作者：逆蝶,，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)群友，就讀于中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

虛數(shù)，是數(shù)系中最偉大的發(fā)現(xiàn)之一,，但是就像無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程是坎坷的一樣,，引入虛數(shù)的路途也不是一帆風(fēng)順的。在虛數(shù)剛出現(xiàn)之時(shí),，曾引起數(shù)學(xué)界的一片困惑,，認(rèn)為虛數(shù)是沒有意義的，想象的,，虛無縹緲的,，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。

萊布尼茨曾說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所,，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物,。”

然而虛數(shù)并不是偶然引入的一種虛無縹緲的東西,。三次方程求根問題是歷史上一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題,，一直有數(shù)學(xué)家嘗試給出這個(gè)問題的解。直到十六世紀(jì),，意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞才發(fā)現(xiàn)三次方程的求根公式,。在這之后，虛數(shù)的引入就成了一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)問題,，而不再是單純的一個(gè)符號(hào)演算,。不承認(rèn)虛數(shù)的存在，就意味著無法求解三次方程的根,。

虛數(shù)出現(xiàn)之后,，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)著名的棣莫佛公式，歐拉用i表示-1的平方根,，將i作為虛數(shù)的單位,，挪威測(cè)量學(xué)家韋塞爾試圖給虛數(shù)以直觀的幾何解釋，高斯對(duì)于復(fù)素?cái)?shù)進(jìn)行了一系列的研究,。再加上柯西及阿貝爾的努力,，以及復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來,，逐漸為數(shù)學(xué)家所接受,。

復(fù)數(shù)z被定義為二元有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，記為z=x+yi,，其中i是虛根單位,。在復(fù)數(shù)z=x+yi中，x=Re(z)稱為實(shí)部,，y=Im(z)稱為虛部,。當(dāng)虛部b=0時(shí)，z可視為實(shí)數(shù)；當(dāng)虛部b≠0而實(shí)部a=0時(shí),，z稱為虛數(shù),，或者純虛數(shù)。

定義兩虛數(shù)a+bi與c+di的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

根據(jù)乘法的定義可得i2=-1,，容易驗(yàn)證復(fù)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算法則基本相同,，只不過是在運(yùn)算過程中帶上符號(hào)i而已。

將復(fù)數(shù)z=x+yi等同于平面上的點(diǎn)或者向量(x,，y),，那么z有長(zhǎng)度sqrt{x2+y2}(這里sqrt表示開根號(hào))，稱為復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng),，記為|z|,。復(fù)數(shù)z'=x-yi，即z關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),，稱為z的共軛復(fù)數(shù),，容易驗(yàn)證zz'=|z|2。另外復(fù)數(shù)的加法,，就等同于向量之間的加法,。

記r=|z|，t為z與x軸正方向的夾角,，稱為z的幅角,，那么有x=rcost，y=rsint,，于是有z=r(cost+isint),，稱為復(fù)數(shù)z的三角表示。歐拉證明了e^(it)=cost+isint,，所以也有z=re^(it)(x^y 表示x的y次方),，稱為z的指數(shù)表示。

復(fù)數(shù)的乘法用三角表示或者指數(shù)表示是簡(jiǎn)單的,。通過三角函數(shù)的運(yùn)算可以簡(jiǎn)單證明若z=re^(it),，w=pe^(is)，那么zw=rpe^(i(t+s)),。也就是說,，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘所得到的復(fù)數(shù)，其模是兩個(gè)復(fù)數(shù)模的乘積,，其幅角是兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和,。因此w乘以z，即為w的長(zhǎng)度伸縮為原來的r倍,，并將w逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度t,。

利用e^(πi/2)=cos(π/2) + i sin(π/2)=i,，可得一個(gè)復(fù)數(shù)z乘以i所得復(fù)數(shù)iz可以由復(fù)數(shù)z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，這說明復(fù)數(shù)的確是有幾何意義的,。

除了以上的幾種表示,，復(fù)數(shù)還有矩陣表示。把復(fù)數(shù)z=x+yi等同于下面形式的矩陣,。

那么容易驗(yàn)證復(fù)數(shù)的加法與矩陣的加法相容，復(fù)數(shù)的乘法也與矩陣的乘法相容,，而且令人驚奇的是這樣的矩陣在矩陣乘法下居然是可以交換的,。而復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)即為矩陣行列式的平方根，復(fù)數(shù)的共軛就是矩陣的轉(zhuǎn)置,。并且還可以發(fā)現(xiàn)下面圖片所展示的等同關(guān)系,。

