8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦,、余弦定理求解,。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為,，則在橢圓中,， ①＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí),，最大為＝,；②，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí),，的最大值為bc,；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①；②,。比如：

①短軸長(zhǎng)為,，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、,，過作直線交橢圓于A,、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為________（答：6）,；

②設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn),，F₁、F₂是左右焦點(diǎn),，若,，|PF₁|=6，則該雙曲線的方程為           （答：）,； 

③雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4,，離心率e＝，F₁,、F₂是它的左右焦點(diǎn),，若過F₁的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),，且是與等差中項(xiàng),，則＝__________（答：）；

④已知雙曲線的離心率為2,，F₁,、F₂是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn),，且,，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）,；

9,、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切,；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦,， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF,；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A,、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A,，B,，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB,；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C,，則BC平行于x軸，反之,，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn),，則A，O,，C三點(diǎn)共線。

10,、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A,、B，且分別為A,、B的橫坐標(biāo),，則＝，若分別為A,、B的縱坐標(biāo),，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為,，則＝,。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算,，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算,，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解,。比如：

①過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x₁,，y₁），B（x₂,，y₂）兩點(diǎn),，若x₁+x₂=6，那么|AB|等于_______（答：8）,；

②過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10,，O為坐標(biāo)原點(diǎn),，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_______（答：3）,；

11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解,。在橢圓中,，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中,，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=,；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=,。比如：

①如果橢圓弦被點(diǎn)A（4,，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是        （答：）,；

②已知直線y=－x+1與橢圓相交于A,、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上,，則此橢圓的離心率為_______（答：）,；

③試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（答：）,；

特別提醒：因?yàn)?/span>是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件,，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí),，務(wù)必別忘了檢驗(yàn),！

12．你了解下列結(jié)論嗎？

（1）雙曲線的漸近線方程為,；

（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù),，≠0）。

如與雙曲線有共同的漸近線,，且過點(diǎn)的雙曲線方程為_______（答：）

（3）中心在原點(diǎn),，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為,；

（4）橢圓,、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為,，拋物線的通徑為,，焦準(zhǔn)距為；

（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦,；

（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB,，，則①；②

（7）若OA,、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦,，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)

13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：

（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn),、列式,、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍,；

（2）求軌跡方程的常用方法：

①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系,；

如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：或）,；

②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型,，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù),。

如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m,，0），端點(diǎn)A,、B到x軸距離之積為2m,，以x軸為對(duì)稱軸，過A,、O、B三點(diǎn)作拋物線,，則此拋物線方程為                                （答：）,；

③定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,；

如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA,、PB，切點(diǎn)分別為A,、B,，∠APB=60⁰，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為                    （答：）,；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1,，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ （答：）；(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切,，則動(dòng)圓圓心的軌跡為        （答：雙曲線的一支）,；

④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上,，則可先用的代數(shù)式表示,，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；

如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2,，則M的軌跡方程為__________（答：）,；

⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示,，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）,。

如（1）AB是圓O的直徑,，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn),，作MN⊥AB,，垂足為N，在OM上取點(diǎn),，使,，求點(diǎn)的軌跡。（答：）,；（2）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),，則點(diǎn)的軌跡方程是____（答：）；（3）過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,、B兩點(diǎn),，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________（答：）；

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識(shí),，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā),，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化,。

如已知橢圓的左,、右焦點(diǎn)分別是F₁（－c，0）,、F₂（c,，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),，滿足點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn),，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足（1）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),，證明,；（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（3）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上,，是否存在點(diǎn)M,，使△F₁MF₂的面積S=若存在,，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在,，請(qǐng)說明理由. （答：（1）略,；（2）；（3）當(dāng)時(shí)不存在,；當(dāng)時(shí)存在,，此時(shí)∠F₁MF₂＝2）

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式),、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題,、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式,、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”,，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.

14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：

（1） 給出直線的方向向量或,；

（2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn);

（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);

（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;

（5） 給出以下情形之一：①,；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線.

（6） 給出,，等于已知是的定比分點(diǎn),，為定比，即

（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,。

（8）給出,等于已知是的平分線/

（9）在平行四邊形中,，給出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四邊形中,，給出,，等于已知是矩形;

（11）在中,，給出,，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）,；

（12） 在中,，給出,，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）,；

（13）在中，給出,，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）,；

（14）在中,，給出等于已知通過的內(nèi)心；

（15）在中,，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心,，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；

（16） 在中,，給出,等于已知是中邊的中線;