3  邏輯代數(shù)
Logic Algebra

    邏輯代數(shù)亦稱為布爾代數(shù)，其基本思想是英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾(G.Boole)于1854年提出的,。1938年,，香農(nóng)把邏輯代數(shù)用于開(kāi)關(guān)和繼電器網(wǎng)絡(luò)的分析、化簡(jiǎn),率先將邏輯代數(shù)用于解決實(shí)際問(wèn)題,。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,，邏輯代數(shù)已成為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。由于邏輯代數(shù)可以使用二值函數(shù)進(jìn)行邏輯運(yùn)算,一些用語(yǔ)言描述顯得十分復(fù)雜的邏輯命題,，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言后,，就變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)式,。邏輯電路中的一個(gè)命題，不僅包含“肯定”和“否定”兩重含義,，而且包含條件與結(jié)果的多種組合，用真值表則一目了然,，用代數(shù)式表達(dá)就更為簡(jiǎn)明,。邏輯代數(shù)有一系列的定律和規(guī)則，用它們對(duì)邏輯表達(dá)式進(jìn)行處理,，可以完成電路的化簡(jiǎn),、變換、分析和設(shè)計(jì),。

3.1  基本邏輯關(guān)系

    3.1.1  基本概念
    1.邏輯常量與變量：邏輯常量只有兩個(gè),，即0和1，用來(lái)表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài),。邏輯變量與普通代數(shù)一樣,，也可以用字母、符號(hào),、數(shù)字及其組合來(lái)表示,，但它們之間有著本質(zhì)區(qū)別，因?yàn)檫壿嬜兞康娜≈抵挥袃蓚€(gè),，即0和1,，而沒(méi)有中間值。
    2.邏輯運(yùn)算：在邏輯代數(shù)中,，有與,、或、非三種基本邏輯運(yùn)算,。表示邏輯運(yùn)算的方法有多種,，如語(yǔ)句描述、邏輯代數(shù)式,、真值表,、卡諾圖等。
    3.邏輯函數(shù)：邏輯函數(shù)是由邏輯變量,、常量通過(guò)運(yùn)算符連接起來(lái)的代數(shù)式,。同樣，邏輯函數(shù)也可以用表格和圖形的形式表示,。
    4.邏輯代數(shù)：邏輯代數(shù)是研究邏輯函數(shù)運(yùn)算和化簡(jiǎn)的一種數(shù)學(xué)系統(tǒng),。邏輯函數(shù)的運(yùn)算和化簡(jiǎn)是數(shù)字電路課程的基礎(chǔ)，也是數(shù)字電路分析和設(shè)計(jì)的關(guān)鍵,。

    3.1.2  三種基本邏輯運(yùn)算
    1.與運(yùn)算
    圖3.1.1(a)表示一個(gè)簡(jiǎn)單與邏輯的電路,，電壓V通過(guò)開(kāi)關(guān)A和B向燈泡L供電,，只有A和B同時(shí)接通時(shí)，燈泡L才亮,。A和B中只要有一個(gè)不接通或二者均不接通時(shí),，則燈泡L不亮，其真值表如圖3.1.1(b),。因此,，從這個(gè)電路可總結(jié)與運(yùn)算邏輯關(guān)系。
   語(yǔ)句描述：只有當(dāng)一件事情（燈L亮）的幾個(gè)條件（開(kāi)關(guān)A與B都接通）全部具備之后,，這件事情才會(huì)發(fā)生,。這種關(guān)系稱與運(yùn)算。
   邏輯表達(dá)式：
                                          L=A·B
式中小圓點(diǎn)“·”表示A,、B 的與運(yùn)算,又稱邏輯乘,。在不致引起混淆的前提下,乘號(hào)“·”被省略。某些文獻(xiàn)中,也有用符號(hào) ∧,、∩表示與運(yùn)算的,。
   真值表：如果開(kāi)關(guān)不通和燈不亮均用0表示，而開(kāi)關(guān)接通和燈亮均用1表示,，得到如圖3.1.1(c)所示的真值表描述,。真值表的左邊列出為所有變量的全部取值組合，右邊列出的是對(duì)應(yīng)于A,B變量的每種取值組合的輸出,。因?yàn)檩斎胱兞坑袃蓚€(gè),，所以取值組合有2²＝4種，對(duì)于n個(gè)變量,，應(yīng)該有2ⁿ種取值組合,。
   邏輯符號(hào)：與運(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖3.1.1(d)所示，其中A,B為輸入,，L為輸出,。