當(dāng)r=1，即z=e^(it)時(shí),，z乘以一個(gè)復(fù)數(shù)w相當(dāng)于把w逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度t,。根據(jù)同種理由，稱z所對(duì)應(yīng)的矩陣（如下圖）為旋轉(zhuǎn)矩陣,。

關(guān)于復(fù)數(shù)的減法,，自然的定義為(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。對(duì)于除法,，由zz'=|z|2,，可以得到1/z=z'/|z|2，這提醒我們可以把復(fù)數(shù)除法定義為w/z=wz'/|z|2,。

這樣所有的復(fù)數(shù)就夠成了一個(gè)域,，稱為復(fù)數(shù)域，復(fù)數(shù)域是對(duì)實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充,。復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的代數(shù)閉包,，也就是說任意的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中總有根，這稱為代數(shù)基本定理,。n次多項(xiàng)式總有根的第一個(gè)正確證明是高斯在1799年的博士論文中給出的,。

這里對(duì)高斯整數(shù)做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。每個(gè)形如m+ni的復(fù)數(shù)稱為高斯整數(shù),，其中m,，n是整數(shù)。類似于素?cái)?shù),，如果m+ni=(a+bi)(c+di)可以得到a+bi或者c+di等于1,，-1，i,，-i中的某一個(gè)數(shù),，那么稱m+ni是復(fù)素?cái)?shù)或者高斯素?cái)?shù),。顯然的關(guān)系式5=(1+2i)(1-2i)，說明素?cái)?shù)5不是復(fù)素?cái)?shù),，所以素?cái)?shù)并不一定都是復(fù)素?cái)?shù),。確定一個(gè)復(fù)整數(shù)是不是一個(gè)復(fù)素?cái)?shù)，比確定一個(gè)整數(shù)是不是素?cái)?shù)更為困難,。另外類似于整數(shù)的算數(shù)基本定理,，復(fù)整數(shù)也可以表示成復(fù)素?cái)?shù)的冪相乘。

從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系擴(kuò)充的成功,，促使許多數(shù)學(xué)家考慮復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充,，一般稱之為超復(fù)數(shù)，其中最成功的人物是哈密頓,。

哈密頓澄清了復(fù)數(shù)的概念,，這使他能更清楚的思考超復(fù)數(shù)的問題。他先是尋找三維或三分量的數(shù),，并要求具有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的若干性質(zhì),。經(jīng)過若干年的努力之后，哈密頓被迫做出兩個(gè)讓步,，一是他所作的新數(shù)包含四個(gè)分量,，二是他放棄了乘法交換律。他稱得到的新的數(shù)系為四元數(shù),，而三元數(shù)的不可能性到后來才被人們意識(shí)到,。

四元數(shù)是簡(jiǎn)單的超復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)加上虛數(shù)單位i組成,，其中i2=-1,。哈密頓考慮復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，另外引入兩個(gè)虛根單位j,，k,，并有i2=j2=k2=-1。

四元數(shù)q被定義為四元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z,w),，記為q=x+yi+zj+wk,。兩個(gè)四元數(shù)的加法與復(fù)數(shù)的加法類似，為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加,。若p=a+bi+cj+dk,，q=x+yi+zj+wk，那么p+q=(a+x)+(b+y)i+(c+z)j+(d+w)k,。

為了定義兩個(gè)四元數(shù)的乘法,，另外規(guī)定：ij=k，jk=i,，ki=j,，這與三維空間向量的外積頗有類似之處,。因?yàn)閕k=i(ij)=i2j=-j，所以根據(jù)之前的關(guān)系式可以類似得到：ji=-ij=-k,，kj=-jk=-i,，ik=-ki=-j。

因?yàn)閕j≠ji,，所以乘法不滿足交換律,。另外由于將i,j,k輪換之后，i,j,k的運(yùn)算關(guān)系式不變,，這說明i,j,k的位置是等價(jià)的,，并沒有哪個(gè)虛根單位比另一個(gè)更特殊，例如完全可以把四元數(shù)q寫為q=x+zj+wk+xi,，從而把z放在第二個(gè)坐標(biāo)。

