截長(zhǎng)補(bǔ)短

遇到求證線段和差及倍半關(guān)系時(shí),，可以嘗試截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法．截長(zhǎng)指在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條,；補(bǔ)短指將一條短線段延長(zhǎng),，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段．題目中常見(jiàn)的條件有等腰三角形（即兩條邊相等）,，或角平分線（即兩個(gè)角相等）,，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短后，并連接一些點(diǎn),，構(gòu)造全等得出最終結(jié)論．

【典型例題】——截長(zhǎng)補(bǔ)短

例042．如圖,，點(diǎn)D為等腰直角三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°,，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),，且CE＝CA，則①DE平分∠BDC,；②△BCE是等邊三角形,；③∠AEB＝45°,；④DE＝AD＋CD,，其中正確的有．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

【解析】

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,，∠ACB＝90°,，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠CAD＝∠CBD＝15°,，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°,，∴BD＝AD,，

∴D在AB的垂直平分線上，∵AC＝BC，

∴C也在AB的垂直平分線上,，即直線CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°,，∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°,，

∴∠BDE＝∠DBA＋∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE,，即DE平分∠BDC,；

（2）∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝15°,，由①得∠CDE＝60°,，∠DCB＝45°，

∴∠BCE＝60°，∵AC＝BC,，∴CE＝BC,，∴△BCE是等邊三角形；

（3）由②得△BCE是等邊三角形,，∴∠BEC＝60°,，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEA＝45°；

（4）【方法一】

如圖1,，在DE上取一點(diǎn)F,，使得DF＝CD，并連接CF,，

∵∠CDE＝∠BDE＝60°,，∴∠BDC＝120°，△DCF為等邊三角形,，

∴∠DFC＝60°,，DC＝FC，∴∠CFE＝∠CDB＝120°,，

∵CB＝CE,，∴△BDC≌△EFC，∴EF＝BD,，

∴DE＝EF＋DF＝BD＋CD＝AD＋CD．

圖1

【方法二】

圖2

如圖1,，在DE上取一點(diǎn)F,，使得DF＝AD，并連接BF,，

證明△BDF為等邊三角形,，再證明△BFE≌△BDC即可．

【方法三】

如圖3，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,，使得CF＝AD,，并連接EF，

∵AD＝DB,，∴CF＝BD,，∵等邊△BCE，∴∠CBE＝∠BCE＝60°,，BE＝CE,，

∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝75°，∵∠BCD＝45°,，∴∠ECF＝180°－∠DCE＝75°,，

∴∠DBE＝∠ECF,，∴△BDE≌△CFE，∴DE＝EF,，

∵∠CDE＝60°,，∴△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF＝DC＋CF＝AD＋CD．

圖3

【方法四】

如圖4,，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使得DF＝AD,，并連接AF,，

證明△ADF為等邊三角形，再證明△ACF≌△BDE即可．

圖4

【方法五】

如圖5,，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使得DF＝AD,，并連接BF,，

證明△BDF為等邊三角形，再證明△BCF≌△BDE即可．

圖5

【方法六】

如圖6,，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)F，使得DF＝DC,，并連接CF,，

證明△CDF為等邊三角形，再證明△BCF≌△ECD即可．

圖6

【方法七】

如圖7,，反向延長(zhǎng)BD至點(diǎn)F,，使得BF＝DC,，并連接EF，

證明△DEF為等邊三角形,，再證明△BEF≌△CED即可．

圖7

…………

綜上所述，結(jié)論①②③④都是正確的,，答案選D．

【總結(jié)】線段和差的問(wèn)題可以考慮使用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法,，在長(zhǎng)的上面截取或者延長(zhǎng)較短的線段，各種方法都可以嘗試,，并不一定全部可行,，而且要注意輔助線的說(shuō)明方式．本題第④個(gè)結(jié)論有多種角度出發(fā)可以證明，不知道各位同學(xué)還有什么其他的方法來(lái)證明嗎,？

當(dāng)然,，做選擇,、填空題的時(shí)候，我們只需要判斷正確答案就可以了,，并不需要嚴(yán)格的證明過(guò)程,，但是這并不妨礙愛(ài)思考、愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué),，加油吧,！