周遠(yuǎn)方（湖北省教育科學(xué)研究院）

摘要：2015年的圓錐曲線試題,，保持了幾何與代數(shù)交會(huì),、基礎(chǔ)與能力并重、傳統(tǒng)與創(chuàng)新兼顧的命題特點(diǎn),，突出了運(yùn)用坐標(biāo)法研究圖形幾何性質(zhì)的解析幾何本色．基礎(chǔ)題考核目標(biāo)明確,，立足于圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查解析幾何的基本能力,；創(chuàng)新題立意新穎別致,，聚焦于軌跡、定值和最值等問題的動(dòng)態(tài)變化探究,，考查解析幾何的核心素養(yǎng)．圓錐曲線試題文,、理難易有別，適度體現(xiàn)差距,，加大區(qū)分功能,，仍將是明年高考圓錐曲線的命題趨勢．

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；考點(diǎn)分析,；命題特點(diǎn),；模擬試題

一、專題考點(diǎn)分析

（一）考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)說明

圓錐曲線與方程是解析幾何的核心知識,，是每年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容,。統(tǒng)計(jì)表明，與2014年相比,，2015年的圓錐曲線考查特點(diǎn)體現(xiàn)在“五個(gè)三”上：即試題立意于穩(wěn)、變,、新的三個(gè)特點(diǎn),，考點(diǎn)分布于橢圓、雙曲線和拋物線三類曲線上,；考核要求定位于了解,、理解和掌握三個(gè)層次上；數(shù)學(xué)思想方法立足于“數(shù)形結(jié)合,、特殊與一般,、函數(shù)與方程”三種主要思想方法上；能力要求突出在運(yùn)算求解能力,、邏輯思維能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力三項(xiàng)主旨能力上,。尤其是在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其簡單應(yīng)用的交會(huì)點(diǎn)上的試題居多,。

從題量分值上看，基本保持著一小一大或兩小一大的布局,，分值約在17～26分之間,。從文、理差異上看,，文,、理科完全相同的題不多，往往是文,、理難易有別,，一般是理科難度明顯高于文科，并且通常采用姊妹題命制的手法,，大致表現(xiàn)為“起點(diǎn)相同而終點(diǎn)不同”,、“曲線相同但設(shè)問不同”和“題目相同但順序不同”等差異方式．

從擺放位置上看，小題（選擇題與填空題,，下同）大多放置在中間偏后的題序上,，難度一般為中檔偏易題或中檔偏難題；大題（解答題,，下同）多放置在解答題后三題之中,，把關(guān)區(qū)分功能依舊十分突出。

從考查內(nèi)容上看,，大題除全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題,、福建卷文科第19題以拋物線為背景，浙江卷文科第19題用拋物線與圓交會(huì),，湖南卷文,、理科第20題用拋物線與橢圓交會(huì)之外，其余各卷均依托于橢圓曲線,，突出考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),，直線與橢圓的位置關(guān)系。小題通常是為了彌補(bǔ)大題未考的曲線類型,，多數(shù)以雙曲線或雙曲線與拋物線交會(huì)為主,，主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率和漸近線等幾何性質(zhì),。

從考點(diǎn)分布上看,，注重考查基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),，加大對數(shù)形結(jié)合,、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化,、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的考查力度,；既突出通性通法,，淡化特殊技巧，又注重解析幾何的本質(zhì),，提供靈活運(yùn)用坐標(biāo)法解題的空間,。

（二）小題考點(diǎn)分布解析

圓錐曲線的小題大致可分為基本型問題和交會(huì)型問題，基本型問題以考查雙曲線的幾何性質(zhì)為主,，立足于雙曲線的定義,、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；交會(huì)型問題適度體現(xiàn)圓錐曲線之間的交會(huì)或圓錐曲線與相關(guān)知識的整合.

【評析】這7個(gè)例題的設(shè)計(jì)都緊扣雙曲線的“了解”層次考核要求,，主要結(jié)合雙曲線的漸近線從正反兩個(gè)方面考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)．同時(shí)從數(shù)形結(jié)合和特殊與一般的角度,，有效地檢測了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力．

【評析】該組3個(gè)例題都是結(jié)合雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì),，考查雙曲線的離心率．盡管試題的難易程度各不相同,，但要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用概念、坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合的思想解決離心率的問題．其中例12作為湖北卷文,、理共用的選擇題,，要求學(xué)生能根據(jù)離心率的代數(shù)與幾何意義，并利用圖形的對稱性,，既可從動(dòng)態(tài)變化的角度,，將問題轉(zhuǎn)化為雙曲線的漸近線的傾斜角或斜率的變化規(guī)律，又可從代數(shù)運(yùn)算的角度,，結(jié)合真分?jǐn)?shù)不等式的性質(zhì)導(dǎo)出結(jié)論,，對學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和化歸與轉(zhuǎn)化的能力提出了較高要求．此外，2015年還有一些圓錐曲線大題也涉及到求離心率問題,，如安徽卷文科第20題等,。

2. 交會(huì)型問題

依托數(shù)學(xué)知識、思想方法和數(shù)學(xué)能力之間的交會(huì)命題,，早已成為高考數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)全面考核目標(biāo)的必然選擇．圓錐曲線恰好是體現(xiàn)這一命題思想的典型載體,，往往通過“坐標(biāo)方法一線穿珠，動(dòng)態(tài)變化蘊(yùn)含其中”的命題做法,，一是自然地將三種圓錐曲線之間進(jìn)行交會(huì),，立足于圓錐曲線內(nèi)部知識考點(diǎn)的融合；二是恰當(dāng)?shù)赜脠A錐曲線與相關(guān)知識交會(huì),，側(cè)重于整合與圓錐曲線相關(guān)的幾何性質(zhì)問題，凸現(xiàn)圓錐曲線,、坐標(biāo)方法和數(shù)形結(jié)合三位一體的命題理念,，有效地考查解析幾何的基本思想方法．

（1）圓錐曲線之間的交會(huì).

