⊕ B = ( A ⊙ B )ˊ
A ⊙ B = ( A ⊕ B )ˊ
復(fù)合邏輯運(yùn)算的圖像符號和運(yùn)算符號。
2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
（見對偶定理）
2.3.2 若干常用公式
（見邏輯函數(shù)化簡方法之公式化簡法）
2.4 邏輯代數(shù)的基本定理
2.4.1 代入定理（相當(dāng)于初等代數(shù)中的換元）
任何一個(gè)包含邏輯變量A的邏輯等式中,，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置,，則等式依然成立。
2.4.2 反演定理
對于任意一個(gè)邏輯式Y(jié),，若將其中所有的 “ · ”換成“ + ”,，“ + ”換成“ · ”，
“ 0 ”換成“ 1 ”,，“ 1 ”換成“ 0 ”,，
原變量換成反變量，反變量換成原變量,，
則得到的結(jié)果就是Yˊ,。
注意兩條規(guī)則： - 先括號的最內(nèi)層，后括號外,；先乘,，后加的運(yùn)算優(yōu)先次序。
- 若反號“ˊ”下面不是單個(gè)變量,，則反號保留不變,。
兩個(gè)得·摩根定理，不過是反演定理的特例而已,。 ( A · B )ˊ = Aˊ+ Bˊ
解釋一下：若將式子右邊Aˊ+ Bˊ用反演定理變換一下,，則得到其反演式 A · B，既然A · B和Aˊ+ Bˊ值相反,，則再對A ·B求反,，其結(jié)果( A · B )ˊ則正好與式子右邊的Aˊ+ Bˊ相等。
( A + B )ˊ = Aˊ· Bˊ
2.4.3 對偶定理
對偶式 對于任意一個(gè)邏輯式Y(jié),，若將其中所有的
“ · ”換成“ + ”，“ + ”換成“ · ”,，
“ 0 ”換成“ 1 ”,，“ 1 ”換成“ 0 ”,，
則得到的結(jié)果就是Y的對偶式。
注意：與反演定理的區(qū)別在于,，沒有涉及原變量和反變量的互換,。
對偶定理 若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等,。
8對對偶式的例子（來自基本公式,，每行左右兩式互為對偶式） 0 · A = 0 1 + A = 1
1 · A = A 0 + A = A
A · A = A A + A = A
A · Aˊ= 0 A + Aˊ= 1
A · B = B · A A + B = B + A
A · ( B · C ) = ( A · B ) · C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C結(jié)合律
A · ( B + C ) = A · B + A · C A + B · C = ( A + B ) · ( A + C ）分配律
( A · B )ˊ = Aˊ+ Bˊ ( A + B )ˊ = Aˊ· Bˊ得·摩根定律（注意，這兩個(gè)等式整體上互為對偶式,。每個(gè)式子的左右是反演關(guān)系再求反,，對比反演定理。）
2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法
2.5.1 邏輯函數(shù)
【邏輯函數(shù)（LogicFunction）,，就是以邏輯變量（A,、B、C,、Y……）為自變量&因變量,，以邏輯運(yùn)算（·與、或+,、非ˊ）作為映射方式(F)的函數(shù),。】寫作：
Y = F(A,B,C……)
因其定義域和值域都是{0,1},，輸入和輸出的取值都只有0和1兩種狀態(tài),，故又稱二值邏輯函數(shù)。
【問】為什么邏輯函數(shù)里沒有蘊(yùn)含運(yùn)算符（->）,？
【答】函數(shù)的等號（=）,、或曰映射關(guān)系本身，就表明了蘊(yùn)含關(guān)系(->),，即“若自變量,，則因變量”也就是說函數(shù)關(guān)系體現(xiàn)了客觀世界中的因果關(guān)系。所謂數(shù)學(xué)建模,，就是在之前沒有認(rèn)識到有聯(lián)系的自變量（輸入）和因變量（輸出）之間,，用函數(shù)的形式，建立起因果關(guān)系,。
2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法（4種/6種）
常用的邏輯函數(shù)表示方法有6種：邏輯真值表,、邏輯函數(shù)式、邏輯圖,、波形圖,、卡諾圖、硬件描述語言。
一,、 邏輯真值表（枚舉法）
