邊的有效數(shù)字是0.050mm,0.100mm,0.150mm～根據(jù)以上原則～可以判斷出測(cè)量儀器是精度為0.05mm的游標(biāo)尺～因?yàn)樗鼈兊那窚?zhǔn)數(shù)字,估計(jì)數(shù)字,之前的末位準(zhǔn)確數(shù)字～不是“0”～就是“5”,。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)究竟應(yīng)取幾位有效數(shù)字～這決定于儀器的精確程度～既不能超過儀器所允許的范圍～也不應(yīng)低于儀器所能達(dá)到的精確程度,。

二、有效數(shù)字運(yùn)算

(一) 有效數(shù)字運(yùn)算基本規(guī)則1,、估計(jì)數(shù)字與別的數(shù)字相加減,、相乘除～所得的結(jié)果也是估計(jì)數(shù)字。2,、計(jì)算的最終結(jié)果中只能保留一位估計(jì)算字～但在計(jì)算過程中～可以保留兩位估計(jì)數(shù)字～最后再四舍五入,。

(二)幾種基本運(yùn)算中關(guān)于有效數(shù)字的處理原則。(1)加法運(yùn)算如用米尺量出桌面的厚度為2.43厘米～用游標(biāo)卡尺量出塑制板的厚度為0.243厘米,?？偤穸萀=2.43+0.243=2.673。(為了清楚起見～估計(jì)數(shù)字下面加一橫線)～結(jié)果2.673中有兩位估讀數(shù)字～只需要保留一位估讀數(shù)字就可以了～3可以舍去～于是得到總厚度為2.67厘米～仍是三位有效數(shù)字,。(2)減法運(yùn)算,如求上例中桌面厚度與塑制板厚度之差=2.43,0.243=2.187,結(jié)果2.187中有兩位估計(jì)數(shù)字～只需保留一位8即可～但7又可按四舍五入進(jìn)入前一位～所以它們厚度差為2.19厘米～仍為三位有效數(shù)字,。由上可見～由加減運(yùn)算可得出:有效數(shù)字相加或相減時(shí)～在和或差中從左邊起～哪一位出現(xiàn)了估計(jì)數(shù)字～有效數(shù)字就保留在哪位。(3)乘法運(yùn)算用米尺測(cè)桌面長為106.75厘米～寬為52.21厘米～求桌面面積,。乘積中有五位估計(jì)數(shù)字～只需保留2一位～再由“四舍五入”～得桌面面積為5573厘米～一共只有四位有效數(shù)字,。如果兩數(shù)相乘后的積有四位或四位以上～而有效數(shù)字只有兩位或三位～如下例乘積有四位整數(shù)～而乘數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的是兩位～根據(jù)乘法規(guī)則～乘積只能保留一位估計(jì)數(shù)字～3故乘積寫成2.3×10。(4)除法運(yùn)算2例如面積為8.04厘米的木塊上放重量為58.52克的物體～求木塊所受壓強(qiáng)大小,。除式中第二次余數(shù)中6320四位都是估計(jì)數(shù)字～所以～商數(shù)從第三位7開始就是估計(jì)數(shù)字～這樣～ 在7.278有兩數(shù)估計(jì)數(shù)字～由“四8進(jìn)入7中,結(jié)果得到木 舍五入”將2 塊受到壓強(qiáng)大小為7.28克/厘米 , 一共只有三位有效數(shù)字,。由以上運(yùn)算可得:有效數(shù)字相乘或相除時(shí)～積和商的有效數(shù)字位數(shù)與原來數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。