①拋物線與雙曲線交會(huì)。

【評析】利用圓錐曲線與面積,、最值,、立體幾何和平面向量等知識點(diǎn)交會(huì)命題,，是近幾年的慣用做法，這種結(jié)合自然,、貼切,，要求學(xué)生在知識交會(huì)之中，實(shí)現(xiàn)與圓錐曲線相關(guān)知識考點(diǎn)和思想方法的相互遷移．當(dāng)然,，部分圓錐曲線大題也采用了同樣交會(huì)的手法,，如湖南卷文科第20題是直線、拋物線,、橢圓和平面向量的大雜燴,，陜西卷理科第20題集直線、橢圓和圓于一體等,，這些試題都充分展現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡(luò)交會(huì)處,、思想方法的交叉區(qū)和能力層次的交織域內(nèi)命題的意圖，以達(dá)成綜合考核幾何素養(yǎng)的目標(biāo),。

二,、命制思路分析

圓錐曲線與方程一直是考查解析幾何知識的重要載體，始終在解答題位置上占據(jù)著中偏后的位置,，不管命題者對其如何進(jìn)行改編與設(shè)計(jì),，都始終扣住解析幾何研究的兩條主線：一是根據(jù)已知條件確定曲線方程；二是利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì).立足于基礎(chǔ)考能力,，借助幾何直觀進(jìn)行直覺推理,，利用待定系數(shù)法、直接法,、定義法,、相關(guān)點(diǎn)法等求解軌跡問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,、合理簡潔的算理和算法駕馭解析幾何問題,，是圓錐曲線試題常規(guī)的命題思路和不變的命題策略.

1.命題特點(diǎn)概述

從上述考點(diǎn)分析可以看出，2015年圓錐曲線的命題特點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面,。

（1）依托定義與方程,，考查幾何本質(zhì)。

對圓錐曲線的定義與方程的考查,，注重檢測基本概念的理解和掌握的程度,；對不同曲線的幾何性質(zhì)又有不同的側(cè)重考核要求。橢圓側(cè)重于對稱性,、焦半徑,、離心率等；雙曲線側(cè)重于漸近線、離心率等,；拋物線則更多表現(xiàn)為對定義和直線與拋物線位置關(guān)系的考查,。

（2）依托位置關(guān)系，考查幾何素養(yǎng),。

對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查,，突出相交、關(guān)注相切的有關(guān)問題,，包括相交后的交點(diǎn)及弦長,，相切的幾何與代數(shù)特征。利用坐標(biāo)方法將幾何問題進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)換,，利用函數(shù)與方程的思想化歸求解,，始終是解決直線與圓錐曲線問題的主要思想和方法。聯(lián)立方程,、判別式,、韋達(dá)定理、整體代換,、設(shè)而不求等基本技能,，既是圓錐曲線重點(diǎn)考查的內(nèi)容和方法，也是甄別學(xué)生解析幾何基本素養(yǎng)的有效檢測方式,。

（3）依托知識交會(huì),，考查綜合能力.

圓錐曲線試題易于通過位置關(guān)系實(shí)現(xiàn)內(nèi)外交會(huì)，直線的斜率,、圓的切線,、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦等是展現(xiàn)內(nèi)部交會(huì)的常用元素,，軌跡問題,、范圍問題、面積問題,、最值問題,、定值問題、定點(diǎn)問題等是鏈接外部交會(huì)的主要素材,，動(dòng)靜結(jié)合的探究式設(shè)問是展示甄別功能的命題手法,，以實(shí)現(xiàn)與函數(shù)、方程,、不等式等主干知識的自然交會(huì),，達(dá)成綜合考查的目的。

2.大題命題意圖詮釋

2015年圓錐曲線大題的背景依然是橢圓占據(jù)著主流曲線,，除全國課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題是拋物線與直線交會(huì),、浙江卷文科第19題和福建卷文科第19題是拋物線與圓交會(huì)之外,，其余各卷的大題都選擇了用橢圓作背景，并重點(diǎn)通過是否存在型,、取值范圍型、面積與最值型和定點(diǎn)與定值型等問題,，突出考查解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法．

（1）是否存在問題——突出動(dòng)態(tài)變化,，考查探究能力.

以“是否存在?”的設(shè)問形式出現(xiàn)，一般只有存在或者不存在兩種情況,，是考查數(shù)學(xué)探究能力的一種常用命題方式,。是否存在性問題，其思維方式往往是假設(shè)存在后,，尋找符合條件的正確結(jié)論或者推出與條件相矛盾的結(jié)論,，從而作出合理推斷.

命題通過賦予試題動(dòng)態(tài)變化，利用動(dòng)靜結(jié)合的方式探究問題的本質(zhì),，使試題的幾何特色更加鮮明,，解法的選擇余地更加靈活，對探究能力的考查更加直觀,，給予學(xué)生展現(xiàn)從特殊到一般,、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從合情推理到理性探究的思維空間更加廣闊．