將輸入變量所有的取值下,，對應(yīng)的輸出值找出，列成表格,，即成邏輯真值表,。
二、邏輯函數(shù)式（函數(shù)法）
又稱為邏輯式或函數(shù)式,。將輸出&輸出之間的邏輯關(guān)系,，寫成與、或,、非等運(yùn)算的組合式,，即邏輯代數(shù)式。
【所謂的用布爾代數(shù)的符號（與或非算符）,，表示邏輯關(guān)系】
如舉重裁判規(guī)則,，就可以用邏輯函數(shù)式對應(yīng)的表示出來。三個(gè)裁判各自的判決,，作為3個(gè)輸入變量,；最終的裁判結(jié)果，作為輸出,；而從輸入到輸出的邏輯關(guān)系,，則用邏輯運(yùn)算符表示。即：
Y = A · (B + C) (見書P29-30)
三,、邏輯圖（Logic Diagram）
將邏輯函數(shù)式中,，各變量之間的與、或,、非等邏輯關(guān)系,，用圖形符號表示出來，就可以畫出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖,。即把邏輯運(yùn)算符,，替換為圖形符號。
上面兩圖,，即是把邏輯函數(shù)式f = xˊ·y + x · yˊ + x ·z中的與(·),、或(+)、非(·)運(yùn)算符,，替換成圖形符號后,，形成的邏輯圖。
（左圖保留了非(·)運(yùn)算符,，并沒有替換,；右圖把3種運(yùn)算符都替換了）
原圖在此：
http://book.51cto.com/art/200901/107671.htm四,、波形圖（Waveform）、時(shí)序圖（Timing Diagram）
將邏輯函數(shù)輸入變量的每一種可能的取值,，與對應(yīng)的輸出值,，按照時(shí)間順序依次排列起來，就成為表示該邏輯函數(shù)的波形圖,。
（見教材P31）
五、各種表示方法間的轉(zhuǎn)換
從真值表——>邏輯函數(shù)式的一般方法（教材P32）【相當(dāng)于從分散的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)——>數(shù)學(xué)模型,，居然有一般方法,，比較強(qiáng)！】
1.從真值表中,，找出使得輸出變量Y = 1的輸入變量所在的行,，以及每行輸入變量取值的組合；
2.將1種所找出的輸入變量的各行組合,，對應(yīng)于一個(gè)乘積項(xiàng),；其中，取值為1的輸入變量用原變量,，取值為0的輸入變量用反變量,。
3.將這些乘積項(xiàng)相加，即得到Y(jié)的邏輯函數(shù)式,。
邏輯函數(shù)式<——>邏輯圖（教材P33）【函數(shù)式和邏輯圖,，直接體現(xiàn)了輸入和輸出的邏輯關(guān)系。二者高度同構(gòu),，可直接轉(zhuǎn)換,。函數(shù)式中的運(yùn)算符，對應(yīng)于邏輯圖的圖形符號,?！?br>轉(zhuǎn)換時(shí)，注意運(yùn)算優(yōu)先級,。
真值表<——>波形圖【真值表&波形圖,，是用枚舉法列出所有取值，但不能直接看出輸入和輸出的邏輯關(guān)系,。二者高度同構(gòu),，可直接轉(zhuǎn)換。真值表的每一行,，對應(yīng)于波形圖的每一列,。
2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 —— 最小項(xiàng)之和 & 最大項(xiàng)之積
一、最小項(xiàng)
在一個(gè)n個(gè)邏輯變量的邏輯函數(shù)中,，若某乘積項(xiàng)m中包含所有n個(gè)變量,，且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式,，在m中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次，則稱乘積項(xiàng)m為該組變量的最小項(xiàng),。
例：A,、B、C三個(gè)變量的最小項(xiàng)有：AˊBˊCˊ,、AˊBˊC,、AˊBCˊ、ABˊCˊ,、AˊBC,、ABˊC
、ABCˊ ,、ABC,，共8個(gè)，即2^3個(gè)最小項(xiàng),。
n個(gè)變量,，應(yīng)有2^n個(gè)最小項(xiàng)。
二,、最大項(xiàng)（略,，教材P36）
三、最小項(xiàng)之和
（待續(xù)）
四,、最大項(xiàng)之積（略,，教材P37）
