有了前面的關(guān)于極限的符號表達(dá),，我們就能夠很好地闡述導(dǎo)數(shù)與微積分了。

令F(x)表示一個函數(shù),，對于給定x₀,，如果下面的極限

F(x₀)=lim(x→x₀)[F(X)-F(x₀)]/(x-x₀)

存在，則稱函數(shù)F (x)在x₀處是可導(dǎo)的,，并稱f(x₀)為F (x)在x₀處的導(dǎo)數(shù),；如果F (x)在區(qū)間[a,b]上的任何一點x處都是可導(dǎo)的，則稱f(x)為函數(shù)F (x)的導(dǎo)函數(shù),，記為Df/dx=f(x),。于是，關(guān)于牛頓的運動規(guī)律,，我們可以表述為：運動方程的導(dǎo)數(shù)為速度,，速度方程的導(dǎo)數(shù)為加速度。這個表述是具有一般性的,，比如,，經(jīng)濟方程的導(dǎo)數(shù)為經(jīng)濟增長速度，經(jīng)濟增長速度方程的導(dǎo)數(shù)為經(jīng)濟增長加速度等等,。

借助導(dǎo)數(shù)的表達(dá),，我們很容易得到微分的表達(dá)式dF=f(x)dx，也很容易得到不定積分的表達(dá)F(x)=∫^x_af(t)dt。其中a是一個給定的常數(shù),，并且有F’(x)=f(t),。我們很容易把不定積分轉(zhuǎn)化為定積分，即轉(zhuǎn)化為∫^b_af(x)dx=F(b)-F（a)給出的牛頓-萊布尼茨公式,。由此可以進一步看到,，微分與積分的關(guān)系是十分密切的，我們也可以從積分的角度來表達(dá)牛頓所描述的運動規(guī)律：加速度的不定積分是速度,，速度的不定積分是運動方程,。