在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),，有時(shí)會(huì)遇到多種情況,，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解,，然后綜合得解,，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法,，是一種重要的數(shù)學(xué)思想,，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零,、積零為整的思想與歸類整理的方法,。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性,、探索性,，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置,。

引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：

① 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的,。如|a|的定義分a>0、a＝0,、a<0三種情況,。這種分類討論題型可以稱為概念型。

② 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理,、公式和運(yùn)算性質(zhì),、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的,。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式,，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型,。

③ 解含有參數(shù)的題目時(shí),，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0,、a＝0和a<0三種情況討論,。這稱為含參型。

另外,，某些不確定的數(shù)量,、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等,，都主要通過(guò)分類討論,，保證其完整性,，使之具有確定性。

進(jìn)行分類討論時(shí),，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的,，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏,、不重復(fù),，科學(xué)地劃分，分清主次,，不越級(jí)討論,。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問(wèn)題時(shí),，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍,；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類,，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,、不漏不重、分類互斥（沒(méi)有重復(fù)）,；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論,，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果,；最后進(jìn)行歸納小結(jié),，綜合得出結(jié)論。

Ⅰ,、再現(xiàn)性題組：

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R},，B＝{x||x－3|≤a，x∈R},，若A B,，那么a的范圍是_____。

A.  0≤a≤1    B.  a≤1      C.   a<1        D.  0<a<1

2.若a>0且a≠1,，p＝log (a ＋a＋1),，q＝log (a ＋a＋1)，則p,、q的大小關(guān)系是_____,。

A. p＝q     B. p<q     C. p>q     D.當(dāng)a>1時(shí)，p>q,；當(dāng)0<a<1時(shí),，p<q

3.函數(shù)y＝ ＋ ＋ ＋ 的值域是_________。

4.若θ∈(0, )，則 的值為_____,。

A. 1或－1         B. 0或－1     C. 0或1     D. 0或1或－1

5.函數(shù)y＝x＋ 的值域是_____,。

A.  [2,+∞)      B. (-∞,-2]∪[2,+∞)    C. (-∞,+∞)     D. [-2,2]

6.正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為_____,。

A.       B.         C.        D. 或

7.過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_____,。

A. 3x－2y＝0     B. x＋y－5＝0     C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0    D.不能確定

【簡(jiǎn)解】1小題：對(duì)參數(shù)a分a>0,、a＝0、a<0三種情況討論,，選B,；

2小題：對(duì)底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論,，選C,；

3小題：分x在第一、二,、三,、四象限等四種情況，答案{4,-2,0},；

4小題：分θ＝ ,、0<θ< 、 <θ< 三種情況,，選D,；

5小題：分x>0、x<0兩種情況,，選B,；

6小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為2和4,、或4和2兩種情況,，選D；

7小題：分截距等于零,、不等于零兩種情況,，選C。

Ⅱ,、示范性題組：

例1. 設(shè)0<x<1,，a>0且a≠1，比較|log (1－x)|與|log (1＋x)|的大小,。

【分析】 比較對(duì)數(shù)大小,，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān),，所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論,。

【解】 ∵ 0<x<1     ∴  0<1－x<1 ,    1＋x>1

①  當(dāng)0<a<1時(shí),，log (1－x)>0，log (1＋x)<0,，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－[－log (1＋x)]＝log (1－x )>0;

②  當(dāng)a>1時(shí),，log (1－x)<0，log (1＋x)>0,，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0,；

由①、②可知,，|log (1－x)|>|log (1＋x)|,。

【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log x的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時(shí)其是增函數(shù),，當(dāng)0<a<1時(shí)其是減函數(shù),。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性,；最后差值的符號(hào)判斷,，也用到函數(shù)的單調(diào)性。

例2. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素,，A∩B含有4個(gè)元素,，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：  ①. C A∪B且C中含有3個(gè)元素；   ②. C∩A≠φ  ,。

【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念,，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素,。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1,、2、3,而將取法分三種,。

【解】  C ·C ＋C ·C ＋C ·C ＝1084

【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題,，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求,，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法,。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即C －C ＝1084,。

