2.1.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)

與普通代數(shù)一樣邏輯代數(shù)中的變量也用英文字母A，B,，C,…等來表示，稱為邏輯變量,，邏輯變量的含義與普通代數(shù)情況完全不同,，它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別，邏輯變量的取值只有兩種可能：0或1,，而且沒有中間值,，0和1并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的狀態(tài),。按照邏輯學(xué)中的因果關(guān)系,，某件事情的發(fā)生（結(jié)果）必然要具備其發(fā)生的條件（原因），這里可以約定1表示條件具備或事件發(fā)生,，0表示條件不具備或事件不發(fā)生,；相反也可以約定1表示條件不具備或事件不發(fā)生，0表示條件具備或事件發(fā)生。

如圖2.1.1所示的電燈開關(guān)電路中,，電燈是否點(diǎn)亮（結(jié)果）取決于開關(guān)是否接通（條件）,。若定義Y＝1表示燈點(diǎn)亮，Y＝0表示燈熄滅,；那么可以用A＝1表示開關(guān)閉合,，A＝0表示開關(guān)斷開。由于Y與A都是取值為1或?yàn)?strong>0的邏輯變量,，并且開關(guān)的邏輯狀態(tài)決定了電燈的邏輯狀態(tài),，因此Y是A的函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式可寫為Y＝f（A）,，邏輯變量A的取值決定了邏輯函數(shù)Y的結(jié)果,。一般來說，一個邏輯函數(shù)中應(yīng)包含多個邏輯變量,，邏輯函數(shù)可表示為Y＝f（A,，B，C,，…）,，表達(dá)式由邏輯變量A，B,，C,，…和邏輯運(yùn)算符等組成。邏輯運(yùn)算符是邏輯運(yùn)算關(guān)系中特定的符號,，邏輯代數(shù)中最基本的邏輯運(yùn)算有與,、或、非三種,，每種運(yùn)算代表一種函數(shù)關(guān)系,，這種函數(shù)關(guān)系可用邏輯符號寫成邏輯表達(dá)式形式來描述，亦可以用文字來描述,，還可以用表格或圖形的方式來描述,。

2.1.2 基本邏輯運(yùn)算

人們常用因果關(guān)系來描述客觀事物條件與結(jié)果之間的關(guān)系。在邏輯代數(shù)中,最基本的邏輯關(guān)系有三種,即與邏輯關(guān)系,、或邏輯關(guān)系,、非邏輯關(guān)系。下面通過幾個具體的例子來描述這三種基本的邏輯關(guān)系,。

一,、與邏輯

如圖2.1.2所示，A,、B兩串聯(lián)開關(guān)控制電燈Y,，開關(guān)A,、B的狀態(tài)組合有四種，這四種不同的狀態(tài)組合與電燈點(diǎn)亮與熄滅之間的關(guān)系如表2.1.1所示,。

從表中可以看出,，只有當(dāng)開關(guān)A、B同時閉合時,，電燈Y才會點(diǎn)亮,；否則處于熄滅的狀態(tài)。現(xiàn)在用1來表示條件具備或事件發(fā)生,，即用1來表示開關(guān)閉合及燈亮,；用0來表示條件不具備或事件不發(fā)生，即用0來表示開關(guān)斷開及燈滅,。因此表2.1.1所示的邏輯關(guān)系可以表示為表2.1.2所示的形式,。這種把輸入邏輯變量的所有取值組合及其相對應(yīng)的輸出結(jié)果列成的表格稱之為真值表。從表2.1.1中可以得到如下的因果關(guān)系：只有當(dāng)決定某一事件的條件（如開關(guān)閉合）全部具備時,，這一事件（如燈亮）才會發(fā)生,。這種因果關(guān)系稱之為與邏輯關(guān)系。根據(jù)表2.1.2所示輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）及輸入邏輯變量的關(guān)系,，這種與邏輯關(guān)系可以寫成如下的邏輯函數(shù)表達(dá)式

Y=A·B                             （2.1.1）

式中：A與B為輸入邏輯變量,，即自變量；Y為輸出邏輯變量,，即因變量,。式中的與運(yùn)算符號“·”在不至于混淆的情況下，一般可以省略,。與運(yùn)算的意義為：只有當(dāng)A和B都為1時,，函數(shù)值Y才為1。讀者很容易推廣到三個（或三個以上）輸入變量的情況,。

