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1 變換的目的,，意義,，應(yīng)用,。
2 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的區(qū)別和聯(lián)系 3 連續(xù)傅里葉變換，離散時間傅里葉變換,，離散傅里葉變換,，序列的傅里葉變換，各自的定義,，區(qū)別,，聯(lián)系。 3 快速傅里葉變換的實質(zhì),，常用的算法之間的區(qū)別和聯(lián)系,，各自的優(yōu)勢。 4 fft的應(yīng)用 討論：
１,、變換是時間變量函數(shù)變成相應(yīng)變換域的某種變量函數(shù),，這樣使運算簡單，處理方便,。變換域變換有ＦＴ（以頻域特性為主要研究對象）,、ＬＴ與ＺＴ（注重研究極點及零點分析）、ＤＴＦＴ,、ＤＦＴ,、ＦＦＴ、ＤＴＷＴ等,。
２,、傅立葉變換是非周期信號作為周期信號的傅立葉級數(shù)（FST）一種極限。 傅立葉級數(shù)—周期信號,，傅立葉變換—非周期信號 ３,、非周期連續(xù)—— FT ——連續(xù)非周期 4,、快速傅里葉變換（FFT）的實質(zhì)是“分而治之”，利用對稱性,、周期性和可約性將某些項合并,，將DFT序列分解為短序列，降低運算次數(shù),，提高運算速度,。 5、快速傅里葉變換的應(yīng)用十分廣泛,，凡是可以利用傅里葉變換來進行分析,、綜合、變換的地方,，都可以利用FFT算法及運用數(shù)字計算技術(shù)來加以實現(xiàn),。FFT在數(shù)字通信、語音分析,、圖像處理,、匹配濾波等方面有廣泛的應(yīng)用。
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時域上看不清,，在頻域上也許會簡單,，由于T與F的倒數(shù)關(guān)系，T上的采樣會在F上無限,，反之也是如此,。 宏觀與微觀之間的關(guān)系吧。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 從濾波關(guān)點看,，復(fù)立葉變換相當(dāng)于等寬帶的Q值不等的濾波器組對信號進行濾波,，采用常數(shù)Q的濾波器組則是小波分析
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傅里葉變換（FT）是一種將信號從時域變換到頻域的變換形式。它在聲學(xué),、電信,、電力系統(tǒng)、信號處理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,。我們希望能在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析或其它工作,。計算機對信號的要求是：在時域和頻域都應(yīng)該是離散的，而且都應(yīng)該是有限長的,。而傅里葉變換（FT）僅能處理連續(xù)信號,，DFT就是應(yīng)這種需要而誕生的。它是傅里葉變換在離散域的表示形式,。但是一般來說,，DFT的運算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里葉變換算法FFT之前,，其應(yīng)用領(lǐng)域一直難以拓展，是FFT的提出使DFT的實現(xiàn)變得接近實時。DFT的應(yīng)用領(lǐng)域也得以迅速拓展,。除了一些速度要求非常高的場合之外,，F(xiàn)FT算法基本上可以滿足工業(yè)應(yīng)用的要求。由于數(shù)字信號處理的其它運算都可以由DFT來實現(xiàn),，因此FFT算法是數(shù)字信號處理的重要基石,。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 對傅立葉變換的理解
傅立葉變化是對信號的正交分解，e^jwt經(jīng)過現(xiàn)行時不變系統(tǒng)后輸出信號的形式不變,，這無論在理論上還是實踐上都有很大的意義,。在數(shù)字信號出現(xiàn)后，DFT的快速形式FFT實現(xiàn)了計算機處理信號,，提高了它的實用價值,。
傅立葉級數(shù)是傅立葉變換的特殊形式，其所處理的信號是周期的,。如果取出周期信號的一個周期作為時域有限信號,，對它的變換進行可以得到級數(shù)形式。在鄭君里的《信號與系統(tǒng)》講得很透徹,。 離散傅立葉變換和序列的傅立葉變換是相同的,， 連續(xù)傅立葉變換（FT)時域和頻域都是連續(xù)的（周期信號的變換頻域離散），離散時間傅立葉變換(DTFT)時域離散,，頻域連續(xù)且周期,，離散傅里葉變換(DFT)是對鐵礬土的抽樣。 個人這么覺得 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 傅立葉級數(shù)一般可以理解為：信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)
