1. 什么是有效數字呢？

⑴有效數字是指在分析和測量中所能得到的有實際意義的數字,。測量結果是由有效數字組成的（前后定位用的“0”除外）,。

例如 測量結果1.1080g，組成數字1,、1,、0、8,、0都是實際測讀到的,，它們是表示試樣質量大小的，因而都是有實際意義的,。

⑵有效數字的前幾位都是準確數字,，只有最后一位是可疑數字。

例如前述的1.1080,， 前幾位數字1,、1、0、8都是稱量讀到的準確數字,，而最后一位數字0則是在沒有刻度的情況下估讀出來的,，是不準確的或者說可疑的。

⑶有效數字是處于表示測量結果的數值的不同數位上,。所有有效數字所占有的數位個數稱為有效數字位數,。

例如 數值3.5，有兩個有效數字,，占有個位,、十分位兩個數位，因而有效數字位數為兩位,；3.501有四個有效數字,，占有個位、十分位,、百分位等四個數位,，因而是四位有效數字。

⑷測量結果的數字,，其有效位數反映了測量結果的精確度,，它直接與測量的精密度有關。這也是有效數字實際意義的體現,，是非常重要的體現,。

例如 前述例子中，若測量結果為1.1080g,，則表示測量值的誤差在10^-4量級上,，天平的精度為萬分之一；若測量結果為1.108g,，則表示測量值的誤差在10^-3量級上,，天平的精度為千分之一。

2,、有效數字位數的確定原則

在確定有效數字位數時應遵循下列原則：

⑴數值中數字1～9都是有效數字,。

⑵數字“0”在數值中所處的位置不同，起的作用也不同,，可能是有效數字,，也可能不是有效數字,。判定如下：

① “0”在數字前,，僅起定位作用，不是有效數字,。

例如 0.0257中,， “2”前面的兩個“0”均非有效數字。 0.123、0.0123,、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效數字,。

②數值末尾的“0”屬于有效數字。

例如 0.5000中,， “5”后面的三個“0”均為有效數字,；0.50中， “5”后面的一個“0”也是有效數字,。

③數值中夾在數字中間的“0”是有效數字,。

 例如 數值1. 008中的兩個“0”是均是有效數字；數值8. 01中間的 “0”也是有效數字,。

④以“0”結尾的正整數,， “0”是不是有效數字不確定，應根據測試結果的準確度確定,。

例如 3600,，后面的兩個“0”如果不指明測量準確度就不能確定是不是有效數字。測量中遇到這種情況,，最好根據實際測試結果的精確度確定有效數字的位數,，有效數字用小數表示，把“0”用10的乘方表示,。如將3600寫成3.6×103表示此數有兩位有效數字,；寫成3.60×103表示此數有三位有效數字；寫成3.600×103表示此數有四位有效數字,。

3.修約間隔

修約間隔又稱修約區(qū)間或化整間隔,，系確定修約保留位數的一種方式。修約間隔一般以k×10n（k=1,，2,，5；n為整數）的形式表示,，將同一k值的修約間隔,，簡稱為“k”間隔。