由與邏輯關(guān)系的真值表可知與邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律為

0·0＝0

0·1＝1·0＝0

1·1＝1

簡單的記為：“有0出0,，全1出1”。

由此推出一般形式

                                A·0＝0                                （2.1.2）

                                A·1＝A                                （2.1.3）

                                A·A＝A                                （2.1.4）

二,、或邏輯

將圖2.1.2所示電路稍作改變,，把兩個串聯(lián)開關(guān)改為兩并聯(lián)開關(guān)控制電燈，電路如圖2.1.3所示,。兩并聯(lián)開關(guān)也有四種不同的狀態(tài)組合，這些狀態(tài)組合與燈亮,、燈滅之間的關(guān)系如表2.1.3所示,。同樣用1表示條件具備或事件發(fā)生，0表示條件不具備或事件不發(fā)生,，及1表示開關(guān)閉合,、燈亮,，0表示開關(guān)斷開、燈滅,，可以得到如表2.1.4所示的真值表,。從其邏輯狀態(tài)表中可以得到這樣的因果關(guān)系：只有在決定某一事件（如燈亮）的各種條件中，有一個或幾個條件（如開關(guān)閉合）具備時,，這一事件就會發(fā)生,。這種因果關(guān)系稱之為或邏輯關(guān)系。

上述這種或邏輯關(guān)系可以寫成如下的邏輯函數(shù)表達(dá)式

Y=A＋B                               （2.1.5）

式中“＋”為或邏輯運(yùn)算符號,?；蜻\(yùn)算的意義為：A或B只要有一個為1，則函數(shù)值Y為1,。

由或邏輯關(guān)系的真值表可知或邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律為

0＋0=0

0＋1=1＋0=1

1＋1=1

簡單的記為：“有1出1,，全0出0”。

由此推出一般形式：

A＋0=A                               （2.1.6）

A＋1=1                                （2.1.7）

A＋A=A                               （2.1.8）

三,、非邏輯

如圖2.1.4所示的開關(guān)電路中,，開關(guān)A閉合時，燈亮,；開關(guān)A斷開時,，燈滅。若用1表示開關(guān)閉合及燈亮,，0表示開關(guān)斷開及燈滅,，可得邏輯真值表如表2.1.5所示。從其邏輯狀態(tài)表中得到的因果關(guān)系如下：決定某一事件發(fā)生的條件（如開關(guān)閉合）具備時,，事件（如燈亮）不發(fā)生,；而當(dāng)事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生,。這種因果關(guān)系稱之為非邏輯關(guān)系,。

上述這種非邏輯關(guān)系可寫成如下邏輯函數(shù)表達(dá)式

                         （2.1.9）

（2.1.9）式右邊讀作“A非”或“非A”。其中“ˉ”為非邏輯的邏輯運(yùn)算符號,。非運(yùn)算的意義為：邏輯函數(shù)值為輸入邏輯變量的反,。

由非邏輯關(guān)系的真值表可知非邏輯的運(yùn)算規(guī)律為：

簡單的記為：“有0出1，有1出0”,。

由此推出其一般形式

                              （2.1.10）

                            （2.1.11）

＝0                           （2.1.12）

2.1.3 復(fù)合邏輯運(yùn)算

實(shí)際數(shù)字系統(tǒng)中遇到的邏輯關(guān)系問題往往要比簡單的與,、或、非邏輯關(guān)系復(fù)雜得多,，但是它們可以通過與,、或、非的不同組合來實(shí)現(xiàn),，從而進(jìn)行一些復(fù)合邏輯運(yùn)算,。常見的復(fù)合邏輯有：與非邏輯,、或非邏輯、與或非邏輯,、同或邏輯,、異或邏輯等。

一,、與非邏輯

與非邏輯實(shí)際上是與邏輯與和邏輯非的復(fù)合,，它首先將輸入變量進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算,。對于一個二輸入邏輯變量的與非邏輯來說,，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

                        （2.1.13）

與非邏輯的真值表如表2.1.6所示。

二,、或非邏輯

或非邏輯實(shí)際上是或邏輯和非邏輯的組合,，它首先將輸入變量進(jìn)行或運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算,。對于一個二輸入邏輯變量的或非邏輯來說,，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

