12. 粒子和場(chǎng)

世界的本源是什么,？是物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)。那么,，物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的本源又是什么,？如果將“本源”理解為構(gòu)成世界的最基本成分的話，根據(jù)目前大多數(shù)物理學(xué)家所認(rèn)可的“標(biāo)準(zhǔn)模型”,，這些基本成分歸結(jié)為62種基本粒子（暫且不作具體討論）和4種相互作用,。實(shí)際上,，相互作用在“基本粒子”表中也有它們所對(duì)應(yīng)的“作用傳播子”，所以,，不妨就可以將世界當(dāng)作是這62種基本粒子組成的,。然而，雖然仍然把它們稱作基本“粒子”,，但它們已經(jīng)遠(yuǎn)不是人們腦袋中那種經(jīng)典的,、一個(gè)一個(gè)小球模樣的“粒子”形象了。上面這句話其實(shí)不完全正確,，對(duì)光量子,，或電磁場(chǎng)而言，粒子說(shuō)和波動(dòng)說(shuō)一直都在交叉地爭(zhēng)奪天下,。原來(lái)那種“小球粒子”,，主要是針對(duì)電子,、原子,、質(zhì)子、中子一類的“物質(zhì)粒子”而言的,。

是1900年誕生的量子力學(xué),，摧毀了經(jīng)典粒子和經(jīng)典場(chǎng)的形象。所有問題都是這個(gè)奇怪的“量子”帶來(lái)的,，量子力學(xué)賦予了光波以粒子的屬性,，又粉碎了實(shí)物粒子的經(jīng)典圖像。按照經(jīng)典的說(shuō)法,，實(shí)物由粒子構(gòu)成,，光和引力，是場(chǎng),。但量子力學(xué)的誕生模糊了兩者的界限,。實(shí)物粒子表現(xiàn)出波動(dòng)性，電磁場(chǎng)卻表現(xiàn)出了粒子性,。上節(jié)介紹的路徑積分方法十分確切地將這兩者統(tǒng)一在同一個(gè)思想框架中：量子力學(xué)可以被看作是經(jīng)典運(yùn)動(dòng)在微觀尺度下的修正,，這些修正來(lái)源于不同的路徑，在相位上相對(duì)于經(jīng)典路徑成指數(shù)衰減,，它們使得經(jīng)典的軌道和環(huán)境都變得“模糊”起來(lái),。

既然粒子和場(chǎng)之間是模模糊糊的，并沒有明確的界限,，為何不干脆將它們都用一種單一的“形象”表達(dá)出來(lái)呢,？回答應(yīng)該是肯定的，這也算是統(tǒng)一的第一步吧,。然后,，下一個(gè)問題便是：這個(gè)形象應(yīng)該是粒子為本,，還是場(chǎng)為本呢？也許你可以說(shuō),，兩者都是“本”,，一切都既是粒子又是波。既是波又是粒子,。但大多數(shù)的人都認(rèn)為只應(yīng)該有一個(gè)本體,，到底哪一個(gè)才是更基本的？并且,，當(dāng)物理學(xué)界構(gòu)造理論和數(shù)學(xué)模型時(shí),，也需要決定首先構(gòu)造哪一個(gè)呀。最后,，物理學(xué)家們選擇了“以場(chǎng)為本”,，并將此理論取名為“量子場(chǎng)論”。顯而易見,，量子場(chǎng)論還應(yīng)該與狹義相對(duì)論相容^【1,，2】。