修約間隔的數值一經確定,，修約值即應為該數值的整數倍,。

例如 指定修約間隔為0.1，修約值即應在0.1的整數倍中選取,，相當于將數值修約到一位小數,。

·    1.0239修約到0.01，為1.02,，

·    1.02÷0.01=102（倍）

4.修約數位及確定修約位數的表達方式

修約時擬將擬修約數的哪一位數位后部分按修約規(guī)則舍去,，則該數位就是修約數位,。

數值修約時需要先明確修約數位，確定修約位數的表達方式如下：

⑴指明具體的修約間隔,。如指明將某數按0.2（2×10^-1）修約間隔修約,、100 （1×10²）修約間隔修約等。

⑵指定將擬修約數修約至某數位的0.1,、0.2或0.5個單位,。

⑶指明“k”按間隔將擬修約數修約為幾位有效數字，或修約至某數位,。這時“1” 間隔可不必指明,，但“2”間隔和“5”間隔必須指明。

1,、GB/T 8170-2008 《數值修約規(guī)則》

⑴擬舍棄數字的最左一位數字小于5時,，則舍去，即保留的各位數字不變,。

例如 將12.1498修約到一位小數,，得12.1。

例如 將12.1498修約成兩位有效位數,，得12,。

⑵擬舍棄數字的最左一位數字大于5；或者是5,，而其后跟有并非全部為0的數字時,，則進一，即保留的末位數字加1,。

例如 將1268修約到“百”數位,，得13×10²（特定時可寫為1300）。

例如 將1268修約成三位有效位數,，得127×10（特定時可寫為1270）,。

例如 將10.502修約到個數位，得11,。

注：“特定時”的涵義系指修約間隔或有效位數明確時,。

⑶擬舍棄數字的最左一位數字為5，而右面無數字或皆為0時,，若所保留的末位數字為奇數(1,3,5,7,9）則進一,，為偶數（2,4,6,8,0）則舍棄。

⑷負數修約時,，先將它的絕對值按上述⑴⑵⑶規(guī)定進行修約,，然后在修約值前面加上負號。

⑸ 0.5單位修約與0.2單位修約

① 0.5單位修約 既將擬修約數乘以2,，按指定數位依3.1-3.4規(guī)則修約,，所得數再除以2。

② 0.2單位修約 既將擬修約數乘以5,，按指定數位依3.1-3.4規(guī)則修約,，所得數值再除以5。

2.通用數值修約方法

⑴如果為修約間隔整數培的一系列數中,，只有一個數最接近于擬修約數,，則該數就是修約數。

例如 將1.150001按0.1修約間隔進行修約,。此時,，與擬修約數1.150001鄰近的為修約間隔整數倍的數有1.1和1.2（分別為修約間隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于擬修約數,，因此1.2就是修約數,。

⑵如果為修約間隔整數培的一系列數中，有連續(xù)兩個數同等接近于擬修約數,，則這兩個數中,，為修約間隔偶數培的數就是修約數。

例如,，將1150按100修約間隔行修約,。此時，與擬修約數1150鄰近的為修約間隔整數倍的數有1100和1200（分別為修約間隔的11倍和12倍）,，這兩個數同等接近于擬修約數,，然而1200為修約間隔的偶數培（12倍），因此1200 就是修約數,。

⑶一個數據的修約只能進行一次,，不能分次修約。

1.加減運算

幾個數相加減的結果,，經修約后保留有效數字的位數,，取決于絕對誤差最大的數值，計算結果應以絕對誤差最大（即小數點后位數最少）的數據為基準,，來決定計算結果數據的位數,。

在實際運算過程中，各數值保留的位數比各數值中小數點后位數最少者多保留一位小數,，而計算結果有效數字的位數應與效數最少的一數相同,。

例如      29.2+36.582-3.0281=62.8

2.乘除運算

幾個數據的乘除運算以相對誤差最大（即有效數字位數最少）的數值為基準來決定結果數據的位數。

在實際運算中,，先將各數值修約至比有效數字位數最少者多保留一位有效數字運算,，計算結果的有效數字的位數與有效數字位數最少的數值相同。（與小數點位置無關）

例如,，  0.235438×28.6×61.8911

         ≈0.2354×28.6×61.89

         =414.6707116

    三個參與運算的數值的有效數字位數分別為六位,、三位,、六位，所以最終計算結果用三位有效數字表示,，為415或4.15×102,。

3.乘方和開方

乘方或開方時，原數值有幾位有效數字,，計算結果就可以保留幾位有效數字,。若計算結果還要參與運算，則乘方或開方所得結果可比原數值多保留一位有效數字,。

例如：3.58²=12.8614,，運算結果保留三位有效數字，為12.9,。

4.對數運算

在數值對數計算時,，所取對數的小數點后的位數（不包括首數）應與真數的有效數字位數相同。換言之,，對數有效數字的位數,，只計小數點以后的數字的位數，而不計對數的整數部分,。

例如：log（100.44）

       = log（1.0044×10²）

       = 2.0019067…,。

最后結果應為2.00191，結果的有效數字位數是五位（小數后位數）而不是六位（整數位數加小數位數）,，因整數部分只說明該數的10的方次,。

5.平均值

計算幾個數值的平均值時，先將計算結果修約至比要求的位數多一位,，再按數值修約規(guī)則處理,。

6.方差和標準偏差

方差和標準偏差在運算過程中對中間結果不做修約，只將最后結果修約至要求的位數,。

注意：

⑴在所有計算式中,，常數（π、e等）以及非檢測所得的計算因子（倍數或分數,，如6,、             等）的有效數字位數，可視為無限,，需要幾位就取幾位,。

⑵使用計算器（或電腦）進行計算時，一般不對中間每一步驟的計算結果進行修約,，僅對最后的結果進行修約,，使其符合事先所確定的位數。

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