學(xué)習(xí)過《高等數(shù)學(xué)》和《信號與系統(tǒng)》這兩門課的朋友,，都知道時域上任意連續(xù)的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和,，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續(xù)周期對應(yīng)頻域離散非周期的特點,，這就是傅立葉級數(shù)展開（FS）,，它用于分析連續(xù)周期信號。

      FT是傅立葉變換,，它主要用于分析連續(xù)非周期信號,，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號,，所以具有時域連續(xù)非周期對應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點。

       FS和FT 都是用于連續(xù)信號頻譜的分析工具,，它們都以傅立葉級數(shù)理論問基礎(chǔ)推導(dǎo)出的,。時域上連續(xù)的信號在頻域上都有非周期的特點，但對于周期信號和非周期信號又有在頻域離散和連續(xù)之分,。

      在自然界中除了存在溫度,，壓力等在時間上連續(xù)的信號，還存在一些離散信號,，離散信號可經(jīng)過連續(xù)信號采樣獲得,，也有本身就是離散的。例如,，某地區(qū)的年降水量或平均增長率等信號,，這類信號的時間變量為年，不在整數(shù)時間點的信號是沒有意義的,。用于離散信號頻譜分析的工具包括DFS,，DTFT和DFT。

     DTFT是離散時間傅立葉變換 ,，它用于離散非周期序列分析,，根據(jù)連續(xù)傅立葉變換要求連續(xù)信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那么對于離散時間傅立葉變換,，用于它之上的離散序列也必須滿足在時間軸上級數(shù)求和收斂的條件,；由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號,，所以DTFT對離散非周期信號變換后的頻譜為連續(xù)的,，即有時域離散非周期對應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點。

     當(dāng)離散的信號為周期序列時,，嚴格的講,，傅立葉變換是不存在的，因為它不滿足信號序列絕對級數(shù)和收斂（絕對可和）這一傅立葉變換的充要條件,，但是采用DFS（離散傅立葉級數(shù)）這一分析工具仍然可以對其進行傅立葉分析,。

     我們知道周期離散信號是由無窮多相同的周期序列在時間軸上組成的,，假設(shè)周期為N，即每個周期序列都有N個元素,，而這樣的周期序列有無窮多個,，由于無窮多個周期序列都相同，所以可以只取其中一個周期就足以表示整個序列了,，這個被抽出來表示整個序列特性的周期稱為主值周期,，這個序列稱為主值序列。然后以N對應(yīng)的頻率作為基頻構(gòu)成傅立葉級數(shù)展開所需要的復(fù)指數(shù)序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N),用主值序列與復(fù)指數(shù)序列取相關(guān)（乘加運算）,，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量,，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。                                                                                                                                                                        

      根據(jù)DTFT,，對于有限長序列作Z變換或序列傅立葉變換都是可行的,，或者說，有限長序列的頻域和復(fù)頻域分析在理論上都已經(jīng)解決,；但對于數(shù)字系統(tǒng),，無論是Z變換還是序列傅立葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因為頻率變量的連續(xù)性性質(zhì)（DTFT變換出連續(xù)頻譜）,，不便于數(shù)字運算和儲存,。

      參考DFS，可以采用類似DFS的分析方法對解決以上問題,?？梢园延邢揲L非周期序列假設(shè)為一無限長周期序列的一個主直周期，即對有限長非周期序列進行周期延拓,，延拓后的序列完全可以采用DFS進行處理,，即采用復(fù)指數(shù)基頻序列和此有限長時間序列取相關(guān)，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個“主值周期”的頻譜信息,。

      由于DFT借用了DFS,，這樣就假設(shè)了序列的周期無限性，但在處理時又對區(qū)間作出限定（主值區(qū)間）,，以符合有限長的特點,，這就使DFT帶有了周期性。另外,，DFT只是對一周期內(nèi)的有限個離散頻率的表示,，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對其采樣,，此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N,，即主值序列的個數(shù)。

轉(zhuǎn)載