歷史地看,，量子場(chǎng)論的提出與之前介紹過的狄拉克方程有關(guān),。狄拉克的電子方程本來(lái)是用來(lái)解釋單個(gè)電子的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的，但是,，它卻引導(dǎo)出了無(wú)限多的負(fù)能量的能級(jí),，為此，狄拉克不得不假設(shè)了一個(gè)狄拉克“?！钡母拍?，認(rèn)為真空中的負(fù)能級(jí)上已經(jīng)充滿了電子，偶然出現(xiàn)一個(gè)“洞”,，便意味著出現(xiàn)了一個(gè)正電子,，雖然這個(gè)理論成功地預(yù)言了正電子的存在，但并不說(shuō)明這個(gè)理論就是完全正確的,。狄拉克的本意是像薛定諤方程那樣,，得到單電子的波函數(shù)，最后卻想不到拉扯出了無(wú)窮多個(gè)電子,。無(wú)窮多個(gè)電子存在的狀態(tài),，還能被稱為“真空”嗎？真空中無(wú)窮多個(gè)能級(jí)被占據(jù),，也導(dǎo)致了無(wú)限大又不可測(cè)量的能量密度,。此外，這種思維方式是基于電子這種費(fèi)米子所遵循的泡利不相容原理,。如果試圖以類似的方式來(lái)建立玻色子的方程就不適用了,，因?yàn)椴Ｉ硬⒉皇芘堇幌嗳菰淼氖`,。既然狄拉克海的解釋涉及到了無(wú)窮多個(gè)電子，還不如一開始就考慮多電子的運(yùn)動(dòng)而不要只考慮單電子的運(yùn)動(dòng),。正電子也可以從一開始就冠冕堂皇地進(jìn)入理論中,，而沒有必要作為真空的一個(gè)空洞而出現(xiàn)。所以,，狄拉克海的假設(shè)雖然不完善,，這種“真空不空”的思想?yún)s被大家接受并移植到量子場(chǎng)論中。對(duì)量子場(chǎng)論還有另外一個(gè)要求：要能夠處理粒子數(shù)變化的情形,。量子力學(xué)提供的是單電子圖景,，電子數(shù)是固定的，永遠(yuǎn)是那一個(gè)電子,。而描述光子運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋電磁理論,，雖然方程描述的電磁場(chǎng)是彌漫于空間中的“場(chǎng)”，但是,，也無(wú)法處理光子數(shù)改變的情況,，比如說(shuō)，應(yīng)該如何描述原子中因?yàn)殡娮訝顟B(tài)的躍遷而輻射光子的過程,？如果系統(tǒng)中本來(lái)沒有任何經(jīng)典電磁場(chǎng)存在,，為什么突然就冒出了幾個(gè)光子呢,？這種現(xiàn)象是經(jīng)典電磁場(chǎng)無(wú)法解釋的,。

按照量子場(chǎng)論的觀點(diǎn)，每一種基本粒子,，都應(yīng)該有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)的場(chǎng),，這些場(chǎng)互相滲透、作用,、交匯在一起,，就像大氣那樣，充滿了整個(gè)空間,。真空被看作是各種量子場(chǎng)的基態(tài),，粒子則被看成是場(chǎng)的瞬息激發(fā)態(tài)，例如,，電子和正電子是電子場(chǎng)的激發(fā)態(tài),，夸克是夸克場(chǎng)的激發(fā)態(tài)……。不同的激發(fā)態(tài),，有不同的粒子數(shù)和不同的粒子狀態(tài),。不同場(chǎng)之間的相互作用,，引起各種粒子的碰撞、生成,、湮滅等等過程，用作用在這些量子態(tài)上的算符（包括產(chǎn)生,、湮滅、粒子數(shù)算符等）來(lái)描述。上世紀(jì)20年代末,，狄拉克、約旦和維格納等人,，為量子場(chǎng)論建立了一套稱之為“正則量子化”的數(shù)學(xué)模型,，根據(jù)這個(gè)模型，麥克斯韋的電磁場(chǎng),，以及從薛定諤方程,、狄拉克方程等解出的波函數(shù)，都可以被量子化,。人們將這種方法稱為“二次量子化”,，意思是有別于量子力學(xué)中求解波函數(shù)的量子化過程。

實(shí)際上,，“二次量子化”只是一種因?yàn)闅v史過程而形成的說(shuō)法,。從費(fèi)曼路徑積分的觀點(diǎn)，可以說(shuō)不存在什么“一次”“二次”量子化的問題,，因?yàn)槁窂椒e分的思想對(duì)兩者是一樣的,，只是討論的對(duì)象不同而已。量子力學(xué)中研究的是單粒子的時(shí)空運(yùn)動(dòng)：一個(gè)粒子從時(shí)空中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)點(diǎn)的總概率幅,，等于所有可能路徑的概率幅之和,。在量子場(chǎng)論中，研究的是系統(tǒng)量子態(tài)的演化：系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)過渡到另一個(gè)狀態(tài)的總概率幅,，也是等于所有可能演化路徑的概率幅之和,。兩種情形下的路徑積分，用的是形式相類似的同一公式：