                         （2.1.14）

或非邏輯的真值表如表2.1.7所示。

三,、與或非邏輯

與或非邏輯是由與邏輯,、或邏輯、非邏輯組合而成的,，它首先將輸入邏輯變量進(jìn)行與運(yùn)算,，然后再進(jìn)行或運(yùn)算，最終進(jìn)行非運(yùn)算,。對于一個2－2輸入邏輯變量的與或非邏輯來說,，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

                          （2.1.15）

與或非邏輯的真值表如表2.1.8所示。

四,、同或邏輯與異或邏輯

同或邏輯與異或邏輯都是只有兩個輸入邏輯變量的函數(shù),。

當(dāng)兩個輸入邏輯變量取值相同時，輸出邏輯函數(shù)值為1,；兩個輸入邏輯變量取值不同時,，輸出邏輯函數(shù)值為0。這種邏輯關(guān)系稱之為“同或”邏輯,。其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

＝⊙＝＋                      （2.1.16）

式中：“⊙”為同或邏輯的運(yùn)算符號,。 

同或邏輯的真值表如表2.1.9所示。

由同或邏輯的真值表可知同或運(yùn)算的規(guī)律為

0⊙0=1

0⊙1=1⊙0=0

1⊙1=1

簡單的記為：“相同為1,，相異為0”,。

由此推出一般形式

⊙0=                          （2.1.17）

⊙1=                          （2.1.18）

⊙=0                          （2.1.19）

⊙=1                          （2.1.20）

與同或邏輯相反，當(dāng)兩個輸入邏輯變量的取值相異時，輸出邏輯函數(shù)值為1,；兩個輸入邏輯變量取值相同時，輸出邏輯函數(shù)值為0,。這種邏輯關(guān)系稱之為異或邏輯關(guān)系,。其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

                       （2.1.21）

式中“”為異或邏輯的運(yùn)算符號。

異或邏輯的真值表如表2.1.10所示,。

由異或邏輯的真值表可知異或運(yùn)算的規(guī)律為

簡單的記為：“相同為0,，相異為1”。

由此推出一般形式

                            （2.1.22）

                            （2.1.23）

                            （2.1.24）

                            （2.1.25）

2.1.4邏輯函數(shù)與真值表      

在實(shí)際邏輯問題中,。前面介紹的的基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算是很少單獨(dú)出現(xiàn),，往往是構(gòu)成各種復(fù)雜邏輯運(yùn)算的基本單元，邏輯代數(shù)中的函數(shù)與普通代數(shù)中函數(shù)定義相類似,，一個多變量輸入的邏輯函數(shù)Y＝f（A,，B，C,，…）,，函數(shù)表達(dá)式由邏輯變量A，B,，C,，…和運(yùn)算符號“+”，“ˉ”,，“·”來構(gòu)成,。但概念上與普通代數(shù)的函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別，主要表現(xiàn)為：

（1）邏輯函數(shù)自身和邏輯變量的取值只有0和1兩種可能,。

（2）邏輯函數(shù)與變量之間的關(guān)系完全由與,、或、非三種基本運(yùn)算確定,。

從數(shù)字電路的角度邏輯函數(shù)可按如下定義：

設(shè)邏輯電路的輸入邏輯變量為A,，B，C,，…,，邏輯電路的輸出Y，當(dāng)A,，B,，C，…的值確定后,，則Y的值就被唯一地確定下來,，那么Y被稱為A，B,，C,，…的邏輯函數(shù),。

例如:,就是一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，其中表示邏輯變量A與B的反變量,，表述一個邏輯電路輸出端Y與其輸入邏輯變量A,，B，C之間的關(guān)系,。

一,、邏輯函數(shù)的真值表

邏輯函數(shù)表達(dá)式是表示輸出量與輸入量之間邏輯關(guān)系的一種形式，在數(shù)字邏輯電路中用真值表來描述邏輯函數(shù)更能直觀輸出量和輸入量之間的邏輯關(guān)系,。用真值表描述邏輯函數(shù)的方法是一種表格表示法,，由于一個邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個邏輯變量一共有種可能的組合,。任何邏輯函數(shù)總和若干個邏輯變量相關(guān)的,，有限的變量個數(shù)使得變量取值組合的總數(shù)必然是有限的，從而能夠用窮舉的方法來描述邏輯函數(shù)的功能,。為了清晰,，常用的方法是對一個函數(shù)求出所有輸入變量取值下的函數(shù)值，用表格的形式記錄下來,，這種表格就稱為真值表,。換而言之，真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的邏輯函數(shù)值勤所構(gòu)成的表格,。

