數系是不斷擴充的,，先由整數到分數又到實數。接著把實數擴充到復數,，經四元數擴充到八元數,。這后一過程是怎樣進行的？是否到八元數為止了,，八元數體存在什么問題,？這是下面要解決的主要問題。在此基礎上,，給出了一系列多元數體,。

由實數域擴充數系，是如下進行的,。

在實數域R上添加一個虛數單位i,，ii=i/2=-1，若a,，b∈R,，對通常的加法和乘法，a+bi形成復數域C,。

在C上添加一個虛數單位j,，jj=j/2=-1,，滿足ij=-ji。（ij）/2=（ij）（ij）=i（j（ij））=i（j（-ji））=（i（-jj）i）=ii=-1,。因此ij是一個虛數單位,，（-ij）也是一個虛數單位。設ij=k（或設-ij=k）則k/2=-1,，設虛數單位的集合為I,，I中就有3個元素。從（ij）（ij）=i（j（ij））= i（jk）=-1知jk=i,。從k（ij）=（ki）j=-1得ki=j,。i，j,，k關于乘法構成三階循環(huán)群,。若a，b,，c,，d∈R，則a+bi,，c+di∈C,，由（a+bi）+（c+di）j=a+bi+cj+dk構成的體稱為四元數體Q。四元數體有左手系和右手系,，決定于假設ij=k或設-ij=k,。

在Q上再添加一個虛數單位r，rr=r/2=-1,，滿足ir=-ri,，jr=-rj，a+bi+cj+dij∈Q,，e+fi+mj+nij∈Q,，那么a+bi+cj+dij+（e+fi+mj+nij）r= a+bi+cj+dij+er+fir+mjr+nijr是否構成體首先決定于（ijr）?=-1是否成立？因為前面證明可知（ir）/2=h/2=-1,，（jr）/2=l/2=-1,，所以（ijr）/2=（i（jr））/2=（il）/2=-1?？勺C明八元數a+bi+cj+dk+er+fh+ml+nq構成體,，（Cayley）數體。八元數體可用復數域與四元數體的直積生成,。構造方法如下：設i,，j，k,，h為虛數單位,，

則（a+bi)（c+dj+ek+fh）=ac+adj+aek+afh+bci+bdij+beik+bfih,。ij，ik,，ih是虛數單位,，分別設為l，r,，q,。虛數單位 i，j,，k,，h，l,，r,，q的元素個數7是素數，可以構成循環(huán)群,，單位群={1,，-1，i,，j,，k，h,，l,，r,，q,，-i，-j,，-k,，-h，-l,，-r,，-q}，可以構成體,。以上兩種生成八元數體方法是等價的,。