圖12-1：量子場(chǎng)論中的路徑積分

路徑積分應(yīng)用到量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的區(qū)別只是在于積分的空間不同,，以及拉格朗日量表達(dá)式的不同,。量子場(chǎng)論路徑積分表達(dá)式（12-1）中包含兩個(gè)積分：一是對(duì)所有路徑貢獻(xiàn)的概率幅求和，對(duì)各種不同系統(tǒng)而言,，在它可能歷經(jīng)的所有路徑構(gòu)成的空間中進(jìn)行,。出現(xiàn)在指數(shù)函數(shù)中的另一個(gè)積分，是對(duì)某個(gè)給定的路徑,，從拉格朗日函數(shù)密度計(jì)算作用量時(shí)的積分,，在場(chǎng)分布的真實(shí)空間中進(jìn)行。因?yàn)榱孔訄?chǎng)論是量子力學(xué)和相對(duì)論結(jié)合而成,，第二個(gè)積分空間的維數(shù)通常是（n=1+m）,。當(dāng)m=3時(shí)，這是包括時(shí)間和3維空間的閔可夫斯基空間（不考慮引力的話）,。當(dāng)m=0的時(shí)候,，計(jì)算作用量的積分空間只有一維時(shí)間軸（t）,，公式（12-1）便簡(jiǎn)化回歸到單粒子量子力學(xué)的情況。另外,，空間維數(shù)m也可以擴(kuò)展到大于3的情形,，等于10或者別的什么正整數(shù)值都行，其數(shù)學(xué)表達(dá)式都是類似的,，只需要根據(jù)具體情況將物理意義加以推廣到高維而已,。

路徑積分表達(dá)式（12-1）是最小作用量原理的量子場(chǎng)論版，我們?cè)谏弦还?jié)中曾經(jīng)指出：對(duì)應(yīng)于作用量最小的那條軌道是經(jīng)典粒子的軌道,，如果令S的變分為0,，可以得到歐拉-拉格朗日方程，再進(jìn)一步可以導(dǎo)出經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,，即牛頓定律,。類似地，從（12-1）式出發(fā),，設(shè)定變分為0,，也能對(duì)應(yīng)于一條系統(tǒng)演化的經(jīng)典軌道。相應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程被稱為Schwinger–Dyson方程,。換言之,，從量子場(chǎng)論的觀點(diǎn)看，Schwinger–Dyson方程是歐拉-拉格朗日方程的量子場(chǎng)論版,，是該系統(tǒng)的某種經(jīng)典場(chǎng)描述,。例如，對(duì)標(biāo)量場(chǎng)而言,，在一定的條件下,，Schwinger–Dyson方程成為克萊因-高登方程。換句話說(shuō),，從量子場(chǎng)論的觀點(diǎn)看，量子力學(xué)中描述單粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)是一種經(jīng)典場(chǎng),。

無(wú)論是用正則方法,，還是用路徑積分，量子場(chǎng)論中的具體計(jì)算都不容易,，對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)更是困難重重,。比如說(shuō)，所謂的“路徑空間”實(shí)際上是一個(gè)無(wú)窮維的空間,，積分是無(wú)窮維重積分,，一般無(wú)法精確計(jì)算。

不過,，觀察一下（12-1）中的兩個(gè)積分可知,，路徑積分的計(jì)算結(jié)果依賴于拉格朗日函數(shù)的具體形式,。我們?cè)诒鞠盗械?/span>4節(jié)中介紹了經(jīng)典粒子及場(chǎng)的拉氏函數(shù)，大致都是如圖12-2中所示的某種“動(dòng)能減勢(shì)能”的形式,。

圖12-2：拉格朗日函數(shù)