2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法
（待續(xù)）
2.7 無關(guān)項(xiàng)及函數(shù)化簡
2.7.1 邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)
約束某些邏輯函數(shù)，它們的輸入變量（A,、B,、C……）的取值不是任意的。對輸入變量取值所加的限制,，成為約束,。將這一組變量，稱為具有約束的一組變量,。也就是說,，輸入變量只能取特定的一些值，或特定的一組值,。
如：三個(gè)邏輯變量A,、B、C,，分別表示一臺電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn),、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn),，B=1表示反轉(zhuǎn),，C=1表示停止,。【問】那A=0,、B=0,、C=0時(shí)，表示什么呢,？也許是無意義,，或預(yù)留。
而任一時(shí)刻,，電動(dòng)機(jī)只能執(zhí)行其中的一個(gè)命令,，所以，不允許兩個(gè)以上的變量同時(shí)為1,，這就是對ABC這三個(gè)輸入變量取值的約束。
也就是說,，A,、B、C三個(gè)輸入變量只能是以下三種取值的組合（并對應(yīng)3個(gè)邏輯函數(shù)）：
A=1,，B=0,，C=0，即100,；邏輯函數(shù)：Y1 = ABˊCˊ（正轉(zhuǎn)）
A=0,，B=1，C=0,，即010,；邏輯函數(shù)：Y2 = AˊBCˊ（反轉(zhuǎn)）
A=0，B=0,，C=1,，即001；邏輯函數(shù)：Y3 = AˊBˊC（停止）
其它5種取值組合,，000（即A=0,、B=0、C=0這種取值組合是不允許出現(xiàn)的）,011,101,110,111,，則不被允許,。這就是對A、B,、C這3個(gè)變量的約束條件,。
如何表示約束條件？ 用上面的自然語言顯然很不方便,，最后用簡單,、明了的邏輯語言表示約束條件,。
【可見形式系統(tǒng)、符號化的數(shù)理邏輯,，較之自然語言的優(yōu)勢,。】
如果某些輸入變量的取值,，不允許出現(xiàn),；可以用這組變量所對應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0的方式，來表示這些輸入變量的取值不能出現(xiàn),。
【問】為什么可以用變量對應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0的方式,，來表示約束條件呢？
【答】因?yàn)槊恳唤M輸入變量的取值,，都對應(yīng)1個(gè),、且只有1個(gè)的最小項(xiàng)（使其取值為1）——這組輸入變量取值，可以使得該最小項(xiàng)的各個(gè)因子的值都為1,，那么整個(gè)乘積項(xiàng),、也即是最小項(xiàng)的取值為1。
那么,，如果某最小項(xiàng)恒等于0,，則表示那個(gè)可以使得這個(gè)最小項(xiàng)的取值為1的那組輸入變量的取值，是不允許出現(xiàn)的,。
則上面例子中的5個(gè)約束條件,，就可以用邏輯語言表示為：
AˊBˊCˊ=0
AˊBC =0
ABˊC =0
ABCˊ =0
ABC =0
【以第4個(gè)約束條件為例：使得最小項(xiàng)ABCˊ=1的那組輸入變量的取值為：A=1、B=1,、C=0,，如果ABCˊ=0，即ABCˊ恒等于0,，也即使得最小項(xiàng)ABCˊ為1的那組輸入變量的取值,，即A=1、B=1,、C=0,，是不允許出現(xiàn)的?！?br>且,，以上5個(gè)約束條件可以合并在一起表示：
AˊBˊCˊ + AˊBC + ABˊC + ABCˊ + ABC = 0
【因?yàn)槊總€(gè)最小項(xiàng)都恒等于0，那么他們的和也恒等于0】
約束項(xiàng)
前面那些恒等于0的最小項(xiàng),，即邏輯函數(shù)的約束項(xiàng),。
【一定區(qū)分：約束項(xiàng)（如ABC）是最小項(xiàng)，是自變量的乘積,；而約束條件約束的,，是輸入變量（A,、B、C）的取值,。用約束項(xiàng)恒等于0（ABC=0）的方式,，來表示使得這個(gè)約束項(xiàng)取值為1的那組輸入變量的取值，是不允許出現(xiàn)的,?！?br>因?yàn)榧s束項(xiàng)的值恒為0，所以既可以將約束項(xiàng)寫進(jìn)邏輯函數(shù)式,，也可以從邏輯函數(shù)式中刪除約束項(xiàng),，而不影響函數(shù)取值。
