數(shù)字規(guī)律

第一種----等差數(shù)列：是指相鄰之間的差值相等,，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù),。

１、等差數(shù)列的常規(guī)公式,。設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,，公差為d ，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d (n為自然數(shù)) ,。

[例1]1,，3,，5，7，9,，（ ） A.7 B.8 C.11 D.13

[解析] 這是一種很簡(jiǎn)單的排列方式：其特征是相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的差是一個(gè)常數(shù)。從該題中我們很容易發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)數(shù)字的差均為2,，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為11,。故選C 。

２,、二級(jí)等差數(shù)列,。是指等差數(shù)列的變式，相鄰兩項(xiàng)之差之間有著明顯的規(guī)律性, 往往構(gòu)成等差數(shù)列.

[例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36

[解析] 相鄰兩位數(shù)之差分別為3, 5, 7, 9,

是一個(gè)差值為2的等差數(shù)列, 所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)與26的差值應(yīng)為11, 即括號(hào)內(nèi)的數(shù)為26+11=37.故選C ,。

３,、分子分母的等差數(shù)列。是指一組分?jǐn)?shù)中,，分子或分母,、分子和分母分別呈現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律性。

[例3] 2/3,，3/4,，4/5，5/6,，6/7,，（ ） A、8/9 B,、9/10 C,、9/11 D,、7/8

[解析] 數(shù)列分母依次為3，4,，5,，6，7,；分子依次為2,，3，4,，5,，6，故括號(hào)應(yīng)為7/8,。故選D ,。

４、混合等差數(shù)列,。是指一組數(shù)中,，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)與相鄰的偶數(shù)項(xiàng)呈現(xiàn)等差數(shù)列。

[例4] 1,，3,，3，5,，7,，9，13,，15,，，（ ）,，（ ）,。

A、19 21 B,、19 23 C,、21 23 D、27 30

[解析] 相鄰奇數(shù)項(xiàng)之間的差是以2為首項(xiàng),，公差為2的等差數(shù)列,，相鄰偶數(shù)項(xiàng)之間的差是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,。 第二種--等比數(shù)列：是指相鄰數(shù)列之間的比值相等,，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù)。

5,、等比數(shù)列的常規(guī)公式,。設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,，公比為q(q不等于0) ，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1q n-1(n為自然數(shù)) ,。

[例5] 12,，4，4/3,，4/9,，（ ） A,、2/9 B,、1/9 C、1/27 D,、4/27

[解析] 很明顯,，這是一個(gè)典型的等比數(shù)列，公比為1/3,。故選D ,。

6、二級(jí)等比數(shù)列,。是指等比數(shù)列的變式,，相鄰兩項(xiàng)之比有著明顯的規(guī)律性，往往構(gòu)成等比數(shù)列,。

[例6] 4,，6，10,，18,，34，（ ） A,、50 B,、64 C、66 D,、68

[解析] 此數(shù)列表面上看沒(méi)有規(guī)律,，但它們后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為2，4,，6,，8，16,，是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,，故括號(hào)內(nèi)的值應(yīng)為34+16Ⅹ2=66 故選C 。

7,、等比數(shù)列的特殊變式,。

[例7] 8,，12，24,，60,，（ ） A、90 B,、120 C,、180 D、240

[解析] 該題有一定的難度,。題目中相鄰兩個(gè)數(shù)字之間后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)得到的商并不是一個(gè)常數(shù),，但它們是按照一定規(guī)律排列的：3/2，4/2,，5/2,，因此，括號(hào)內(nèi)數(shù)字應(yīng)為60Ⅹ6/2=180,。故選C ,。此題值得再分析一下，相鄰兩項(xiàng)的差分別為4,，12,，36，后一個(gè)值是前一個(gè)值的3倍,，括號(hào)內(nèi)的數(shù)減去60應(yīng)為36的3倍,，即108，括號(hào)數(shù)為168,，如果選項(xiàng)中沒(méi)有180只有168的話,，就應(yīng)選168了。同時(shí)出現(xiàn)的話就值得爭(zhēng)論了,，這題只是一個(gè)特例,。

第三種—混合數(shù)列式：是指一組數(shù)列中，存在兩種以上的數(shù)列規(guī)律,。

8,、雙重?cái)?shù)列式。即等差與等比數(shù)列混合,，特點(diǎn)是相隔兩項(xiàng)之間的差值或比值相等,。

[例8] 26，11,，31,，6，36，1,，41,，（ ） A、0 B,、-3 C,、-4 D、46

[解析] 此題是一道典型的雙重?cái)?shù)列題,。其中奇數(shù)項(xiàng)是公差為5的等差遞增數(shù)列,，偶數(shù)項(xiàng)是公差為5的等差遞減數(shù)列。故選C ,。9,、混合數(shù)列。是兩個(gè)數(shù)列交替排列在一列數(shù)中,，有時(shí)是兩個(gè)相同的數(shù)列（等差或等比）,，有時(shí)兩個(gè)數(shù)列是按不同規(guī)律排列的,，一個(gè)是等差數(shù)列,，另一個(gè)是等比數(shù)列。

