題：如圖1,，等邊ΔABC的邊長為1，D,、E分別是AB,，AC上的點，且AD=CE.

求證：DE≥1/2.

思路1：欲證DE≥1/2,，就是求DE的最小值為1/2.因為DE的長決定于AD的長,，因此，以AD為自變量建立DE與AD的函數(shù)關(guān)系式.

證法1：設(shè)AD=x,，DE=y,，則AE=1-CE=1-x.

作DF⊥AE于F.

因為∠A=60°，

所以AF=AD/2=x/2,，DF =√3x/2,，

所以EF=1-x-x/2=1-3x/2,

所以y=√(DF^²+EF^²)

=√[(√3x/2)^²+(1-3x/2)^²]

=√(3x^²/4+1-3x+9x^²/4)

=√(3x^²-3x+1)

=√[3(x-1/2)^²+1/4]

所以，當(dāng)x=1/2時,，

y最小值=√(1/4)=1/2,，

所以DE≥1/2.

思路2：欲證DE≥1/2，只需證明2DE≥BC.將DE沿AC平移,，使點E與點C重合,，讓DE與BC在同一三角形中以便比較大小.

證法2：將DE沿AC平移到CF（如圖2），連接DF,，BF.則

CF=DE,，四邊形DECF是平行四邊形，

所以CE=DF,，

因為ΔABC使等邊三角形,，AD=CE，

所以AD=DF,，AE=BD,，

又∠A=∠BDF，

所以ΔADE≌ΔDFB,，

所以BF=DE,，

因為BF+CF≥BC（當(dāng)點D為AB中點時，DE為ΔABC的中位線,，F(xiàn)為BC中點,，等號成立），

所以2DE≥BC,，

所以DE≥BC/2,，

即DE≥1/2.