動(dòng)能部分稍微好辦一些,，因?yàn)樗鼈兪菆?chǎng)（或者場(chǎng)的微分）的二次項(xiàng)。如果沒有后面勢(shì)能lV(f)一項(xiàng)的話,，經(jīng)過一系列繁復(fù)的代數(shù)運(yùn)算之后,，最終可以將路徑積分的結(jié)果表示成圖中所示的高斯積分的形式。勢(shì)能項(xiàng)描述的是相互作用,，當(dāng)相互作用比較小而被忽略不予考慮的情況下,，得到的便是“自由場(chǎng)”的結(jié)果。

對(duì)于復(fù)雜而任意變化的相互作用,，物理學(xué)家也想出了一些可行的辦法,。因?yàn)閯?shì)能部分 lV(f)的大小取決于相互作用常數(shù)（假設(shè)為l），當(dāng)l比較小的時(shí)候,，可以將拉氏函數(shù)中包括lV(f)的指數(shù)函數(shù)用l的泰勒級(jí)數(shù)展開,，展開式通常被稱為戴森級(jí)數(shù)，它描述了相互作用對(duì)自由場(chǎng)的各級(jí)修正,。

費(fèi)曼提出了一種形象化的方法來(lái)表示戴森級(jí)數(shù),，叫做費(fèi)曼圖。費(fèi)曼給費(fèi)曼圖制定了一套簡(jiǎn)單形象的規(guī)則,，可以很方便地計(jì)算粒子因相互作用產(chǎn)生的各種反應(yīng)的散射截面（即發(fā)生反應(yīng)的可能性）,，欲知詳情，請(qǐng)見參考資料中所列的任何一本量子場(chǎng)論參考書^{【1,，2,，3】}。

費(fèi)曼圖的兩個(gè)簡(jiǎn)單例子如圖12-3所示,，描述了發(fā)生在2維時(shí)空（x, t）中的相互作用,。

圖12-3：費(fèi)曼圖

圖12-3a：時(shí)空點(diǎn)1的電子，和時(shí)空點(diǎn)2的正電子,，在時(shí)空點(diǎn)3相遇并湮滅,，產(chǎn)生一個(gè)虛光子。虛光子運(yùn)動(dòng)到時(shí)空點(diǎn)4時(shí),，生成夸克和反夸克,，反夸克在時(shí)空點(diǎn)5發(fā)射一個(gè)膠子。最后,，夸克運(yùn)動(dòng)到6,，反夸克到7。

圖12-3b：電子從時(shí)空點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)到2的費(fèi)曼圖，最左邊的圖是沒有產(chǎn)生虛光子的直接路徑,；第二個(gè)圖中產(chǎn)生一個(gè)光子,，后來(lái)又吸收了這個(gè)光子；第三個(gè)圖包括了兩次產(chǎn)生和吸收光子的過程,；第四個(gè)圖是更高階的修正,。

量子場(chǎng)論“以場(chǎng)為本”，認(rèn)為粒子只是場(chǎng)的“激發(fā)態(tài)”,，猶如水波中的漣漪,。但是，對(duì)如此而定義的“場(chǎng)”的本質(zhì),，應(yīng)該如何理解,？它們到底是某種物理實(shí)在，還是僅僅是為了“激發(fā)”出可觀測(cè)“粒子”而使用的一種數(shù)學(xué)方法,？這仍然是物理學(xué)界難以回答,、頗存爭(zhēng)議的問題。不過,，類比電磁場(chǎng)的例子,，筆者認(rèn)為，“場(chǎng)”和“粒子”兩者都應(yīng)該是物理實(shí)在,，這種觀點(diǎn)似乎更具有說(shuō)服力,。對(duì)此，你的答案是什么呢,？

參考文獻(xiàn)：

【1】M. E. Peskin and D. V. Schroeder,，An Introduction to Quantum Field Theory ，RedwoodCity: Addison-Wesley,，1995

【2】Stephen Weinberg,，The QuantumTheory of Fields，Cambridge University Press,，1996

【3】A. Zee,，Quantum Field Theory in a Nutshell，PrincetonUniversity Press,，2003,，好像有中譯本。

來(lái)源：科學(xué)網(wǎng)張?zhí)烊夭┛?/span>