關(guān)于高考數(shù)學(xué)相關(guān)的數(shù)列類(lèi)問(wèn)題，我們已經(jīng)陸續(xù)講解了數(shù)列求和問(wèn)題,、數(shù)列類(lèi)實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題,、數(shù)列綜合運(yùn)用問(wèn)題等等。各個(gè)專(zhuān)題針對(duì)高考數(shù)列不同的考查方向和出題方式,，如果大家對(duì)每個(gè)專(zhuān)題都能認(rèn)真去研讀和思考,，相信一定能幫助大家掌握好數(shù)列相關(guān)知識(shí)內(nèi)容,。

在講解幾個(gè)數(shù)列專(zhuān)題知識(shí)內(nèi)容過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)要順利解決數(shù)列問(wèn)題,，很多時(shí)候需要先找出數(shù)列的通項(xiàng)公式,，或是遞推公式等等。很多考生無(wú)法解決數(shù)列問(wèn)題,，都是卡在這個(gè)問(wèn)題上,，無(wú)法找出數(shù)列的通項(xiàng)公式，自然數(shù)列問(wèn)題就無(wú)法繼續(xù)下一步,，更別說(shuō)解決問(wèn)題,，拿到分?jǐn)?shù)。

因此,，今天我們就一起來(lái)講講數(shù)列問(wèn)題當(dāng)中關(guān)鍵解題步驟：如何求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,，即遞推數(shù)列問(wèn)題。

什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式,？

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

在求解數(shù)列通項(xiàng)公式過(guò)程中,，我們需要對(duì)數(shù)列的遞推公式非常了解,，那么什么是數(shù)列的遞推公式呢？

如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示,，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式。

典型例題分析1：

數(shù)列{an}中,，已知a1＝2,，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數(shù)c≠0),，且a1,，a2，a3成等比數(shù)列．

(1)求c的值,；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：(1)由題知,，a1＝2，a2＝2＋c,，a3＝2＋3c,，

因?yàn)閍1，a2,，a3成等比數(shù)列,，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，

解得c＝0或c＝2,，又c≠0,，故c＝2.

(2)當(dāng)n≥2時(shí),，由an＋1＝an＋cn得

a2－a1＝c，

a3－a2＝2c,，

…

an－an－1＝(n－1)c，

以上各式相加,，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2,，

又a1＝2，c＝2,，故an＝n2－n＋2(n≥2),，

當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立,，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n＋2(n∈N*)．

通過(guò)遞推數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)類(lèi)數(shù)列問(wèn)題,，很多時(shí)候我們都會(huì)碰到與函數(shù)、方程,、不等式,、三角、幾何等知識(shí)相結(jié)合的綜合問(wèn)題,。遇到此類(lèi)問(wèn)題,，我們要學(xué)會(huì)利用第n與前n項(xiàng)和關(guān)系、構(gòu)造等比等差數(shù)列,、累積累差等求數(shù)列通項(xiàng)公式方法,，提高將非特殊數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列問(wèn)題及利用等比等差數(shù)列通項(xiàng)公式解題能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力。此類(lèi)考查很多時(shí)候出現(xiàn)在小題或大題的第一小題中,，是有一定難度的題目,。

解決數(shù)列類(lèi)問(wèn)題，我們一定要緊緊抓住數(shù)列的函數(shù)特征,，如數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,，…，n})的特殊函數(shù),，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式,，即f(n)＝an(n∈N*)。

同時(shí)更要加深對(duì)數(shù)列概念的理解,，如數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù),，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān),，這有別于集合中元素的無(wú)序性,。

因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列,。數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn),，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別,。

在求數(shù)列通項(xiàng)公式過(guò)程中需要用到一些數(shù)學(xué)思想,，如根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想,。因此,，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們一定要多加積累數(shù)學(xué)思想方法,，提高數(shù)學(xué)綜合能力,。

典型例題分析2：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．

解：∵當(dāng)n≥2時(shí),，

an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n,，

當(dāng)n＝1時(shí)，

a1＝S1＝4也適合,，

∴{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n(n∈N*)．

∵Tn＝2－bn,，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，

b1＝2－b1,，b1＝1.

當(dāng)n≥2時(shí),，

bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，

∴2bn＝bn－1.

∴數(shù)列{bn}是公比為1/2,，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．

∴bn＝(1/2)n－1.

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式,，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系,、規(guī)律,，可使用添項(xiàng)、通分,、分割等辦法,，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求．對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整,。

對(duì)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,，求通向公式問(wèn)題，常用公式：當(dāng)n=1時(shí),，an=S1,；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1,，分別來(lái)直接求出通項(xiàng)公式,。對(duì)給出數(shù)列n項(xiàng)和與若干項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式問(wèn)題，若利用上述公式易轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推公式,，則先求出an的遞推公式,，再通過(guò)構(gòu)造數(shù)列或累積或累差求出通項(xiàng)公式,；若利用上述公式易轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn的遞推公式，則先求出Sn的遞推公式,，再求出Sn的通項(xiàng)公式,，再用上述公式，直接求出an的通項(xiàng)公式.再利用上述公式求通項(xiàng)公式時(shí),，注意要分n=1和n≠1分別求解,，驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合n≠1的解析式，若不適合則寫(xiě)成分段函數(shù)形式,，若適合則用一個(gè)式子表示。

具體來(lái)說(shuō)就是已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,，求數(shù)列的通項(xiàng)公式,，其求解過(guò)程分為三步：

1、先利用a1＝S1求出a1,；

2,、用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式,；

3,、對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式,，如果符合,，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合,，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)．

典型例題分析3：

在求通項(xiàng)公式過(guò)程當(dāng)中,，有時(shí)候我們需要構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式。如對(duì)所給的數(shù)列條件通過(guò)取倒數(shù),、兩邊同除以某個(gè)式子,、重新組合等變形方法，化為f(n+1)-f(n)=d(d為常數(shù))（f(n+1)/f(n)=q（q為常數(shù)））的形式,，常構(gòu)造等差（等比）數(shù)列bn=f(n),，先利用等差（等比）數(shù)列通項(xiàng)公式求出bn的通項(xiàng)公式，再利用an與f(n)的關(guān)系,，求出an的通項(xiàng)公式,，注意結(jié)合結(jié)論尋找條件變形方向。

本文轉(zhuǎn)載自【吳國(guó)平數(shù)學(xué)教育】

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