從物理方面來討論 傅立葉變換是一個密度函數(shù)的概念，是一個連續(xù)譜,，包含了從零到無限高,， ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 還有一種說法,，是我從別處看來的
1：（時域）周期信號的頻譜是離散的,；離散的時間信號即（時間）序列的頻譜是周期的。2：傅里葉變換主要是針對連續(xù)時間信號,，離散時間信號也可以應(yīng)用,；數(shù)字信號（離散時間信號）主要使用離散FT，因為便于數(shù)字運算,。3：離散FT等效于FT在在頻域采樣,，變換后在頻域也是離散序列。這樣更利于數(shù)字運算,。4：有限長序列可以看成周期序列的一個周期,，所以有限長序列與周期序列沒有本質(zhì)區(qū)別（實際上就是一樣的）,。這樣不論在時域還是頻域，都可以表示（有限長）,。同時還可以FFT,。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 從數(shù)學(xué)上看，離散傅立葉變換是一個特殊范德爾矩陣的變換,，因為這種矩陣可以分解,，才存在快速算法。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.傅立葉分析的思想最早來自傅立葉對周期函數(shù)的研究,通過傅立葉級數(shù)可以把周期函數(shù)展開成無窮級數(shù)的形式.
之后一百多年隨著電力,電子,計算機技術(shù)的逐漸發(fā)展,傅立葉分析也得到越來越廣泛的應(yīng)用. 對于變換的思想我覺得根本來說是為了從不同的角度來認識信號,而對于不同的應(yīng)用,也有不同的變換方法. 而與變換緊密相關(guān)的另一個就是卷積的概念. 2.傅立葉級數(shù)是以三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)為基對周期信號的無窮級數(shù)展開. 如果把周期函數(shù)的周期取作無窮大,對傅立葉級數(shù)取極限即得到傅立葉變換. 除了針對的信號不同,對于傅立葉級數(shù),得到的是信號的頻譜(來源于物理學(xué)中譜的概念),而傅立葉變換得到的是信號的頻譜密度. 當(dāng)然,在引入沖擊函數(shù)后,傅立葉級數(shù)是可以統(tǒng)一于傅立葉變換的. 3.傅立葉級數(shù)(FS) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
DFT/FFT是將線性卷積轉(zhuǎn)為循環(huán)卷積的有用工具,，將卷積關(guān)系轉(zhuǎn)為乘積關(guān)系,是絕大多數(shù)快速信號處理的出發(fā)點,幾乎長盛不衰
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最近畢設(shè)中用了下FFT的應(yīng)用,。
在信號分析中，通過傅立葉換可以在頻率中很容易的找出雜亂信號中各頻率分量的幅度譜和相位譜,。幅度譜可表示對應(yīng)頻率的能量,，而相位譜可表示對應(yīng)頻率的相位特征。這在生理電信號分析,，雷達信號中都有應(yīng)用,。
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FT就是在另外一個DOMAIN來表示信號
確定F 空間的每一個點不僅要觀察T 空間的一個點,而且要觀察T 空間的所有的點以確定在該F 空間震動的強度(也就是頻譜的數(shù)值)
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TD-SCDMA
midamble碼信道估計利用了時域圓周卷積等效于頻域點乘特性，用到FFT uppch檢測匹配濾波,，循環(huán)相關(guān),，用到FFT
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對于連續(xù)時間周期信號而言，其Fourier級數(shù)就是他的一個周期的截取后的非周期信號的的傅立葉變換采樣,，連續(xù)時間信號采樣后所得到的離散信號的DTFT可看成原來連續(xù)時間傅立葉變換在橫軸做一下模擬——數(shù)字頻率變換后進行周期延拓而成,。離散傅里葉變換可以看成DTFT在主值區(qū)間（0到2*pi）的等間隔采樣