[例9] 5,，3,，10，6,，15,，12，（ ）,，（ ）

A,、20 18 B、18 20 C,、20 24 D,、18 32

[解析] 此題是一道典型的等差、等比數(shù)列混合題,。其中奇數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng),、公差為5的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng),、公比為2的等比數(shù)列,。故選C 。

第四種—四則混合運(yùn)算：是指前兩（或幾）個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)某種四則運(yùn)算等到于下一個(gè)數(shù),，如前兩個(gè)數(shù)之和,、之差、之積,、之商等于第三個(gè)數(shù),。

10,、加法規(guī)律。

之一：前兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)相加等于第三個(gè)數(shù),，相加的項(xiàng)數(shù)是固定的,。

[例11] 2，4,，6,，10，16,，（ ）A ,、26 B、32 C,、35 D,、20

[解析] 首先分析相鄰兩數(shù)間數(shù)量關(guān)系進(jìn)行兩兩比較，第一個(gè)數(shù)2與第二個(gè)數(shù)4之和是第三個(gè)數(shù),，而第二個(gè)數(shù)4與第三個(gè)數(shù)6之和是10,。依此類推，括號(hào)內(nèi)的數(shù)應(yīng)該是第四個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和26,。故選A ,。

之二：前面所有的數(shù)相加等到于最后一項(xiàng)，相加的項(xiàng)數(shù)為前面所有項(xiàng),。

[例12] 1,，3，4,， 8,，16，（ ） A,、22 B ,、24 C、28 D,、32

[解析] 這道題從表面上看認(rèn)為是題目出錯(cuò)了,，第二位數(shù)應(yīng)是2，以為是等比數(shù)列,。其實(shí)不難看出,，第三項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和，第四項(xiàng)與等于前三項(xiàng)之和,，括號(hào)內(nèi)的數(shù)應(yīng)為前五項(xiàng)之和為32,。故選D 。

11、減法規(guī)律,。是指前一項(xiàng)減去第二項(xiàng)的差等于第三項(xiàng),。

[例13] 25，16,，9,，7，（ ）,，5 A,、8 B、2 C,、3 D,、6

[解析] 此題是典型的減法規(guī)律題，前兩項(xiàng)之差等于第三項(xiàng),。故選B ,。

12、加減混合：是指一組數(shù)中需要用加法規(guī)律的同時(shí)還要使用減法,，才能得出所要的項(xiàng),。

[例14] 1，2,，2,，3，4,，6，（ ） A,、7 B,、8 C、9 D,、10

[解析] 即前兩項(xiàng)之和減去1等于第三項(xiàng),。故選C 。

13,、乘法規(guī)律,。之一：普通常規(guī)式：前兩項(xiàng)之積等于第三項(xiàng)。

[例15] 3,，4,，12，48,，（ ） A,、96 B、36 C、192 D,、576

[解析] 這是一道典型的乘法規(guī)律題,，仔細(xì)觀察，前兩項(xiàng)之積等于第三項(xiàng),。故選D ,。

[例16] 2，4,，12,，48，（ ） A,、96 B,、120 C、240

D ,、480

[解析] 每個(gè)數(shù)都是相鄰的前面的數(shù)乘以自已所排列的位數(shù),，所以第5位數(shù)應(yīng)是5×48=240。故選D ,。

14,、除法規(guī)律。 [例17] 60,，30,，2，15,，（ ） A,、5 B、1 C,、1/5 D,、2/15

[解析] 本題中的數(shù)是具有典型的除法規(guī)律，前兩項(xiàng)之商等于第三項(xiàng),，故第五項(xiàng)應(yīng)是第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的商,。故選D 。

15,、除法規(guī)律與等差數(shù)列混合式,。

[例18] 3，3,，6,，18，（ ） A,、36 B,、54 C,、72 D、108

[解析] 數(shù)列中后個(gè)數(shù)字與前一個(gè)數(shù)字之間的商形成一個(gè)等差數(shù)列,，以此類推,，第5個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)之間的商應(yīng)該是4，所以18×4=72,。故選C ,。

思路引導(dǎo)：快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系,，大膽提出假設(shè),，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)。如果假設(shè)被否定,，立刻換一種假設(shè),，這樣可以極大地提高解題速度。 第五種—平方規(guī)律：是指數(shù)列中包含一個(gè)完全平方數(shù)列,，有的明顯,，有的隱含。

