萬變不離其“中”——從近幾年高考圓錐曲線解答題談起

文/王強(qiáng)芳（南寧三中）(責(zé)編:許興華)

年年歲歲題不同，歲歲年年題相似,，近幾年高考圓錐曲線解答題盡管形態(tài)萬千,，而且設(shè)計(jì)的形式也不同，但是似乎都是與中點(diǎn)弦有關(guān),。關(guān)于中點(diǎn)弦問題除了可以用韋達(dá)定理,，中點(diǎn)公式之外，中點(diǎn)弦有如下重要性質(zhì)：

上面幾個(gè)性質(zhì)在解決中點(diǎn)弦問題中應(yīng)用廣泛,，下面從2013年到2016年的全國(guó)高考圓錐曲線試題來探討圓錐曲線問題的復(fù)習(xí)的對(duì)策,。

這是2014年全國(guó)高考題第21題，（1）的答案為：拋物線y^2=4x.第（2）問的命題意圖主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,。具體是利用四點(diǎn)共圓問題的條件求直線l的方程.

（Ⅱ）常規(guī)思路為：

解：依題意知與坐標(biāo)軸不垂直,，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1,

該題給我們的表面印象是兩條直線AB,MN與拋物線的相交關(guān)系問題,，它是可以利用直線的垂直關(guān)系、韋達(dá)定理,、弦長(zhǎng)公式等基本方法就能解決的一個(gè)常規(guī)問題,，但是計(jì)算量很大，一般學(xué)生無法完成,。其實(shí),，問題的背景是，兩條相交直線與一個(gè)二次曲線相交于四個(gè)點(diǎn),，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí),，求所滿足的條件。它的目的是從不同的層次考查學(xué)生的思維能力,。如果了解問題的背景,，解答十分簡(jiǎn)單！

其實(shí),，本題中第（2）中,，MN不是AB的中垂線也有相同的結(jié)果，只要MN垂直于AB時(shí),，答案是一樣的,，但是為什么命題人將MN設(shè)為AB的中垂線呢？我認(rèn)為主要是從試題設(shè)計(jì)的難度考慮的,，因?yàn)槿绻?/span>MN不是AB的中垂線,，很難利用常規(guī)方法求出AB的方程。這就是為什么我們強(qiáng)調(diào)通法的原因,。但事實(shí)上只要知道MN和AB成的角,，同樣可以求得的方程，但是難度過大,，體現(xiàn)不了區(qū)分度,，不利于高考的選拔功能罷了。

解法4（利用直線的參數(shù)方程）：設(shè)直線l與C的兩個(gè)交點(diǎn)A,B的中點(diǎn)為

所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

解7：

解2：因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F,，直接利用拋物線焦點(diǎn)弦

的性質(zhì)得ab=-1,，以下同解1.

(2)解1.（利用韋達(dá)定理）設(shè)

評(píng)析：本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，主要考查焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦問題,，

第（1）問考查了拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)

第（2）問考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題,，但是命題人避開了常規(guī)的設(shè)問，題目的設(shè)計(jì)用兩個(gè)三角形的面積關(guān)系掩蓋了直線AB過定點(diǎn)這一重要條件,，使得題目難度增大，當(dāng)了解這個(gè)背景后（發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)很關(guān)鍵?。?，求AB的中點(diǎn)軌跡的方程就變得很簡(jiǎn)單了,，它可以用點(diǎn)差法直接計(jì)算得結(jié)果。四種解法中,，解4是命題人了解背景情況下的簡(jiǎn)單方法,，解3是利用行列式快速表示三角形面積，然后發(fā)現(xiàn)直線AB過定點(diǎn),，解2是常規(guī)方法中利用直線過定點(diǎn)比較容易想到,，解法1容易想到，但是運(yùn)算較解2,，解3,，解4復(fù)雜。

整個(gè)題目考查了學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力,，利用面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)是難點(diǎn),，它對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有一定的要求，屬于中等偏上難度的題目,。最后可以將第（2）問總結(jié)成一個(gè)一般性的問題：

  已知直線過某個(gè)定點(diǎn),，與二次曲線相交于兩點(diǎn)，求這相交弦的中點(diǎn)的軌跡方程,。