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1.3.2 奇偶性 第二課時 優(yōu)化訓練 1．若函數(shù)f(x)＝x3(x∈R),，則函數(shù)y＝f(－x)在其定義域上是( ) A．單調遞減的偶函數(shù) B．單調遞減的奇函數(shù) C．單調遞增的偶函數(shù) D．單調遞增的奇函數(shù) 解析：選B.f(－x)＝－x3為奇函數(shù),， x1＜x2,，－x1＞－x2. f(－x1)－f(－x2)＝－x31－(－x32)＝x32－x31＞0,， ∴f(－x1)＞f(－x2)，f(－x)為減函數(shù)． 2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,，＋∞)上是增函數(shù),，若f(a)<f(b)，則一定可得( ) A．a<b B．a>b C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0 解析：選C.對于定義域為R的偶函數(shù),，若x≥0,，則f(|x|)＝f(x)；若x<0,，則f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以,，定義域為R的偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)<f(b),，可得f(|a|)<f(|b|)．而|a|≥0,，再由f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)可得|a|<|b|,，故選C. 3．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),，當x≥0時，f(x)＝x2－2x,，則f(x)在R上的表達式是( ) A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2) C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2) 解析：選D.由x≥0時,，f(x)＝x2－2x，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得：當x＜0時,，－x＞0,，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)． ∴f(x)＝x?x－2? ?x≥0?，x?－x－2? ?x＜0?,，即f(x)＝x(|x|－2)． 4．函數(shù)f(x)＝x3＋ax,，f(1)＝3，則f(－1)＝________. 解析：顯然f(x)是奇函數(shù),，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：－3 1．已知f(x)＝ax3＋bx－4,，其中a，b為常數(shù),，若f(－2)＝2,，則f(2)的值等于( ) A．－2 B．－4 C．－6 D．－10 解析：選D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，顯然F(x)＝ax3＋bx為奇函數(shù),，F(xiàn)(－2)＝f(－2)＋4＝6,，F(xiàn)(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10. 2．若f(x)是偶函數(shù)，其定義域為(－∞,，＋∞),，且在[0，＋∞)上是減函數(shù),，則f(－32)與f(a2＋2a＋52)的大小關系是( ) A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52) B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52) C．f(－32)≥f(a2＋2a＋52) D．f(－32)≤f(a2＋2a＋52) 解析：選C.a2＋2a＋52＝(a＋1)2＋32≥32,，f(－32)＝f(32)≥f(a2＋2a＋52)． 3．若ρ(x)，g(x)都是奇函數(shù),，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0,，＋∞)上有最大值5，則f(x)在(－∞,，0)上有( ) A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 解析：選C.ρ(x),、g(x)都是奇函數(shù)， ∴f(x)－2＝aρ(x)＋bg(x)為奇函數(shù)． 又f(x)有最大值5,，∴f(x)－2在(0,，＋∞)上有最大值3. ∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3,， ∴f(x)在(－∞,，0)上有最小值－1. 4．若函數(shù)f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且在[－6,0]上單調遞減,，則( ) A．f(3)＋f(4)＞0 B．f(－3)－f(－2)＜0 C．f(－2)＋f(－5)＜5 D．f(4)－f(－1)＞0 解析：選D.f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且在[－6,0]上單調遞減,，可得f(x)在[0,6]上單調遞增,，依題意有：－4＜－1?f(－4)＞f(－1)?f(4)－f(－1)＞0. 5．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x＞0時,，f(x)＝x2＋|x|－1,，那么x＜0時，f(x)的解析式為f(x)＝( ) A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1 C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1 解析：選D.設x＜0,，則－x＞0,，f(－x)＝x2＋|x|－1， ∵f(－x)＝－f(x),，∴－f(x)＝x2＋|x|－1,，f(x)＝－x2－|x|＋1. 6．(2009年高考陜西卷)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1,，x2∈[0,，＋∞)(x1≠x2)，有f?x2?－f?x1?x2－x1<0,，則( ) A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2) 解析：選A.由已知f?x2?－f?x1?x2－x1<0,，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調遞減，由偶函數(shù)性質得f(3)<f(－2)<f(1),，故選A. 7．若函數(shù)f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函數(shù),，則f(x)的遞減區(qū)間是________． 解析：利用函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則k－1＝0,，k＝1,，f(x)＝－x2＋3即可得出單調區(qū)間． 答案：[0，＋∞) 8．若f(x)是偶函數(shù),，當x∈[0,，＋∞)時f(x)＝x－1，則f(x－1)＜0的解集是________． 解析： 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,，先作出f(x)的圖象,，如圖所示，由圖可知f(x)＜0的解集為{x|－1＜x＜1},， ∴f(x－1)＜0的解集為{x|0＜x＜2}． 答案：{x|0＜x＜2} 9．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),，且它是減函數(shù)，若實數(shù)a,，b滿足f(a)＋f(b)＞0,，則a＋b________0(填“＞”、“＜”或“＝”)． 解析：f(a)＋f(b)＞0,，∴f(a)＞－f(b),， ∴f(a)＞f(－b)，f(x)為減函數(shù),， ∴a＜－b,，∴a＋b＜0. 答案：＜ 10．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b1＋x2是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(12)＝25,，求函數(shù)f(x)的解析式． 解：∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)． ∴f(0)＝0,，即b1＋02＝0，∴b＝0,， 又f(12)＝12a1＋14＝25,，∴a＝1， ∴f(x)＝x1＋x2. 11．設函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù),，在區(qū)間(－∞,，0)上遞增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3),，求a的取值范圍． 解：由f(x)在R上是偶函數(shù),，在區(qū)間(－∞，0)上遞增,， 可知f(x)在(0,，＋∞)上遞減． ∵2a2＋a＋1＝2(a＋14)2＋78＞0,， 2a2－2a＋3＝2(a－12)2＋52＞0， 且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3),， ∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3,， 即3a－2＞0，解得a＞23. 12．已知f(x)為偶函數(shù),，g(x)為奇函數(shù),，且滿足f(x)＋g(x)＝1x－1，求f(x),，g(x)． 解：由f(x)＋g(x)＝1x－1.?、?br> 把x換成－x，得 f(－x)＋g(－x)＝1－x－1,， ∵f(x)為偶函數(shù),，∴f(－x)＝f(x)． 又∵g(x)為奇函數(shù)， ∴g(－x)＝－g(x),， ∴f(x)－g(x)＝－1x＋1.?、?br> 由①②得f(x)＝1x2－1，g(x)＝xx2－1. 來源：學習方法網(wǎng)
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