一,、探索性問題

是指對數(shù)學(xué)問題能在實驗、猜想,、合情推理的基礎(chǔ)上,，進(jìn)行探索和研究，并予以證實,；并能在新的情景中正確地表述數(shù)量關(guān)系,，在創(chuàng)造性地思考問題的基礎(chǔ)上，對較簡單的問題得出一些新穎的結(jié)果。

例1  已知角α,、β,、為銳角，且,，試求

的值,。

解：這類求關(guān)系式的值的問題一般的解題策略為，先特值確定所求關(guān)系式的一個值,，然后猜想所求關(guān)系的值為該值,，再證明。

首先分別令α,、β,、都為，＝1,，于是猜想的值為1,。對猜想的結(jié)論進(jìn)行證明：

證明：左邊＝

二、開放性問題

例2. 設(shè)函數(shù),，若是偶函數(shù),，則t的一個可能值是__________。

解法1：由已知得

又因是偶函數(shù)

所以

所以恒成立

所以

解法2：是由f(x)平移得到的,，是偶函數(shù),，所以可以設(shè)

而，所以t可以為

例3  已知函數(shù),，試寫出它的一個性質(zhì)__________,。

分析：中學(xué)數(shù)學(xué)討論的函數(shù)性質(zhì)有函數(shù)的定義域，值域（包括最大值和最小值）,，單調(diào)性,，奇偶性，周期性等,，函數(shù)是由兩個十分常用的函數(shù)y＝sinx和y＝cosx組成,，在同一坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖像即可得到函數(shù)f(x)的圖像，根據(jù)圖像便可以討論該函數(shù)的性質(zhì),。

解：據(jù)該函數(shù)的圖像（圖像略）可以得到如下結(jié)論：

（1）此函數(shù)的定義域是R,；

（2）該函數(shù)的值域是；

（3）該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù),；

（4）當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ和x＝時,，該函數(shù)取得最大值1；

（5）當(dāng)且僅當(dāng)時,，該函數(shù)取得最小值；

（6）在上是增函數(shù)，在是減函數(shù),，在上是增函數(shù),，在是減函數(shù)。

以上各性質(zhì)只需回答其一,。

三,、判斷真假性問題

例4  采用如下方法判斷函數(shù)的奇偶性是否正確。

因為是奇函數(shù),，所以f(x)是奇函數(shù),。

解：此解答是錯誤的。由于簡化過程中約去了分子,、分母的公因式,，使得因定義域不同而不是同一個函數(shù)，故不能應(yīng)用約分后的函數(shù)直接求約分前函數(shù)的奇偶性,，本例的正確解答是：

令,，得一特解的函數(shù)值。

因為,，而無意義,。

所以函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點不對稱。

故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

四,、模仿解答問題

例5  閱讀下面例題解法：實數(shù)x,、y滿足，＋的值,。

解：設(shè),，化簡后得：

解得

因為

所以

因為

所以

試用上述解法解下列問題：已知求的最大值。

解：因為

設(shè)

所以

因此當(dāng)時,，M有最大值

五,、運用方程思想解題的問題

例6  已知。

分析：,，和同角三角比的關(guān)系式聯(lián)立形成一元二次方程求出,，這樣為一個一元二次方程的兩個解，再求,。

解：因為

所以

因為

所以是一元二次方程的兩個解,。，,，所以,。

例7  已知且α為第三象限角，求sinα與cosα,。

解：,，因為α為第三象限角

所以

由此可得，

所以的兩個解

所以

六、追溯條件性問題

例8  請你寫出一個關(guān)于α的等式并加以證明,，要使得等式

是你給出的等式中當(dāng)α＝20°和α＝15°時的情形,。

分析：注意到這兩個等式中三角比之間的運算方式相同，每個等式中的兩個角之間都是相差30°,，根據(jù)這些特征便可構(gòu)建一個關(guān)于α和α＋30°角所滿足的等式,。

解：命題：

證明：左邊＝

說明：歸納概括一系列數(shù)學(xué)等式所具有的共同性質(zhì)，從而猜想并證明具有一般意義的數(shù)學(xué)結(jié)論,，使得原有的結(jié)論成為特例,，這種由特殊到一般的推廣，是數(shù)學(xué)研究中常用的方法之一,。

七,、有關(guān)數(shù)學(xué)建模問題

例9  如圖1，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,，△ABC外的地方種草,，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花,。若BC＝α,，∠ABC＝θ，設(shè)△ABC的面積為S₁,，正方形的面積為S₂,。

（1）用a，θ表示S₁和S₂,；

（2）當(dāng)a固定,，θ變化時，求取最小值時θ的值,。

圖1

解：（1）因為BC＝a,，∠ABC＝θ

所以AB＝acosθ，AC＝asinθ,，

所以

又因為

所以

所以

（2）

所以有最小值,，最小值為

八、在物理中的應(yīng)用問題

例10  已知電流I與時間t的關(guān)系式為：

（1）圖2是在一個周期內(nèi)的圖像,，P（,，0），Q（,，0）,，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式；

（2）如果t在任意一段秒的時間內(nèi),，電流都能取得最大值和最小值,，那么ω的最小正整數(shù)值是多少,。

圖2

解：（1）

（2）因為。