例3. 設(shè){a }是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,，S 是前n項(xiàng)和。  ①. 證明：  <lgS ,；      ②.是否存在常數(shù)c>0,，使得 ＝lg（S －c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國(guó)理)

【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形,；再應(yīng)用比較法而求解,。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求,，分q＝1和q≠1兩種情況,。

【解】 設(shè){a }的公比q，則a >0,，q>0

①．當(dāng)q＝1時(shí),，S ＝na ，從而S S －S ＝na (n＋2)a －(n＋1) a ＝－a <0,；

   當(dāng)q≠1時(shí)，S ＝ ,，從而

S S －S ＝ － ＝－a q <0,；

由上可得S S <S ，所以lg(S S )<lg(S ),，即 <lgS ,。

②. 要使 ＝lg（S －c）成立，則必有(S －c)(S －c)＝(S －c) ,

分兩種情況討論如下：

當(dāng)q＝1時(shí),，S ＝na ,，則

(S －c)(S －c)－(S －c) ＝(na －c)[(n＋2)a －c]－[(n＋1)a －c] ＝－a <0

當(dāng)q≠1時(shí)，S ＝ ,，則(S －c)(S －c)－(S －c) ＝[ －c][ －c]－[ －c] ＝－a q [a －c(1－q)]

∵  a q ≠0    ∴  a －c(1－q)＝0即c＝

而S －c＝S － ＝－ <0       ∴對(duì)數(shù)式無(wú)意義

由上綜述,，不存在常數(shù)c>0, 使得 ＝lg（S －c）成立。

【注】 本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論,。該題文科考生改問(wèn)題為：證明 >log S  ,，和理科第一問(wèn)類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí),，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減,。

例1、例2,、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念,、定理、公式,、運(yùn)算性質(zhì),、法則等是分類討論的問(wèn)題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類,，即題型為概念,、性質(zhì)型。

例4. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax －2x＋2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,。

【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題,，需要先對(duì)開(kāi)口方向討論,，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解,。

【解】當(dāng)a>0時(shí),，f(x)＝a（x－ ） ＋2－

∴ 或

或

∴ a≥1或 <a<1或φ        即 a> ；

當(dāng)a<0時(shí),， ,，解得φ；

當(dāng)a＝0時(shí),，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0,，f(4)＝－6， ∴不合題意

由上而得,，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>  ,。

【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0,、a<0,、a＝0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像,，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種,，即在閉區(qū)間左邊、右邊,、中間,。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像,，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用,。

例5. 解不等式 >0  (a為常數(shù)，a≠－ )

【分析】 含參數(shù)的不等式,，參數(shù)a決定了2a＋1的符號(hào)和兩根－4a,、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0,、a＝0,、－ <a<0、a<－ 分別加以討論,。

【解】 2a＋1>0時(shí),，a>－ ,；    －4a<6a時(shí)，a>0 ,。   所以分以下四種情況討論：

當(dāng)a>0時(shí),，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a,；

當(dāng)a＝0時(shí),，x >0，解得：x≠0,；

當(dāng)－ <a<0時(shí),，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a,；

當(dāng)a>－ 時(shí),，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a ,。

綜上所述,，當(dāng)a>0時(shí)，x<－4a或x>6a,；當(dāng)a＝0時(shí),，x≠0,；當(dāng)－ <a<0時(shí),，x<6a或x>－4a；當(dāng)a>－ 時(shí),，6a<x<－4a ,。

【注】 本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏,。一般地,，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論,，此種題型為含參型,。

例6. 設(shè)a≥0,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z ＋2|z|＝a ,。  (90年全國(guó)高考)

【分析】由已知z ＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z ∈R,，即對(duì)z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解,。

【解】 ∵ |z|∈R,，由z ＋2|z|＝a得：z ∈R；   ∴ z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)

當(dāng)z∈R時(shí),，|z| ＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋     ∴ z＝±(－1＋ ),；