16,、平方規(guī)律的常規(guī)式,。[例19] 49，64,，91,，（ ），121 A,、98 B,、100 C、108

D ,、116

[解析] 這組數(shù)列可變形為72,，82，92,，（ ），112,，不難看出這是一組具有平方規(guī)律的數(shù)列,，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)應(yīng)是102。故選B ,。

17,、平方規(guī)律的變式。 之一,、n2-n

[例20] 0,，3,，8，15,，24,，（ ） A、28 B,、32 C,、35 D、40

[解析] 這個(gè)數(shù)列沒(méi)有直接規(guī)律,，經(jīng)過(guò)變形后就可以看出規(guī)律,。由于所給數(shù)列各項(xiàng)分別加1，可得1,，4,，9，16,，25,，即12，22,，32,，42，52,，故括號(hào)內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62-1=35，其實(shí)就是n2-n ,。故選C ,。 之二,、n2+n

[例21] 2,，5,，10,，17,，26,，（ ） A、43 B,、34 C,、35 D、37

[解析]

這個(gè)數(shù)是一個(gè)二級(jí)等差數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，括號(hào)內(nèi)的數(shù)是26=11=37。如將所給的數(shù)列分別減1,，可得1，4，9,，16,，25,，即12,，22,，32,，42,，52,，故括號(hào)內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62+1=37,，,，其實(shí)就是n2+n,。故選D 。

之三、每項(xiàng)自身的平方減去前一項(xiàng)的差等于下一項(xiàng),。

[例22] 1,，2，3,，7,，46，（ ） A、2109 B,、1289 C,、322 D、147

[解析] 本數(shù)列規(guī)律為第項(xiàng)自身的平方減去前一項(xiàng)的差等于下一項(xiàng),，即12-0,，22-1=3,，32-2=7，72-3=46,，462-7=2109,，故選A ,。

第六種—立方規(guī)律：是指數(shù)列中包含一個(gè)立方數(shù)列，有的明顯,，有的隱含。

16,、立方規(guī)律的常規(guī)式：

[例23] 1/343，1/216,，1/125,，（ ） A,、1/36 B,、1/49 C,、1/64 D、1/27

[解析] 仔細(xì)觀察可以看出,，上面的數(shù)列分別是1/73,，1/63，1/53的變形,，因此,，括號(hào)內(nèi)應(yīng)該是1/43，即1/64。故選C ,。

17,、立方規(guī)律的變式：

之一、n3-n

[例24] 0,，6,，24，60,，120,，（ ） A、280 B,、320 C、729 D,、336

[解析] 數(shù)列中各項(xiàng)可以變形為13-1,，23-2，33-3,，43-4,，53-5，63-6,，故后面的項(xiàng)應(yīng)為73-7=336,，其排列規(guī)律可概括為n3-n 。故選D ,。

之二,、n3+n

[例25] 2，10,，30,，68，（ ） A,、70 B,、90 C、130 D,、225[解析] 數(shù)列可變形為13+1,，23+1，33+1,，43+1,，故第5項(xiàng)為53+=130，其排列規(guī)律可概括為n3+n,。故選C ,。

之三、從第二項(xiàng)起后項(xiàng)是相鄰前一項(xiàng)的立方加1。

[例26] -1,，0,，1，2,，9,，（ ） A、11 B,、82 C,、729 D、730

[解析] 從第二項(xiàng)起后項(xiàng)分別是相鄰前一項(xiàng)的立方加1,，故括號(hào)內(nèi)應(yīng)為93+1=730,。故選D 。

思路引導(dǎo)：做立方型變式這類題時(shí)應(yīng)從前面幾種排列中跳出來(lái),，想到這種新的排列思路,，再通過(guò)分析比較嘗試尋找，才能找到正確答案,。

第七種—特殊類型：

18,、需經(jīng)變形后方可看出規(guī)律的題型：

[例27] 1，1/16,，（ ）,，1/256，1/625 A,、1/27 B,、1/81

C 、1/100 D,、1/121

[解析] 此題數(shù)列可變形為1/12,，1/42，（ ）,，1/162,，1/252，可以看出分母各項(xiàng)分別為1,，4,，（ ），16,，25的平方,，而1，4,，16,，25,，分別是1，2,，4,，5的平方，由此可以判斷這個(gè)數(shù)列是1,，2,，3，4,，5的平方的平方,，由此可以判斷括號(hào)內(nèi)所缺項(xiàng)應(yīng)為1/

（32）2=1/81。故選B ,。

19,、容易出錯(cuò)規(guī)律的題。

[例28] 12,，34,，56，78,，（ ） A、90 B,、100 C,、910 D、901

[解析] 這道題表面看起來(lái)起來(lái)似乎有著明顯的規(guī)律,，12后是34,，然后是56，78,，后面一項(xiàng)似乎應(yīng)該是910,，其實(shí)，這是一個(gè)等差數(shù)列,，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)均為22,，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)該是78+22=100。故選B ,。