基本初等函數(shù)

指數(shù)的概念與運算,，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)的概念與運算,，對數(shù)函數(shù),，冪函數(shù)的概念和性質，基本初等函數(shù)的應用,。

二. 教學重點

冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質及其應用

三. 高考要求

1. 指數(shù)函數(shù)

（1）通過具體實例（如細胞的分裂,，藥物在人體內殘留量的變化等）,，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；

（2）理解有理指數(shù)冪的含義,，通過具體實例了解有理指數(shù)冪的意義,，掌握冪的運算。

（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點；

（4）在解決簡單實際問題的過程中,，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型,。

2. 對數(shù)函數(shù)

（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù),；通過閱讀材料,，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；

（2）通過具體實例,，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系,，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點；

3. 知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a＞0,，a≠1）,。

4. （通過實例）了解冪函數(shù)的概念；結合函數(shù) 的圖象,，了解它們的變化情況,。

5. （利用計算工具，比較）了解指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長的差異,；（結合實例）體會直線上升、指數(shù)增長,、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義,。

【教學過程】

一、基本知識回顧及應用舉例

1. 指數(shù)與對數(shù)運算

（1）根式的概念：

①定義：若一個數(shù)的次方等于,，則這個數(shù)稱的次方根,。即若，則稱的次方根,，,，

1）當為奇數(shù)時，次方根記作,；

2）當為偶數(shù)時,，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù),，記作,。

②性質：1）；2）當為奇數(shù)時,，,；

3）當為偶數(shù)時，,。

（2）冪的有關概念    （  ）

①規(guī)定：1）

3）,；（4）、N^*  且,。

②性質：1）,、Q）；

2）,、Q）,；

3）Q）。

（注）上述性質對r、R均適用,。

（3）對數(shù)的概念

①定義：如果的b次冪等于N,，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù),，記作其中稱對數(shù)的底,，N稱真數(shù)。

1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù),，記作,；

2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，,，記作,；

②基本性質：

1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）,；2）,；

3）,；4）對數(shù)恒等式：。

③運算性質：如果則

1）,；

2）,；

3）R）。

④換底公式：

1）,；2）,。

2. 指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù),、冪函數(shù)

（1）指數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，

1）函數(shù)的定義域為R,；2）函數(shù)的值域為,；

3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù),。

②函數(shù)圖像：

1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經過點（0,，1），且圖象都在第一,、二象限；

2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時,，圖象向左無限接近軸,，當時，圖象向右無限接近軸）,；

3）對于相同的,，函數(shù)的圖象關于軸對稱。

③函數(shù)值的變化特征：

（2）對數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù),，

1）函數(shù)的定義域為,；2）函數(shù)的值域為R；

3）當時函數(shù)為減函數(shù),，當時函數(shù)為增函數(shù),；

4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

②函數(shù)圖像：

1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經過點（0,，1）,，且圖象都在第一、四象限,；

2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時,，圖象向上無限接近軸；當時,，圖象向下無限接近軸）,；

3）對于相同的，函數(shù)的圖象關于軸對稱,。

③函數(shù)值的變化特征：

（3）冪函數(shù)

y=x^a（a為常數(shù)）是冪函數(shù). 它在第一象限內的情況分為a＞1,，0＜a＜1,；a＜0三種情況，其中a＞0時,，y=x^a,，在（0，+∞）內為增函數(shù),；a＜0時,，y=x^a，在（0,，+∞）內為減函數(shù),。

 a

【典型例題】

例1. （1）計算：；

（2）化簡：,。

解：（1）原式=

,；

（2）原式=

。

點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,，然后利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質求解,，對化簡求值的結果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式保留,；一般地進行指數(shù)冪運算時,，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪,，化小數(shù)為分數(shù)運算,，同時兼顧運算的順序。

例2. 已知,，求的值,。

解：∵，

∴,，

∴,，

∴，

∴,，

∴,，

又∵，

∴,。

點評：本題直接代入條件求解繁瑣,，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算,。

例3. 計算

（1）,；（2）；

（3）,。

解：（1）原式

           ,；

（2）原式

           ,；

（3）分子=；

分母=,；

原式=,。

點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高,，但是數(shù)式運算是學習數(shù)學的基本功,，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則,，以及學習數(shù)式變換的各種技巧,。

例4. （1）.若log_x=z，則x,、y,、z之間滿足

A. y⁷=x^z                        B. y=x^7z                        C.y=7x^z                        D.y=z^x

解：由log_x=zx^z=x^7z=y，即y=x^7z.

答案：B

（2）（2006遼寧 文13）方程的解為          ,。

解：考查對數(shù)運算,。原方程變形為，即,，得,。且有。從而結果為,。

點評：關于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式,，解題思路是轉化為不含指數(shù),、對數(shù)式的普通等式或方程的形式，再來求解,。

例5. 下列函數(shù)中值域為正實數(shù)的是

A. y=－5^x                            B.y=（）^1－xI             C.y=            D.y=

解：∵y=（）^x的值域是正實數(shù),，而1－x∈R，∴y=（）^1－x的值域是正實數(shù).

答案：B

例6. 已知f（x）的定義域為［0,，1］,，則函數(shù)y=f［log（3－x）］的定義域是__________.

解：由0≤log（3－x）≤1

log1≤log（3－x）≤log

≤3－x≤12≤x≤.