當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),，設(shè)z＝±yｉ  (y>0)，   ∴ －y ＋2y＝a   解得：y＝1±   （0≤a≤1）

由上可得,，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ

【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)z＝x＋yｉ再代入原式得到一個(gè)方程組,，再解方程組）過(guò)程十分繁難，而挖掘隱含,，對(duì)z分兩類討論則簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題,。

【另解】 設(shè)z＝x＋yｉ，代入得 x －y ＋2 ＋2xyｉ＝a,；

∴

當(dāng)y＝0時(shí),，x ＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋ ),，所以z＝±(－1＋ ),；

當(dāng)x＝0時(shí)，－y ＋2|y|＝a,，解得y＝±(1± ),，所以±(1± )ｉ。

由上可得,，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ

【注】此題屬于復(fù)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法,，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0兩種情況進(jìn)行討論求解,。實(shí)際上,，每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類討論思想,。

例7. 在xoy平面上給定曲線y ＝2x,，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，a∈R,，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a),，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。    （本題難度0.40）

【分析】 求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題,，先用公式建立目標(biāo)函數(shù),，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論,。

【解】 設(shè)M(x,y)為曲線y ＝2x上任意一點(diǎn),，則

|MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a ＝[x－(a－1)] ＋(2a－1)

由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：

當(dāng)a－1≥0時(shí),，x＝a－1取最小值,，即|MA} ＝2a－1；

當(dāng)a－1<0時(shí),，x＝0取最小值,，即|MA} ＝a ,；

綜上所述，有f(a)＝     ,。

【注】本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù),。求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們十分熟悉，但含參數(shù)a,，以及還有隱含條件x≥0的限制,，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式,。

Ⅲ,、鞏固性題組：

1.   若log <1，則a的取值范圍是_____,。

A. (0, )     B. ( ,1)     C. (0, )∪(1,+∞)     D. ( ,+∞)

2.   非零實(shí)數(shù)a,、b、c,，則 ＋ ＋ ＋ 的值組成的集合是_____,。

A. {-4,4}     B. {0,4}     C. {-4,0}      D. {-4,0,4}

3.   f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù),，下列結(jié)論正確的是_____,。

A.當(dāng)x＝2a時(shí)有最小值0          B.當(dāng)x＝3a時(shí)有最大值0

C.無(wú)最大值，且無(wú)最小值         D.有最小值但無(wú)最大值

4. 設(shè)f (x,y)＝0是橢圓方程,，f (x,y)＝0是直線方程,，則方程f (x,y)＋λf (x,y)＝0  （λ∈R）表示的曲線是_____。

   A.只能是橢圓    B.橢圓或直線    C.橢圓或一點(diǎn)     D.還有上述外的其它情況

5. 函數(shù)f(x)＝ax －2ax＋2＋b  (a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5,，最小值2,，則a,、b的值為_____,。

   A.  a＝1,b＝0           B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

   C.  a＝－1,，b＝3        D. 以上答案均不正確

6.方程(x －x－1) ＝1的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____,。

   A.  1     B.  3     C.  4      D.  5

7. 到空間不共面的4個(gè)點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)是_____。

   A.  7     B.  6     C.  5      D.  4

8.z∈C,，方程z －3|z|＋2＝0的解的個(gè)數(shù)是_____,。

A.  2      B.  3     C.  4      D.  5

9.復(fù)數(shù)z＝a＋aｉ  (a≠0)的輻角主值是______________。

10.解關(guān)于x的不等式：  2log (2x－1)>log (x －a)     (a>0且a≠1)

11.設(shè)首項(xiàng)為1,，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S ,，又設(shè)T ＝ ，求 T  ,。

12. 若復(fù)數(shù)z,、z ,、z 在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)三點(diǎn)A、B,、C組成直角三角形,，且|z|＝2，求z ,。

13. 有卡片9張,，將0、1,、2,、…、8這9個(gè)數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù),，若6可以當(dāng)作9用，問(wèn)可組成多少個(gè)不同的三位數(shù),。

14. 函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x －2(m＋1)x－1的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),，求參數(shù)m的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。