專題九  等差,、等比數(shù)列的基本問題

1．在等差數(shù)列{a_n}中,，已知a₄＋a₈＝16,，則該數(shù)列前11項和S₁₁＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．58                        B．88 

C．143                       D．176

答案： B　[利用等差數(shù)列的性質及求和公式求解．因為{a_n}是等差數(shù)列,，所以a₄＋a₈＝2a₆＝16?a₆＝8,，則該數(shù)列的前11項和為S₁₁＝＝11a₆＝88.]

2．已知{a_n}為等比數(shù)列，a₄＋a₇＝2,，a₅a₆＝－8,，則a₁＋a₁₀＝(　　)．

A．7                          B．5 

C．－5                       D．－7

答案：D　[設數(shù)列{a_n}的公比為q,，由得或所以或所以或所以a₁＋a₁₀＝－7.]

3．等差數(shù)列{a_n}中，a₁＋a₅＝10,，a₄＝7,，則數(shù)列{a_n}的公差為(　　)．

A．1                          B．2 

C．3                          D．4

答案：B　[在等差數(shù)列{a_n}中，∵a₁＋a₅＝10,，∴2a₃＝10,，∴a₃＝5，又a₄＝7,，∴所求公差為2.]

4．設公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n.若S₂＝3a₂＋2,，S₄＝3a₄＋2，則q＝________.

解析　∵S₄－S₂＝a₃＋a₄＝3(a₄－a₂),，

∴a₂(q＋q²)＝3a₂(q²－1),，

∴q＝－1(舍去)或q＝.

答案　

本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),，考查這兩種數(shù)列的概念,、基本性質、簡單運算,、通項公式,、求和公式等，屬于中檔題,；以解答題出現(xiàn)時,，各省市的要求不太一樣，有的考查等差,、等比數(shù)列的通項公式與求和等知識，屬于中檔題,；有的與函數(shù),、不等式、解析幾何等知識結合考查,，難度較大．

(1)深刻理解兩種數(shù)列的基本概念和性質,，熟練掌握常用的方法和技能；掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定,、證明方法,，這類問題經常出現(xiàn)在以遞推數(shù)列為背景的試題的第(1)問中．[來源:學科網ZXXK]

(2)熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，并會靈活應用,，這是迅速,、準確地進行計算的關鍵.

必備知識

等差數(shù)列的有關公式與性質

(1)a_n＋1－a_n＝d(n∈N^*,，d為常數(shù))．

(2)a_n＝a₁＋(n－1)d.

(3)S_n＝＝na₁＋d.

(4)2a_n＝a_n－1＋a_n＋1(n∈N^*,，n≥2)．

(5)①a_n＝a_m＋(n－m)d(n,，m∈N^*),；

②若m＋n＝p＋q，則a_m＋a_n＝a_p＋a_q(m,，n,，p，q∈N^*),；

③等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,，則S_m，S_2m－S_m,，S_3m－S_2m,，…成等差數(shù)列．

等比數(shù)列的有關公式與性質

(1)＝q(n∈N^*，q為非零常數(shù))．[來源:學+科+網Z+X+X+K]

(2)a_n＝a₁q^n－1.

(3)S_n＝＝(q≠1)．

(4)a＝a_n－1a_n＋1(n∈N^*,，n≥2)．

(5)①a_n＝a_mq^n－m,；

②若m＋n＝p＋q，則a_m·a_n＝a_p·a_q,；

③等比數(shù)列{a_n}(公比q≠－1)的前n項和為S_n，則S_m,，S_2m－S_m,，S_3m－S_2m,，…也成等比數(shù)列．

 

必備方法

1．運用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型,，解決此類問題需要抓住基本量a₁,、d(或q)，掌握好設未知數(shù),、列出方程,、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求,，整體代入”來簡化運算．

2．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質是學好本章的關鍵．解題時應從基礎處著筆,，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關性質及公式,，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧,，減少運算量,，既準又快地解決問題．

3．等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：

(1)定義法：a_n＋1－a_n＝d(d為常數(shù))?{a_n}是等差數(shù)列,；＝q(q為非零常數(shù))?{a_n}是等比數(shù)列,；

(2)利用中項法：2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2(n∈N^*)?{a_n}是等差數(shù)列；a＝a_n·a_n＋2(n∈N^*)?{a_n}是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的a_n≠0,，q≠0),；

(3)通項公式法：a_n＝pn＋q(p,，q為常數(shù))?{a_n}是等差數(shù)列；a_n＝cqⁿ(c,，q為非零常數(shù))?{a_n}是等比數(shù)列,；

(4)前n項和公式法：S_n＝An²＋Bn(A，B為常數(shù))?{a_n}是等差數(shù)列,；S_n＝mqⁿ－m(m為常數(shù),，q≠0)?{a_n}是等比數(shù)列；

(5)若判斷一個數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列,，只需用a₁,，a₂，a₃驗證即可．

等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質上有許多相似性,，是高考必考內容，著重考查等差,、等比數(shù)列的基本運算,、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題,、填空題,、還有解答題，題目難度中等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】已知兩個等比數(shù)列{a_n},、{b_n}滿足a₁＝a(a>0)，b₁－a₁＝1,，b₂－a₂＝2,，b₃－a₃＝3.

(1)若a＝1，求數(shù)列{a_n}的通項公式,；

(2)若數(shù)列{a_n}唯一,，求a的值．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)利用b₁,、b₂、b₃等比求解,；(2)利用(1)問的解題思路,，結合方程的相關知識可求解．

解　(1)設{a_n}的公比為q，則b₁＝1＋a＝2,，b₂＝2＋aq＝2＋q,，b₃＝3＋aq²＝3＋q².