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今天才注意到這個帖子，談?wù)勎覍B續(xù)信號的看法： 對于時域上無限,，頻域上無限的連續(xù)信號,，也就是最一般信號， 用傅里葉變換分析它（當(dāng)然需要滿足傅里葉變換存在的條件）,。 對于時域上有限的連續(xù)信號,，同樣可以用傅里葉變換分析它， 但是用傅里葉級數(shù)的表示要簡潔得多,，傅里葉級數(shù)分解可以理解為信號在 頻域上的采樣,。即時域傅里葉級數(shù)分解對應(yīng)于頻域采樣。 對于頻域上有限的連續(xù)信號,，同樣可以用傅里葉變換分析它,， 但是用時域采樣樣本內(nèi)插的表示要簡潔得多，這其實就是在頻域上 對信號進行傅里葉級數(shù)分解,。即時域采樣對應(yīng)于頻域傅里葉級數(shù)分解,。
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1.對于傅里葉級數(shù)，無論是連續(xù)信號或是離散信號,，均是使用一組正交函數(shù)（正交集）,，對其進行加權(quán)求和,，來逼近原始周期信號，通常來說,，連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的正交集中有無窮多個函數(shù),，而由于離散時間正交函數(shù)都是周期的，若周期為N,，則離散時間傅里葉級數(shù)的正交集中只有N個函數(shù)。
2.傅里葉變換體現(xiàn)了信號的時域與頻域之間的一種變換關(guān)系，我們可以由傅里葉級數(shù)的表達式不是十分嚴格的推導(dǎo)出來,，連續(xù)時間信號的頻譜是非周期的,，而離散時間信號的頻譜則是以2*pi為周期延拓的。并且,，我們可以看到,，傅里葉級數(shù)的系數(shù)是對應(yīng)主值區(qū)間的非周期信號頻譜的采樣值；換句話說,，一個非周期其信號的頻譜是這個信號周期延拓所得信號傅里葉級數(shù)系數(shù)的包絡(luò),，兩者在采樣點上的值是相等的。 3.DTFT與DFT的關(guān)系
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我認為傅立葉的變換是對非周期信號的而言的 變換得到的是連續(xù)的譜密度函數(shù) nw->W 在B P.lathi 的 線性系統(tǒng)與信號?。▌溟套g）中有詳細的講述
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付立葉變換是從付立葉級數(shù)推演而來的，付立葉級數(shù)是所有周期函數(shù)（信號）都可以分解成一系列的正交的三角函數(shù),，這樣,，周期函數(shù)對應(yīng)的付立葉級數(shù)即是它的頻譜函數(shù)，也就是分離的譜線,。而為了分析非周期函數(shù),，引入了譜密度的概念，即非周期信號的譜函數(shù)無窮小,，但是譜密度有值,。這樣，將非周期信號看成是周期無限長的周期信號,，并引入F(t)/T,，即為非周期函數(shù)的譜密度函數(shù)。為了概念上的統(tǒng)一,，引入了沖激函數(shù)的概念,，這樣，周期信號也可以有付立葉變換,，其譜密度函數(shù)為沖激,。
付立葉變換對于連續(xù)時間信號的分析具有重要作用，用于分析信號的頻率分量,，或?qū)⑿盘栐陬l域上進行處理,。引用頻域概念后，通信與數(shù)學(xué)的結(jié)合就更加緊密了,。通信的發(fā)展其實就是數(shù)學(xué)的發(fā)展,。 至于離散付立葉變換，其實也是對數(shù)字信號變換到頻域進行分析處理,，它對數(shù)字信號處理的作用相當(dāng)大,。數(shù)字信號處理脫離了模擬時期對信號進行處理完全依賴于器件的境況，可以直接通過計算來進行信號處理,。如數(shù)字濾波器,，只是用系統(tǒng)的系數(shù)對進入的數(shù)字信號進行一定的計算，信號出系統(tǒng)后即得到處理后的數(shù)據(jù)在時域上的表達,。 離散付立葉變換在理解上與連續(xù)信號的付立葉變換不太相同,，主要是離散信號的付立葉變換汲及到周期延拓，以及圓周卷積等,。 快速離散付葉變換其實是一種對付立葉變換的算法,，它的出現(xiàn)解決了離散付立葉變換的計算量極大、不實用的問題，使付立葉變換的計算量降低了一個或幾個數(shù)量級,，從而使離散付立葉變換得到了廣泛應(yīng)用,。另外，F(xiàn)FT的出現(xiàn)也解決了相當(dāng)多的計算問題,，使得其它計算也可以通過FFT來解決,。
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意義傅里葉變換具有惟一性.傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系.討論傅里葉變換的性質(zhì),目的在于 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系; 用性質(zhì)求F(ω); 了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用.