真值表由兩部份組成,，左邊一欄列出變量的所有取值組合，為了不發(fā)生遺漏,，通常各變量取值組合按二進(jìn)制數(shù)碼順序列出,；右邊一欄為邏輯函數(shù)的值。

例如：一個三輸入變量的邏輯函數(shù)為,，其真值勤表如表2.1.11所示,。

    真值表是一種十分有用的邏輯性工具，在邏輯性問題分析與設(shè)計(jì)中,，會經(jīng)常用這一工具,。

二、真值表的邏輯表達(dá)式

真值表的最大特點(diǎn)是可直觀輸出量和輸入量之間的邏輯關(guān)系,，在數(shù)字邏輯電路中經(jīng)常應(yīng)用真值表來分析電路的邏輯功能,。用表格的形式描述邏輯函數(shù)有很明顯的局限性，因而經(jīng)常要把真值表描述的邏輯功能寫成邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式,。由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式實(shí)際上是由邏輯函數(shù)列寫真值表的一個逆過程,。

表2.1.11所示真值表與邏輯函數(shù)表達(dá)式的關(guān)系分析如下：

邏輯函數(shù)表達(dá)式可改寫為

當(dāng)A、B、C的取值為011時,，,，則

同理，在A,、B,、C的取值為111、110,、101時，分別使,，和

,，使邏輯函數(shù)值為。

因此,，由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式時,，首先把每個輸出邏輯變量Y=1的相對應(yīng)的一組輸入變量（A、B,、C,、…）的組合狀態(tài)以與項(xiàng)的形式表示，變量取值為1用原變量形式表示,，變量取值為0用反變量形式表示,；然后將所有使Y=1的與項(xiàng)進(jìn)行邏輯或，便得到了輸出Y的邏輯函數(shù)表達(dá)式,，由于邏輯函數(shù)表達(dá)式Y中包含了所有使Y=1的輸入組合,，因此該表達(dá)式是完備的。

例2.1.1  列出下述邏輯問題的真值表,，并寫出描述該邏輯問題的邏輯函數(shù)表達(dá)式,。

有A、B,、C三個輸入信號,，當(dāng)三個輸入信號出現(xiàn)奇數(shù)個1時，輸出Y為1,；其余情況下,，輸出Y為0。

解 ：根據(jù)題意,，當(dāng)三個輸入信號出現(xiàn)奇數(shù)個1時,，輸出為1，其余情況輸出為0,，得到8種不同取值組合的輸出,，真值表如表2.1.12所示。

從真值表中可見，輸出Y＝1的輸入變量取值組合為ABC＝001,、010,、100、111這四種,，當(dāng)時,，必然使得；當(dāng)時,，必然使得,；當(dāng)A=1,B=0,C=0時，必然使得,；當(dāng)A=B=C=1時,，必然使得，因此輸出Y的邏輯函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@四個與項(xiàng)邏輯之和,，即

綜上所述,，一個邏輯函數(shù)表達(dá)式與表示該邏輯函數(shù)的真值表之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。

2.1.5 邏輯函數(shù)的相等

邏輯函數(shù)和普通代數(shù)中的函數(shù)一樣存在相等的問題,。假設(shè)有兩個邏輯函數(shù)

（A₁,，A₂，A₃,，…,，A_n）

G（A₁，A₂,，A₃,，…，A_n）

均為變量A₁,，A₂,，A₃，…,，A_n的邏輯函數(shù),，如果對應(yīng)于變量A₁，A₂,，A₃,，…，A_n的任意一組取值,，Y與G的值都相等,，則稱Y和G是等值的，或者說Y和G是相等的,，記作Y=G,。

判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等,，通常有兩種方法。一種方法是列出輸入變量所有可能的取值組合,，并按邏輯運(yùn)算法則計(jì)算出各種輸入取值下兩個邏輯函數(shù)的相應(yīng)值,，然后進(jìn)行比較。另一種方法是用邏輯代數(shù)的公理,、定律和規(guī)則進(jìn)行證明,。