與復(fù)數(shù)類似,，將q等同于四維空間中的點(diǎn)或向量(x,y,w,k),，那么q有長(zhǎng)度sqrt{x2+y2+z2+w2}，稱為四元數(shù)q的模長(zhǎng),，記為|q|,。四元數(shù)q'=x-yi-zj-wk，即q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),，稱為q的共軛四元數(shù),，容易驗(yàn)證qq'=|q|2。另外四元數(shù)的加法,，就等同于四維向量之間的加法,。

四元數(shù)不像復(fù)數(shù)那樣有很好的三角表示，也沒有好的指數(shù)表示,，只有方向余弦q=r(cosα+icosβ+jcosγ+kcosθ)這種較為復(fù)雜的三角表示,，其中α，β,，γ,，θ是q與四個(gè)坐標(biāo)系的夾角，r=|q|為q的模長(zhǎng),，但是這種表示并不能像復(fù)數(shù)的三角表示那樣可以簡(jiǎn)化四元數(shù)乘法的運(yùn)算,。另外虛根單位i,j,k也可以理解為四維空間的旋轉(zhuǎn)，但是其意義與復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)的意義相比較為復(fù)雜的多,。

四元數(shù)有兩種矩陣表示,。

第一種是復(fù)矩陣表示，把q=x+yi+zj+wk等同于下面的矩陣,。

那么四元數(shù)的加法與矩陣的加法相容,，四元數(shù)的乘法也與矩陣的乘法相容,，而四元數(shù)的模長(zhǎng)為矩陣行列式的平方根，四元數(shù)的共軛就是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置,。還有下圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,。這種表示的另外一個(gè)好處就是當(dāng)四元數(shù)q=x+yi+zj+wk退化為復(fù)數(shù)x+yi，即c=d=0時(shí),，與之前的復(fù)數(shù)的矩陣表示是相同的,。

第二種是實(shí)矩陣表示，把q=x+yi+zj+wk等同于下面四階實(shí)矩陣,。

同樣的有四元數(shù)的模長(zhǎng)是矩陣行列式的平方根,，四元數(shù)的共軛是矩陣的轉(zhuǎn)置。對(duì)于退化情形q=x+yi,，可見其矩陣表示是復(fù)數(shù)的矩陣表示放在兩個(gè)對(duì)角塊位置上的拼接,。

根據(jù)k=ij，可以得到q=x+yi+zj+wij=(x+yi)+(z+wi)j,，記a=x+yi,，b=z+wi，那么q可以視為復(fù)數(shù)對(duì)(a,，b),，但由于四元數(shù)乘法不滿足交換律，所以一般的并不滿足類似于復(fù)數(shù)乘法的關(guān)系式(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bc)j,。只有a,b,c,d為實(shí)數(shù)時(shí),，上述關(guān)系式才成立。

因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律,，這也可以幫助理解四元數(shù)乘法為什么不滿足交換律,，所以四元數(shù)形成的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為四元數(shù)體，而不是四元數(shù)域,。關(guān)于四元數(shù)的減法,，理所應(yīng)當(dāng)?shù)亩x為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相減。對(duì)于除法,，由qq'=|q|2,，可以得到1/q=q'/|q|2，這說明與復(fù)數(shù)除法類似,，可以把四元數(shù)除法p/q定義為p與q'/|q|2相乘,。但是與復(fù)數(shù)不同的是四元數(shù)的乘法不滿足交換律，所以左乘與右乘是不同的,，也即pq'/|q|2與q'p/|q|2是不同的,。那么究竟把哪一個(gè)定義成除法更合適呢？其實(shí)兩種定義都是合理的,，只需把p和q間除法區(qū)分為左除和右除就可以了,，即把除法定義為(1/q)·p和p·(1/q),，分別稱為成左除法與右除法，而不把除法寫為p/q的形式,。

更一般的,，還有數(shù)系的關(guān)于四元數(shù)的擴(kuò)充，例如Cayley八元數(shù),。但是八元數(shù)乘法既不滿足交換律也不滿足結(jié)合律,，所以其作用與四元數(shù)相比有些相形見絀。另外也有許多其他種類的數(shù)系的擴(kuò)充,，有興趣的讀者可以查閱專門的文獻(xiàn),。