【約束項(xiàng)也是最小項(xiàng),，就像初等代數(shù)中的項(xiàng)一樣,，即各個(gè)因式相加，則加上和減去一個(gè)0,，整個(gè)式子的值是不變的,。】
任意項(xiàng)
在輸入變量的某些取值下,，函數(shù)的輸出值是0還是1皆可，并不影響整個(gè)電路的功能,?！具@個(gè)局部函數(shù)，此時(shí)在整個(gè)電路中,，已經(jīng)不起作用】,。將在這些變量取值下，對應(yīng)的取值為1的那些最小項(xiàng),，稱為任意項(xiàng),。
【輸入變量的取值是（部分）固定的，函數(shù)輸出可能是0,，可能是1,，但這已無所謂。當(dāng)輸入變量取這些值的時(shí)候,，肯定有一個(gè)對應(yīng)的最小項(xiàng)可以取值為1,，它的取值也是固定的。那么,，這個(gè)最小項(xiàng)即為任意項(xiàng),。】
以之前的電動(dòng)機(jī)為例,。如果把電路設(shè)計(jì)成A,、B,、C這3個(gè)輸入變量出現(xiàn)兩個(gè)以上同時(shí)為1或者全部為0時(shí)，電路自動(dòng)切斷供電電源,，則這時(shí)候電路中的邏輯函數(shù)Y1,、Y2、Y3等于0還是1已經(jīng)無關(guān)緊要,。
【問】為什么輸入變量確定了,，函數(shù)輸出還可能有0有1呢？
【答】其實(shí),，輸入變量只是部分固定,。如：當(dāng)A和B都取1時(shí)，電路已經(jīng)切斷電源,，此時(shí)C的輸入值有可能是0,，有可能是1。那么最小項(xiàng)ABC的值,，也可能是0,，也可能是1。當(dāng)C= 0時(shí),，ABC = 0,； 當(dāng)C = 1時(shí)，ABC = 1,。其實(shí),，這個(gè)時(shí)候變量C的取值，也已經(jīng)沒有意義了,。
【當(dāng)然,，此時(shí)邏輯函數(shù)Y1 =ABˊCˊ，肯定取值為0,。但是,，這個(gè)時(shí)候，函數(shù)Y1是不是輸出正轉(zhuǎn)命令,，已經(jīng)沒有意義了,，因?yàn)檎麄€(gè)電路已經(jīng)切斷電源了。也就是說,，函數(shù)Y1的取值已經(jīng)沒有意義了,。
那么，如果我們把（C=1時(shí)的）最小項(xiàng)ABC,，加入函數(shù)Y1,，則Y1 = ABˊCˊ + ABC = 0 + 1 =1；如果不把最小項(xiàng)ABC,加入函數(shù)Y1，則Y1 = ABˊCˊ = 0,。
但是,，因?yàn)樵谳斎胱兞緼和B都取1的情況下，函數(shù)Y1的取值是1是0,，已經(jīng)沒有意義了,，則函數(shù)Y1是否加上最小項(xiàng)ABC，也已經(jīng)沒有意義了——故而,，稱最小項(xiàng)ABC是函數(shù)Y1的任意項(xiàng),。】
無關(guān)項(xiàng)
約束項(xiàng)和任意項(xiàng),，統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng),。這里說的無關(guān)項(xiàng)，是指是否把這些最小項(xiàng)寫入邏輯函數(shù)式,，無關(guān)緊要,，可以寫入，也可以刪除,。
【但是無關(guān)緊要的原因不同,。約束項(xiàng)是因?yàn)楹愕扔?，加上0或減去0,，整個(gè)函數(shù)式的值不變,；而任意項(xiàng)是說，不管任意項(xiàng)的取值是0還是1,，即使任意項(xiàng)的增刪使得整個(gè)函數(shù)式的值變化了,，也無所謂。因?yàn)槭沟迷撊我忭?xiàng)對應(yīng)的（即使該任意項(xiàng)取值為1的）那組輸入變量的取值,，使得整個(gè)函數(shù)式?jīng)]用了,?！?br>
所用教材：《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)（第5版）》 作者：閻石
http://book.douban.com/subject/1836439/ 
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