《數(shù)列》在高考中常見題型分析

2014-01-04 14:03:11

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  在數(shù)學高考中,，數(shù)列主要考查：已知數(shù)列的通項公式或遞推關系,，求數(shù)列的某項；由數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項公式．利用等差數(shù)列的概念,、性質、通項公式與前n項和公式解決等差數(shù)列的問題,；在具體的問題情境中能識別具有等差關系的數(shù)列,，并能用有關知識解決相應的問題；考查等比數(shù)列的定義,、通項公式,、前n項和公式、等比中項的性質與證明,；以數(shù)列為載體,，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧結合函數(shù)、不等式,、方程,、幾何等知識，綜合考查數(shù)列和式的相關性質,，如和式的最值,、單調性,、不等關系式的證明等．根據(jù)我多年組織學生高考復習經(jīng)驗，現(xiàn)歸納其常見題型如下：

一,、已知a_n與S_n的關系式求通項公式是高考中的常見題型,。

例：設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n,，滿足T_n＝2S_n－n²,，n∈N^*.

(1)求a₁的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解： (1)令n＝1時,，T₁＝2S₁－1,，

∵T₁＝S₁＝a₁，∴a₁＝2a₁－1,，∴a₁＝1.

(2)n≥2時,，T_n－1＝2S_n－1－(n－1)²，

則S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－(n－1)²]

＝2(S_n－S_n－1)－2n＋1＝2a_n－2n＋1.

因為當n＝1時,，a₁＝S₁＝1也滿足上式,，

所以S_n＝2a_n－2n＋1(n≥1)

當n≥2時，S_n－1＝2a_n－1－2(n－1)＋1,，

兩式相減得a_n＝2a_n－2a_n－1－2,，

所以a_n＝2a_n－1＋2(n≥2)，所以a_n＋2＝2(a_n－1＋2),，

因為a₁＋2＝3≠0,，

所以數(shù)列{a_n＋2}是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列．

所以a_n＋2＝3×2^n－1,，∴a_n＝3×2^n－1－2,，

當n＝1時也成立；

所以a_n＝3×2^n－1－2.

二,、將等差（比）數(shù)列求和公式與等差（比）數(shù)列的性質“若m＋n＝p＋q,，則a_m＋a_n＝a_p＋a_q”結合命題．

例：在等差數(shù)列{a_n}中，已知S_n＝m,，S_m＝n(m≠n),，則S_m＋n.

解:　設{a_n}的公差為d，則由S_n＝m,，S_m＝n，

得

②－①得(m－n)a₁＋·d＝n－m,，

∵m≠n,，∴a₁＋d＝－1.

∴S_m＋n＝(m＋n)a₁＋d

＝(m＋n)＝－(m＋n)．

三、運用公式法法,、分組求和法、倒序相加法,、并項求和法、裂項相消法,、錯位相減法等常見方法求和的題型在高考中頻頻出現(xiàn)。

例：設數(shù)列{a_n}滿足a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝,，n∈N^*.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項；

(2)設b_n＝,，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n.

解　(1)∵a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝,，①

∴當n≥2時，

a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－2a_n－1＝,，②

①－②得3^n－1a_n＝，∴a_n＝.

在①中,，令n＝1,，得a₁＝，適合a_n＝,，∴a_n＝.

(2)∵b_n＝,，∴b_n＝n·3ⁿ.

∴S_n＝3＋2×3²＋3×3³＋…＋n·3ⁿ，③

∴3S_n＝3²＋2×3³＋3×3⁴＋…＋n·3^n＋1.④

④－③得2S_n＝n·3^n＋1－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ),，

即2S_n＝n·3^n＋1－,，∴S_n＝＋.

四、數(shù)列求和的考查是高考命題的重點,，也常與求數(shù)列的通項一起考查,。

例：已知等差數(shù)列{a_n}前三項的和為－3，前三項的積為8.

(1)求等差數(shù)列{a_n}的通項公式,；

(2)若a₂,，a₃,，a₁成等比數(shù)列,，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和．

解：(1)設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，

則a₂＝a₁＋d,，a₃＝a₁＋2d,，

由題意，得

解得或

所以由等差數(shù)列的通項公式，可得

a_n＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故a_n＝－3n＋5或a_n＝3n－7.

(2)由(1),，知當a_n＝－3n＋5時,，a₂，a₃,，a₁分別為－1,，－4,2，不成等比數(shù)列,；

當a_n＝3n－7時,，a₂，a₃,，a₁分別為－1,2,，－4，成等比數(shù)列,，滿足條件．

故|a_n|＝|3n－7|＝

記數(shù)列{|a_n|}的前n項和為S_n.

當n＝1時,，S₁＝|a₁|＝4；(9分)

當n＝2時,，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5

當n≥3時,，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|

＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)

＝5＋

＝n²－n＋10.

當n＝2時，滿足此式．

綜上,，S_n＝

五,、以現(xiàn)實生活中的“增長率”、“貸款”等問題為背景命題,，考查數(shù)列的通項,、前n項和等知識．

例：某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn),，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始,，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a_n萬元．

(1)用d表示a₁,，a₂,，并寫出a_n＋1與a_n的關系式；

(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元,，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)．

解： (1)由題意,，

得a₁＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d

a₂＝a₁(1＋50%)－d＝a₁－d＝4 500－d

a_n＋1＝a_n(1＋50%)－d＝a_n－d.

(2)由(1)，得a_n＝a_n－1－d

＝－d

＝²a_n－2－d－d

…

＝^n－1a₁－d.

整理,，得a_n＝^n－1(3 000－d)－2d

＝^n－1(3 000－3d)＋2d.(10分)

由題意,，得a_m＝4 000，

即^m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.

解得d＝＝.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時,，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元．