(a)電路圖	(c)用0、1表示的真值表
(b)真值表	(d)與邏輯門(mén)電路的符號(hào)

圖3.1.1 與邏輯運(yùn)算

基本邏輯運(yùn)算—與運(yùn)算

    2.或運(yùn)算
    圖3.1.2(a)表示一簡(jiǎn)單的或邏輯電路,，電壓V通過(guò)開(kāi)關(guān)A或B向燈泡供電。只要開(kāi)關(guān)A或B接通或二者均接通,，則燈L亮,；而當(dāng)A和B均不通時(shí)，則燈L不亮,，其真值表如圖3.1.2(b)所示,。由此可總結(jié)出或運(yùn)算邏輯關(guān)系。
    語(yǔ)句描述：當(dāng)一件事情（燈L亮）的幾個(gè)條件（開(kāi)關(guān)A、B接通）中只要有一個(gè)條件得到滿足,，這件事就會(huì)發(fā)生,，這種關(guān)系稱為或運(yùn)算。
    邏輯表達(dá)式：
                                          L=A+B
式中符號(hào)“＋”表示A,、B 或運(yùn)算,， 又稱邏輯加，在某些文獻(xiàn)中,，也用符號(hào)∨、∪來(lái)表示或運(yùn)算,。
    真值表：同與運(yùn)算一樣,，用0、1表示的或邏輯真值表如圖3.1.2(c)所示,。
    邏輯符號(hào)：或運(yùn)算的邏輯符如圖3.1.2(d)所示,，其中A,B表示輸入,，L表示輸出。

(a)電路圖	(c)用0,、1表示的真值表
(b)真值表	(d)或邏輯門(mén)電路的符號(hào)

圖3.1.2 或邏輯運(yùn)算

基本邏輯運(yùn)算—或運(yùn)算

    3.非運(yùn)算
    如圖3.1.3(a)所示，電壓V通過(guò)一繼電器觸點(diǎn)向燈泡供電,，NC為繼電器A的常閉觸點(diǎn),，當(dāng)A不通電時(shí)，燈L亮,；而當(dāng)A通電時(shí),，燈L不亮。其真值表如圖3.1.3(b)所示,。由此可總結(jié)出非運(yùn)算邏輯關(guān)系,。
    語(yǔ)句描述：一件事情（燈亮）的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)。 這種邏輯關(guān)系為非運(yùn)算,。
    邏輯表達(dá)式描述：
                                           L=A
    真值表：若用0和1來(lái)表示繼電器和燈泡狀態(tài),，則可得圖3.1.3(c)所示的真值表，在此圖中,，很容易理解,，A不通電和燈不亮定義為0態(tài)，而A通電和燈亮是定義為1態(tài)。顯然L與A總是處于對(duì)立的邏輯狀態(tài),。

(a)電路圖	(b)真值表	(c)用0,、1表示的真值表

圖3.1.3 非邏輯運(yùn)算

基本邏輯運(yùn)算—非運(yùn)算

(a)在輸入端用小圓圈表示非運(yùn)算	(b)在輸出端用小圓圈表示非運(yùn)算

    4.三種基本邏輯運(yùn)算小結(jié)
    與、或邏輯運(yùn)算都可以推廣到多變量的情況：
                                          L=A·B·C…
                                          L=A+B+C+…
   其它邏輯運(yùn)算都可用上述三種基本邏輯運(yùn)算組合而成,。表3.1.1列出了幾種基本的邏輯運(yùn)算函數(shù)式及其相應(yīng)的邏輯門(mén)電路的代表符號(hào),，以便于比較和應(yīng)用。