在開始我們的第二次數(shù)學(xué)危機之旅前，我又要問大家一個問題了：古希臘神話中跑得飛快的阿喀琉斯能不能追上一只烏龜,？你們肯定會以為我是瘋了,，不用阿喀琉斯，你們自己就能追上,?？墒亲屛襾斫o你分析一下后,，你還會這么想嗎？且聽科普君道來,。

布拉德皮特飾演的阿喀琉斯

我們假設(shè)在阿喀琉斯和烏龜?shù)母傎愔?，阿喀琉斯速度為烏龜?shù)氖叮瑸觚斣谇懊?00米,，小阿在后面追,，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中,，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點,，當(dāng)阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米,，于是,，一個新的起點產(chǎn)生了，阿喀琉斯必須繼續(xù)追,，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時,，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個1米,。就這樣,，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離,，不管這個距離有多小,，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜,！這就是著名的芝諾悖論（Zeno's paradox）。芝諾又是一個古希臘的數(shù)學(xué)家,、哲學(xué)家,。

芝諾

現(xiàn)在看來，我們會覺得這個悖論很荒謬,。因為我們在考慮這個問題的時候,，時間與空間是聯(lián)系在一起的，而在這個悖論中,，時空是割裂的,。所以阿喀琉斯與烏龜之間的距離不可能是無限小而不可達，而是在一個特定的時間點上,，這個距離是0,，阿喀琉斯追上了烏龜。但是這個無限小和0之間什么時候能夠重合起來,，這是一個很嚴重的問題,。只不過在當(dāng)時,，人們搞不清楚這個問題，并且也用不到,，所以這個悖論只是一個悖論,，并沒有被解決。

芝諾悖論

時間轉(zhuǎn)到了十七世紀(jì),，偉大的科學(xué)家牛頓和萊布尼茨為了解決物體運動的距離與時間的函數(shù)關(guān)系,、曲線的切線以及函數(shù)的最值問題等而各自獨立發(fā)明了微積分這個劃時代的計算工具。說到這,，有人會說：我又不懂微積分,，你跟我說這個我不懂啊。不要著急,，聽科普君給你一分析,，你就明白了。微積分其實是微分和積分的合稱,，微分是降維的過程,，比如著名的小吃云片糕，把一整塊糕點切成一個個薄片,，就是微分,；積分是升維的過程，把這一個個的薄片組合成一整塊的糕點,，就是積分,。（不好意思，科普君是個吃貨）,。

牛頓

萊布尼茨

當(dāng)微積分被發(fā)明出來以后,，一時風(fēng)光無兩，因為這個工具在計算那些原來很麻煩的問題時實在太方便了,。然而微積分的發(fā)明并不是嚴格按照“邏輯線路”生成的,，而是按照實際應(yīng)用產(chǎn)生的，所以它在邏輯上是有漏洞的,，這個漏洞就是最小量的問題,。就是我們上面說的云片糕的厚度問題，云片糕切成1毫米厚還是0.1毫米厚并不影響你吃,，但是在數(shù)學(xué)上,，這個厚度是需要去定義的，不然就又是一個“無限小”和“0”之間的爭論了,。問題是這個漏洞直接攻擊的是微積分的基礎(chǔ),，無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀(jì)的爭論,，造成了第二次數(shù)學(xué)危機,。

云片糕

現(xiàn)代理論的特點之一就是“敘述邏輯清晰，概念內(nèi)涵明確,，不能有含糊”,，一個新的理論的誕生并不是嚴格按照“邏輯線路”指向單向發(fā)展的，而是通過實際應(yīng)用產(chǎn)生的,，就很難經(jīng)得起這個邏輯的推敲,。所以在牛頓和萊布尼茨之后，大量的數(shù)學(xué)家們做出了無數(shù)的努力,，最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人解決了這個問題,。法國數(shù)學(xué)家柯西（這個人在我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時候經(jīng)常出現(xiàn)，還是個考試重點）用現(xiàn)代極限理論來說明了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì),，他將導(dǎo)數(shù)明確定義為：

,，而“現(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯又用了“ε-δ”語言一舉克服了“l(fā)im困難”，他將極限定義如下：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個“去心領(lǐng)域”內(nèi)有定義,，則任意跟定一個ε>0,，存在一個δ>0，使得當(dāng)0<><><>

至此,，第二次數(shù)學(xué)危機圓滿度過,。