偏微分方程

容齋承筐 2015-12-07

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二維熱傳導方程式的解

微積分學

$\int_M \mathrm3squ974rb\omega = \oint_{\partial M} \omega$

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偏微分方程（英語：partial differential equation,，縮寫作PDE）指含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的方程,。描述自變量、未知函數(shù)及其偏導數(shù)之間的關系,。符合這個關系的函數(shù)是方程的解,。

偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件,。

記號及例子[編輯]

方程式中常以u為未知數(shù)及偏微分,，如下：

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}$

用于空間偏微分的梯度運算子 $\nabla=({\part \over \part_x}, {\part \over \part_y}, {\part \over \part_z})$

時間偏微分 $\dot u= {\part u \over \part t}$ ，線性偏微分方程式的例子如下：

拉普拉斯方程[編輯]

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$

適用于重力場問題的求解

泊松方程[編輯]

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)$

適用于所有物質或電荷的重力場或靜電場,。

波動方程式[編輯]

未知函數(shù)u(x,y,z,t):

$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$

$\ddot u=c^2\nabla^2u$

熱傳導方程式[編輯]

$u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$

其中k代表該材料的熱導率

分類[編輯]

一些線性二階偏微分方程可以分為：拋物線方程,，雙曲線方程和橢圓方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同應用領域中也有不同的形式,。這種分類便于在解偏微分方程時尋找初始條件提供依據(jù),。

一階偏微分方程[編輯]

主條目：一階偏微分方程

本章節(jié)未有任何內容。請協(xié)助擴充此章節(jié),。（2012年11月8日）

二階偏微分方程[編輯]

表達式為：

$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$

其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y,。如果在xy平面上有 A^2 +B^2 + C^2 > 0 ，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程,?？勺冃螢椋?/p>

$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$

該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程,，起分類方式為：

$B^2 - AC \, < 0$ : 橢圓方程,；
$B^2 - AC = 0\,$ : 拋物線方程,；
$B^2 - AC \, > 0$ ：雙曲線方程。

混合形式方程[編輯]

如果偏微分方程的系數(shù)不是一個常數(shù),，該偏微分方程可能不屬于以上幾種類別之一,，而可能是混合形式方程。一個簡單的例子為Euler–Tricomi方程：

$u_{xx} \, = xu_{yy}$

該方程稱為橢圓雙曲線方程,。因為當x < 0時是橢圓形式,，當x > 0時是雙曲線形式。

偏微分方程有關問題[編輯]

適定問題[編輯]

偏微分方程解中任意函數(shù)的出現(xiàn)必然產(chǎn)生解的各種差異,，考慮到幾乎不知道這些解的詳情,，在大多數(shù)問題中慣常的目標是找滿足合適的和確定的條件(例如在空間的邊界處和某固定時刻）的那些解，要求這些條件可以確定唯的解是自然的要求,。

而且還有更進一步的考慮,，即這些條件的大小或量的微小改變在解本身也帶來相應地小的改變。

法國數(shù)學家阿達馬強調后一方面,，當解不連續(xù)地依賴于原始數(shù)據(jù)變化時稱此問題是不適定的或提得不正確的

不適定的例子

對于雙變量的Laplace方程：

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 (y>0)$

在邊界條件

z(x,0)=0 和 $\frac{\partial z(x,0)}{\partial y}=\frac{1}{n}\cos nx$

之下,，符合條件的解為

$z(x,y)=\frac{1}{n^2}\sinh (ny) \cos (nx)$

當 $\begin{smallmatrix} n\rightarrow + \infty \end{smallmatrix}$ 時其數(shù)據(jù)在 $\begin{smallmatrix} y=0 \end{smallmatrix}$ 處 $\begin{smallmatrix} z \end{smallmatrix}$ 和 $\begin{smallmatrix} \frac{\partial z}{\partial y} \end{smallmatrix}$ 的指定值趨于0，而 $\begin{smallmatrix} z(x,y) \end{smallmatrix}$ 的值在無窮大的范圍內震蕩,，所以這個解不適定,。

解析法解偏微分方程[編輯]

一些有效的解析法解偏微分方程方法：

分離變量法[編輯]

主條目：可分離變數(shù)的偏微分方程

通過分離變量法減少偏微分方程中的變量，將一個偏微分方程分解成若干個常微分方程,。

特征線法[編輯]

主條目：特征線法

沿著一階偏微分方程的特征線,，偏微分方程簡化為一個常微分方程。沿著特征線求出對應常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解,。

積分變換[編輯]

利用積分法,，將偏微分方程變換為可分離的偏微分方程，方便求解,。一般為傅里葉變換分析,。

變量變換[編輯]

通過適當?shù)淖兞孔儞Q，可以簡化偏微分方程的求解,。一個典型的例子為Black–Scholes方程：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$

可以簡化為熱力方程：

$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

通過如下變換：

$V(S,t) = K v(x,\tau)\,$

$x = \ln(S/K)\,$

$\tau = \frac{1}{2} \sigma^2 (T - t)$

$v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).\,$

基本解[編輯]

非齊次偏微分方程可通過尋找基本算子,，然后通過帶有初始條件的卷積來解答。該法常用于信號處理中通過沖激響應來求解濾波器,。

疊加原理[編輯]

因為一個線性齊次偏微分方程解的重疊也可看做一個解,，所以可以通過交叉重疊這些解得到偏微分方程的一個解。

數(shù)值法解偏微分方程[編輯]

在眾多求解偏微分方程的數(shù)值方法中,，三種應用最廣的方法為有限元法（Finite Element Method, FEM）,、有限體積法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中,，有限元法占主要地位,，尤其是它的高效高階版本—hp-FEM,。其它版本的有限元法還有：廣義有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、擴展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）,、無網(wǎng)格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、離散迦遼金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等,。