答案：［2，］

例7.（1）（2004年湖北,，文5）若函數(shù)y=a^x+b－1（a＞0且a≠1）的圖象經過二,、三、四象限,，則一定有

A. 0＜a＜1且b＞0                                          B.a＞1且b＞0

C. 0＜a＜1且b＜0                                          D.a＞1且b＜0

解：作函數(shù)y=a^x+b－1的圖象.

答案：C

（2）（2004年全國Ⅱ,，理6）函數(shù)y=－e^x的圖象

A. 與y=e^x的圖象關于y軸對稱                       B.與y=e^x的圖象關于坐標原點對稱

C.與y=e^－x的圖象關于y軸對稱                       D.與y=e^－x的圖象關于坐標原點對稱

解：圖象法.

答案：D

例8. 函數(shù)y=（）的遞增區(qū)間是___________.

解：∵y=（）^x在（－∞，+∞）上是減函數(shù),，

而函數(shù)y=x²－2x+2=（x－1）²+1的遞減區(qū)間是（－∞,，1）,，∴原函數(shù)的遞增區(qū)間是（－∞，1）.

答案：（－∞,，1）

例9. （1） 下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=a^x,，（2）y=b^x，（3）y=c^x,，（4）y=d^x的圖象,，則a、b,、c,、d與1的大小關系是

A. a＜b＜1＜c＜d                                           B.b＜a＜1＜d＜c

C. 1＜a＜b＜c＜d                                           D.a＜b＜1＜d＜c

剖析：可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1,，（1）（2）的底數(shù)小于1,，然后再從（3）（4）中比較c、d的大小,，從（1）（2）中比較a,、b的大小.

解法一：當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖象上升,，且當?shù)讛?shù)越大,，圖象向上越靠近于y軸；當?shù)讛?shù)大于0小于1時,，圖象下降,，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得b＜a＜1＜d＜c.

解法二：令x=1,，由圖知c¹＞d¹＞a¹＞b¹,，

∴b＜a＜1＜d＜c.

答案：B

（2）已知函數(shù)f（x）=則f（2+log₂3）的值為

A.                        B.                        C.                       D.

解：∵3＜2+log₂3＜4，3+log₂3＞4,，

∴f（2+log₂3）=f（3+log₂3）=（）^3+log₂³=.

答案：D

例10. 已知函數(shù)為常數(shù)）

（1）求函數(shù)f(x)的定義域,；

（2）若a=2，試根據(jù)單調性定義確定函數(shù)f(x)的單調性,。

（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),，求a的取值范圍。

解：（1）由

∵a＞0,，x≥0

∴f(x)的定義域是,。

（2）若a=2，則

設,， 則

故f(x)為增函數(shù),。

（3）設

   ①

∵f(x)是增函數(shù)，

∴f(x₁)＞f(x₂)

即  ②

聯(lián)立①,、②知a＞1,，

∴a∈(1,，+∞)。

點評：該題屬于純粹的研究復合對數(shù)函數(shù)性質的問題,，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點,，結合一般函數(shù)求定義域、單調性的解題思路,，對“路”處理即可,。

【模擬試題】

1. 下列各式中成立的一項是（    ）

A.                           B.   

C.                     D.  

2. 化簡的結果為（    ）

       A.                      B.                      C.                   D. 

3. 設指數(shù)函數(shù)，則下列等式中不正確的是                     （    ）

A. f(x+y)=f(x)·f(y)                        B.  

C.              D. 

4. 若指數(shù)函數(shù)在[－1,1]上的最大值與最小值的差是1,，則底數(shù)a等于       （    ）

A.                B.            C.         D.  

5. 當時,，函數(shù)和的圖象只可能是（    ）

6. 函數(shù)的值域是（    ）

       A.                    B.                    C.         D. R

7. 函數(shù)，滿足的的取值范圍（    ）

A.                                                 B.      

C.                        D.  

8. 函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（    ）

    A.                B.              C.         D. 

9. 函數(shù)（為常數(shù)）,，若時,，恒成立，則

A.                   B.                  C.           D. 

10. 若,，當時,，的大小關系為 

    A.            B.            C.     D. 

11. （04年全國卷一.文2）已知函數(shù)

    A.                        B. －                   C. 2                   D. －2

12. 設（    ）

A. 0                          B. 1                          C. 2                   D. 3

13. 若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（    ）

    A. m≤－1                B. －1≤m<0            C. m≥1         D. 0<m≤1

14. 函數(shù)的定義域是（     ）

A.                B.              C.      D. 

15. （2006湖北）設f(x)＝,，則的定義域為（     ）

    A.                               B. (－4,－1)(1,，4)

    C. (－2,－1)(1，2)                               D. (－4,－2)(2,，4)

16. 已知函數(shù)f (x)的定義域是（1,，2），則函數(shù)的定義域是                 .

17. 當a＞0且a≠1時,，函數(shù)f (x)=a^x－2－3必過定點            .

18. 已知－1<a<0,，則三個數(shù)由小到大的順序是              

19. 求的定義域

【試題答案】

1~5 DCDDA                    6~10 ADDAB         11. B

12. 解：C,；,，,。

13. 解：，

畫圖象可知－1≤m<0,。

答案為B。

14. D

15. B.

14與15提示：求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍,，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義,。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應法則的對應關系。

16. (0,1),；    17．(2,，－2)；     18．,；

19. 當,；當