【考試要求】

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,；

2.掌握非等差數(shù)列,、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法；

3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),；4.能在具體問題情境中,，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系,，并解決相應(yīng)的問題.

【知識梳理】

1.特殊數(shù)列的求和公式

(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

2.數(shù)列求和的幾種常用方法

(1)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差,、等比數(shù)列，再求解.

(2)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,，從而求得其和.

(3)錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法

如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù),，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.

3.數(shù)列應(yīng)用題常見模型

(1)等差模型：如果后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值,，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù),，該模型是等比模型,，這個固定的數(shù)就是公比.

(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化,，應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系,，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系.

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化法求和

【規(guī)律方法】　1.若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an},，{bn}為等差或等比數(shù)列,，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

2.若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.

考點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法求和

【規(guī)律方法】

1.利用裂項(xiàng)相消法求和時,，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).

2.將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后,，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù),，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.

考點(diǎn)三　錯位相減法求和

【規(guī)律方法】　1.一般地,，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時,，可采用錯位相減法.

2.用錯位相減法求和時,，應(yīng)注意：

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”,，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.

考點(diǎn)四　數(shù)列的綜合應(yīng)用

【規(guī)律方法】　數(shù)列的綜合應(yīng)用?？疾橐韵聨讉€方面：

(1)數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用；

(2)數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用；

(3)數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用.

解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識,，又要有良好的邏輯思維能力和分析,、解決問題的能力.解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察,、歸納,、猜想的手段建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型,，再結(jié)合其他相關(guān)知識來解決問題.

【反思與感悟】

1.非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和,，主要有兩種思想

(1)轉(zhuǎn)化的思想,，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯位相消來完成,；

(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列,，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯位相減法,、倒序相加法等來求和.

2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟

(1)審題——仔細(xì)閱讀材料,，認(rèn)真理解題意.

(2)建模——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,，弄清該數(shù)列的特征、要求的是什么.

(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解.

(4)還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.

【易錯防范】

1.直接應(yīng)用公式求和時,，要注意公式的應(yīng)用范圍,，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論.

2.在應(yīng)用錯位相減法時,，要注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號.

3.解等差數(shù)列,、等比數(shù)列應(yīng)用題時，審題至關(guān)重要,，深刻理解問題的實(shí)際背景,，理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列,、等比數(shù)列問題,，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化,，然后用等差數(shù)列,、等比數(shù)列知識求解.