對于冪函數(shù)f(x)等于x的n次方，如果它的指數(shù)n為偶數(shù),，則f(x)為偶函數(shù),；如果指數(shù)n為奇數(shù)，則f(x)為奇函數(shù),。那么奇偶性和冪函數(shù)有什么聯(lián)系呢,？

實際上，奇偶性名稱就來自于冪函數(shù)的指數(shù),，指數(shù)為奇數(shù)的冪函數(shù)就是奇函數(shù),，指數(shù)為偶數(shù)的冪函數(shù)就是偶函數(shù)。以前北師大版教材的必修1把奇偶性放在冪函數(shù)一節(jié),，就有這方面的考慮,。

反過來,，同學們可以從命名中發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的圖像對稱性和變化規(guī)律,。實際上,，只要掌握了奇偶性的規(guī)律，我們也可以自己構造奇函數(shù)或偶函數(shù),。我們有如下結論：

一,、結論1

設f(x)為定義域為R的任意函數(shù)，則可構造函數(shù)g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]和函數(shù)h(x)=1/2[f(x)+f(-x)],，則g(x)為奇函數(shù),，h(x)為偶函數(shù)。

（一）證明

由f(x)定義域為R,，容易得到g(x)和h(x)的定義域也均為R,。

則g(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]= -1/2[f(x)-f(-x)]=-g(x)

h(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]=h(x)

根據定義可得，g(x)為奇函數(shù),，h(x)為偶函數(shù),。

利用這個結論，可以迅速解決一些奇偶性問題,。

（二）例題

例1：a為常數(shù),，判斷下列函數(shù)的奇偶性。

(1) f(x)＝|x＋a|－|x－a|

(2) g(x)＝|x＋a|＋|x－a|

解：設函數(shù)h(x) ＝ |x＋a|,，則h(－x) ＝ |－x＋a|＝|x－a|,，

則f(x) ＝|x＋a|－|x－a|＝h(x) －h(huán)(－x)，

g(x) ＝|x＋a|＋|x－a|＝h(x) ＋h(－x)

根據上述結論,，f(x)為奇函數(shù),，g(x)為偶函數(shù)。

說明：f(x)＝|x＋a|－|x－a|和g(x)＝|x＋a|＋|x－a|是典型的絕對值型奇函數(shù)和偶函數(shù),。例1是利用任意一個函數(shù)構造出一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù),，反過來，我們有第二個結論,。

二,、結論2

任意一個定義在R上的函數(shù)都可以寫成唯一一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

（一）證明

設函數(shù)f(x)定義域為R,，且f(x)=g(x)+h(x),，且g(x)為奇函數(shù)，h(x)為偶函數(shù),。

則g(-x)=-g(x),，h(-x)=h(x)，

則f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)①

又f(x)=g(x)+h(x)②

由①②解得g(x)=1/2[f(x)-f(-x)],，h(x)=1/2[f(x)+f(-x)],。

故任意一個定義在R上的函數(shù)都可以寫成唯一一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

（二）例題

說明：本題解法（1）看起來更簡單,。我們換一下條件，如果求f(2)＋g(1)的值,，那么此時解法（1）的方法就失效了,，但是利用解法（2）仍然可以迅速求出結果，得到f(2)＝16＋1＝17,，g(1)＝－1,，f(2)＋g(1)＝16。

更進一步,，對于含參數(shù)的問題,，解法（2）也有奇效。我們看下面一個例子,。

說明：奇函數(shù)＋常數(shù)(c)是一類非常有趣的函數(shù),，雖然此函數(shù)非奇非偶,，既不關于原點對稱，也不關于y軸對稱,，但是根據上加下減原則,，函數(shù)圖像上、下移動了,，對稱中心由(0,，0)變?yōu)椋?0，c),，則由對稱原理,，我們有第三個論：

三、結論3

定義在R上的函數(shù)f (x)＝g(x)＋c,，g(x)是奇函數(shù),，則有：f(x)＋f(－x)＝2c，圖象關于(0,，c)對稱,。

(一)例題

總結：任一個定義域為R的函數(shù)都可以構成成唯一一對奇函數(shù)和偶函數(shù)的和,。那么，如果f(x)本身就是奇函數(shù)或偶函數(shù),，怎么分解成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的形式呢,？

實際上,，有一個函數(shù)f(x)=0（x∈R），既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),。則對于奇函數(shù)g(x)來說,，可以構造出g(x)= g(x)+0，滿足一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和的形式,；同理,，對于偶函數(shù)h(x),，可以構造出h(x)=h(x)+0,，也滿足一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和的形式。