(5)乘方和開方運(yùn)算例:, 6.26,39.239.2,6.26例:自由落體下落米的速度大小 2.0米/秒, V,2gh,2,，9.8,，2.0,39.2,6.3(可見:有效數(shù)字開方或乘方～本身有幾位有效數(shù)字～結(jié)果中就保留幾位有效數(shù)字。(6)混合運(yùn)算(11.3710.52)27.5085275234,,，,，,,,205,21例: 11.3711.37114可見～混合運(yùn)算中～中間結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)～比按規(guī)定運(yùn)算多保留一位。(7)準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的乘除運(yùn)算準(zhǔn)確數(shù),如實(shí)驗(yàn)次數(shù),、物體的個(gè)數(shù),與近似數(shù)相乘或相除時(shí)～有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)等于原來近似數(shù)的位數(shù)～例如4個(gè)相同的茶杯共重800.4克～每個(gè)茶杯重量是200.1克～商數(shù)應(yīng)取4位有效數(shù)字,。有物理常數(shù)時(shí)～可以認(rèn)為它們是準(zhǔn)確可靠的～不影響計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字。至于常數(shù)的位數(shù)～應(yīng)取得與各量中有效數(shù)字最少的數(shù)值位數(shù)一樣～例如～測(cè)量圓的直徑D=6.532厘米～高9.26厘米～則21計(jì)算體積,V=,時(shí)～π取3.14即可,。 V,,Dh4

(三)測(cè)量儀器的有效數(shù)字讀數(shù)規(guī)則

有效數(shù)字的最后一位要同讀數(shù)誤差所在的一位取齊～這是考慮到有效數(shù)字的依據(jù)～因而測(cè)量儀器的讀數(shù)規(guī)則為:測(cè)量誤差出現(xiàn)在哪一位～讀數(shù)就相應(yīng)讀到那一位～在中學(xué)階段～一般可根據(jù)測(cè)量儀器的最小分度來確定讀數(shù)誤差出現(xiàn)的位置～對(duì)常用的測(cè)量儀器一般可按下述方法讀數(shù):?最小分度是“1”的測(cè)量儀器、測(cè)量誤差出現(xiàn)在下一位～下一位按十分之一估讀～如最小分度是1毫米的刻度尺～測(cè)量誤差出現(xiàn)在毫米的十分位上～估讀到十分之幾毫米,。?最小分度是“2”或“5”的測(cè)量儀器～測(cè)量誤差出現(xiàn)在同一位上～同一位分別按二分之一或五分之一估讀,。如0.6安量程的安培表～最小分度為0.02安～誤差出現(xiàn)在安培百分位～只讀到安培的百分位～估讀半小格～不足半小格的舍去～超過半小格按半小格估讀,。常用游標(biāo)卡尺的精確度有0.1毫米、0.05毫米,、0.02毫米三種,。由于每一種卡尺的制造公差,在任何示值時(shí)～允許的最大可能誤差,都不小于它的精確度～因此使用時(shí)無需估讀出更小的數(shù)值。

我們理解和掌握了有效數(shù)字～不僅可以準(zhǔn)確運(yùn)用有效數(shù)字表示物理量的大小～可以表示測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度～簡(jiǎn)化運(yùn)算過程～而且還可以根據(jù)準(zhǔn)確度來選擇適當(dāng)?shù)膬x器～達(dá)到實(shí)驗(yàn)所需要的結(jié)果,。

231500 安徽省廬江二中 束義福

2000.11.06

束義福 男,、畢業(yè)于安徽師范大學(xué)物理系。中學(xué)高級(jí)教師,、特級(jí)教師,。中國物理學(xué)會(huì)會(huì)員。中國教育學(xué)會(huì)物理教學(xué)研究會(huì)會(huì)員,。中國發(fā)明協(xié)會(huì)會(huì)員,。東方書畫藝術(shù)家學(xué)會(huì)理事。中國管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員,。在《物理教學(xué)》,、《物理通報(bào)》等二十多家省級(jí)、國家級(jí)CN報(bào)刊上發(fā)表文章200多篇,，參編,、主編教科研論著及教輔用書9部。多項(xiàng)成果獲省級(jí)獎(jiǎng)和國家專利,。安徽省特級(jí)教師,。巢湖市專業(yè)技術(shù)拔尖人才。獲“中國素質(zhì)教育科研之星”獎(jiǎng)?wù)?。獲“全國優(yōu)秀教師”稱號(hào)并獲獎(jiǎng)?wù)?。享受國?wù)院“政府特殊津貼”。

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