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傅氏級數(shù)與傅氏變換
目前我們熟悉的是信號幅度隨著時間變化而變化的常見表示方式，比如正弦信號的幅度隨著時間按正弦函數(shù)的規(guī)律變化,；另一方面,，對于正弦信號，如果知道其振幅,、頻率和相位,，則正弦信號的波形也惟一確定。根據(jù)這個原理和傅里葉級數(shù)理論,，滿足一定條件的周期信號都可以分解為不同頻率的正弦分量的線性組合，從而我們用各個正弦分量的頻率-幅度,、頻率-相位來表示周期信號的描述方式就稱為周期信號的頻譜表示,，隨著對信號研究的深入，我們將周期信號的頻譜表示又推廣到非周期信號的頻譜表示,，即通常的傅里葉變換,。
對于周期信號，其頻譜一般用傅里葉級數(shù)表示,，而傅里葉級數(shù)的系數(shù)就稱為信號的頻譜.
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快速傅里葉變換
fast Fourier trans formation 進行有限離散傅里葉變換(DFT)的快速算法,。簡稱FFT。一個復(fù)雜的波形可以分解為一系列諧波,。針對這一物理現(xiàn)象,，在數(shù)學(xué)上建立并發(fā)展了一套有效的研究方法，這就是傅里葉分析,。利用電子計算機進行傅里葉分析,，主要處理離散函數(shù)的傅里葉展開，也就是三角函數(shù)的插值問題,。一維DFT所作的工作主要是把一個N元數(shù)組A（i）（i＝0,，1，…,，N－1）通過一種線性變換變成另一個N元數(shù)組X（i）（i＝0 ,，…N ，-1 ） ,。如果直接計算全部數(shù)組元素大約需要進行 N2次的乘法和加法運算,，當(dāng)N很大時其計算量是很驚人的。1965年美國人庫利和圖基提出一種能大幅度減少運算次數(shù)的快速算法,，即FFT算法 ,，它的基本原理是將一個變換分解為兩個變換的乘積,，并利用三角函數(shù)的周期性質(zhì)，將原先的變換公式重新組合為新的公式 ,，從而把運算次數(shù)減少到 Nlog2N 的量級 ,。這就是說，F(xiàn)FT算法比DFT算法提高工效 N／log2N倍,，例如N＝220時,，約提高5萬倍速度，可見當(dāng)N很大時,，這是一個了不起的提高,。FFT技術(shù)在譜分析、數(shù)字濾波,、結(jié)構(gòu)分析,、系統(tǒng)分析、圖像與信號處理,，以及物探,、天線、雷達,、衛(wèi)星 ,、醫(yī)療等眾多技術(shù)領(lǐng)域已獲得成功的應(yīng)用。
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１．這些變換的實質(zhì)都一樣,都是將一個復(fù)雜信號在一正交系中進行分解,不同在于選擇的基不同.付氏變換選擇的是復(fù)指數(shù)與三角基,，小波變換選擇了其它的基．
２.信號在時域與頻域具有對偶性.一個域的周期性與連續(xù)性對應(yīng)于另一個域的與非周期,，比如對于周期性信號連續(xù)信號，具絕對可積條件時,，在可以進行級數(shù)展開,，得到了離散的非周期頻譜． ３．ＤＦＴ，ＤＴＦＴ,，ＤＦＳ,，ＦＦＴ的聯(lián)系與區(qū)別 ＤＦＴ與ＦＦＴ是一個本質(zhì)，ＦＦＴ是ＤＦＴ的一種算法． ＤＦＳ是discrete fourier seriers,對離散周期信號進行級數(shù)展開.DFT是將DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓. DTFT是對Discrete time fourier transformation,是對序列的FT,得到連續(xù)的周期譜,而DFT,FFT得到是有限長的非周期離散譜,不是一個.
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傅立葉級數(shù)是周期信號的另一種時域的表達方式,，也就是正交的級數(shù),，它不同頻率的波形的疊加。
而傅立葉變換就是完全的頻域分析 |
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