高一數(shù)學(xué)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中要求學(xué)生能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建方程(組),、不等式(組)等處理函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)具體應(yīng)用背景建立各類函數(shù)模型求最值來(lái)考查函數(shù)的應(yīng)用．其常見(jiàn)題型如下：

一,、利用圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題

例：汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng),、加速行駛、勻速行駛,、減速行駛之后停車,，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：剛開(kāi)始時(shí),，瞬時(shí)速度在變大,，即曲線上對(duì)應(yīng)切線的斜率變大；加速行駛過(guò)程中,，瞬時(shí)速度變大得更快,；勻速行駛過(guò)程中，速度不變,，即曲線上對(duì)應(yīng)切線的斜率不變,；減速行駛過(guò)程中，瞬時(shí)速度在變小，即曲線上對(duì)應(yīng)切線的斜率變小,。

二,、一次函數(shù)模型：

例：某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y＝5x＋4 000，而手套出廠價(jià)格為每副10元,，則該廠為了不虧本,，日產(chǎn)手套至少為(　　)．

A．200副                            B．400副  

C．600副                            D．800副

解析　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800,，即日產(chǎn)手套至少800副時(shí)才不虧本．

三,、二次函數(shù)模型：

例：某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3 000＋20x－0.1x²，x∈(0,240)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是________臺(tái)．

解析　產(chǎn)量x臺(tái)時(shí),，總售價(jià)為25x；欲使生產(chǎn)者不虧本,，必滿足總售價(jià)≥總成本,，即25x≥3 000＋20x－0.1x^2,0.1x²＋5x－3 000≥0，x²＋50x－30 000≥0,，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生產(chǎn)者不虧本,，最低產(chǎn)量是150臺(tái)．

四、三次函數(shù)模型：

例：函數(shù)f(x)＝x³－16x的某個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　)．

A．(－2,0)                            B．(－1,1)

C．(0,2)                                D．(1,3)

解析　令f(x)＝0,，解得x＝0或±4.故選B.

五,、指數(shù)函數(shù)模型：

例：某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái),，第三個(gè)月銷售400臺(tái),，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是(　　)．

A．y＝100x                         B．y＝50x²－50x＋100

C．y＝50×2^x                      D．y＝100log₂x＋100

解：　根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型,，代入數(shù)據(jù)驗(yàn)證即可得，應(yīng)選C.

六,、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：

例：設(shè)函數(shù)f(x)＝log₃－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)．

A．(－1，－log₃2)               B．(0,，log₃2)

C．(log₃2,1)                          D．(1,，log₃4)

解：∵x∈(1,2)，∴∈(2,3),，log₃∈(log₃2,1),，故要使函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，只要a∈(log₃2,1)即可．故選C.

七,、分段函數(shù)模型

例：提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下,，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0,；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式,；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大,，并求出最大值．

解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60,；

當(dāng)20≤x≤200時(shí),，設(shè)v(x)＝ax＋b，

再由已知,，得解得

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝(4分)

(2)依題意并由(1)可得f(x)＝(6分)

當(dāng)0≤x≤20時(shí),，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí),，其最大值為60×20＝1 200,；(7分)

當(dāng)20＜x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)＝－x²＋x＝－(x－100)²＋,；

∴當(dāng)x＝100時(shí),，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值.(10分)

綜上，當(dāng)x＝100時(shí),，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，即當(dāng)車流密度為100 輛/千米時(shí),，車流量可以達(dá)到最大,，最大值約為3 333輛/時(shí)．

八、分?jǐn)?shù)函數(shù)模型：

例：某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品,，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到1 000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加,，且資金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)資金不超過(guò)收益的20%.

(1)請(qǐng)分析函數(shù)y＝＋2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,，并說(shuō)明原因,；

(2)若該公司采用函數(shù)模型y＝作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

解　(1)對(duì)于函數(shù)模型y＝f(x)＝＋2,，

當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),，f(x)為增函數(shù)，

f(x)_max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9,，

所以f(x)≤9恒成立,，但當(dāng)x＝10時(shí)，f(10)＝＋2>，即f(x)≤不恒成立,，

故函數(shù)模型y＝＋2不符合公司要求．

(2)對(duì)于函數(shù)模型y＝g(x)＝,，

即g(x)＝10－，

當(dāng)3a＋20>0,，即a>－時(shí)遞增．

為使g(x)≤9對(duì)于x∈[10,1 000]恒成立,，

即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，即a≥.

為使g(x)≤對(duì)于x∈[10,1 000]恒成立,，

即要≤,，即x²－48x＋15a≥0恒成立，

即(x－24)²＋15a－576≥0,，x∈[10,1 000]恒成立,，

又24∈[10,1 000]，故只需15a－576≥0即可,，所以a≥.

綜上,，a≥，故最小的正整數(shù)a的值為328.