由b₁，b₂,，b₃成等比數(shù)列得(2＋q)²＝2(3＋q²),，

即q²－4q＋2＝0，解得q₁＝2＋,，q₂＝2－，

所以{a_n}的通項公式為a_n＝(2＋)^n－1或a_n＝(2－)^n－1.

(2)設{a_n}的公比為q,，則由(2＋aq)²＝(1＋a)(3＋aq²),，

得aq²－4aq＋3a－1＝0.(*)

由a>0得，Δ＝4a²＋4a>0,，故方程(*)有兩個不同的實根,，

由{a_n}唯一，知方程(*)必有一根為0,，代入(*)得a＝.

 關于等差(等比)數(shù)列的基本運算，一般通過其通項公式和前n項和公式構造關于a₁和d(或q)的方程或方程組解決,，如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數(shù)列的性質,，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數(shù)列問題的認識．

【突破訓練1】等差數(shù)列{a_n}前9項的和等于前4項的和．若a₁＝1,，a_k＋a₄＝0,，則k＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．10  B．12  C．15  D．20

答案： A　[設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₉－S₄＝0,，即a₅＋a₆＋a₇＋a₈＋a₉＝0,5a₇＝0,，故a₇＝0，而a_k＋a₄＝0,，故k＝10.]

高考對該內容的考查主要是等差,、等比數(shù)列的定義,，常與遞推數(shù)列相結合考查．常作為數(shù)列解答題的第一問，為求數(shù)列的通項公式做準備,，屬于中檔題．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

【例2】? 設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,，已知a₁＝1，S_n＋1＝4a_n＋2.

(1)設b_n＝a_n＋1－2a_n,，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列,；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)先利用a_n＋1＝S_n＋1－S_n將S_n＋1＝4a_n＋2轉化為關于a_n的遞推關系式，再利用b_n＝a_n＋1－2a_n的形式及遞推關系式構造新數(shù)列來求證．

(2)借助(1)問結果,，通過構造新數(shù)列的方式求通項．

(1)證明　由a₁＝1,，及S_n＋1＝4a_n＋2，

有a₁＋a₂＝4a₁＋2,，a₂＝3a₁＋2＝5,，

∴b₁＝a₂－2a₁＝3，由S_n＋1＝4a_n＋2,，①

則當n≥2時,，有S_n＝4a_n－1＋2.②

①－②得a_n＋1＝4a_n－4a_n－1.

∴a_n＋1－2a_n＝2(a_n－2a_n－1)．

又∵b_n＝a_n＋1－2a_n，∴b_n＝2b_n－1,，

∴{b_n}是首項b₁＝3,，公比為2的等比數(shù)列，

(2)解　由(1)可得b_n＝a_n＋1－2a_n＝3·2^n－1,，

∴－＝.

∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列,，

∴＝＋(n－1)×＝n－,，

所以a_n＝(3n－1)·2^n－2.

 判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的首選方法是根據(jù)定義去判斷，其次是由等差中項或等比中項的性質去判斷．

【突破訓練2】 在數(shù)列{a_n}中,，a₁＝1,，a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ.

(1)設b_n＝.證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n.

(1)證明　∵a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ,，∴＝＋1.

即有b_n＋1＝b_n＋1,，

所以{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．

(2)解　由(1)知b_n＝n,，從而a_n＝n·2^n－1.

S_n＝1×2⁰＋2×2¹＋3×2²＋…＋(n－1)×2^n－2＋n×2^n－1,，

∴2S_n＝1×2¹＋2×2²＋3×2³＋…＋(n－1)×2^n－1＋n×2ⁿ.

兩式相減得，

S_n＝n×2ⁿ－2⁰－2¹－2²－…－2^n－1＝n×2ⁿ－2ⁿ＋1＝(n－1)2ⁿ＋1.

[來源:學科網ZXXK]

 

從近幾年的考題看,，對于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)．考查的目的在于測試考生靈活運用知識的能力，這個“靈活”就集中在“轉化”的水平上．　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,，a₁＝2，S₁,、2S₂,、3S₃成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)數(shù)列{b_n－a_n}是首項為－6,，公差為2的等差數(shù)列,，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)列出關于公比q的方程求q；(2)先求出b_n后,，再根據(jù)公式求和．

解　(1)由已知4S₂＝S₁＋3S_3,4(a₁＋a₁q)＝a₁＋3a₁(1＋q＋q²),，

3q²－q＝0，∴q＝0(舍),，或q＝,，∴a_n＝2·^n－1.

(2)由題意得：b_n－a_n＝2n－8，b_n＝a_n＋2n－8＝2^n－1＋2n－8.

設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n,，

T_n＝＋

＝3＋n(n－7)

＝－＋n²－7n＋3.

 (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別,，避免用錯公式．(2)方程思想的應用往往是破題的關鍵．

【突破訓練3】 數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列,，a_n為正整數(shù)，其前n項和為S_n,，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列,，且a₁＝3，b₁＝1,，數(shù)列{ba_n}是公比為64的等比數(shù)列,，b₂S₂＝64.

(1)求a_n，b_n,；

(2)求證：＋＋…＋＜.

(1)解　設{a_n}的公差為d,，{b_n}的公比為q,，則d為正整數(shù)，a_n＝3＋(n－1)d，b_n＝q^n－1.

依題意有①

由(6＋d)q＝64知q為正有理數(shù),，

故d為6的因子1,2,3,6之一,，

解①得d＝2,，q＝8,，

故a_n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，b_n＝8^n－1.

(2)證明　S_n＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2),，

∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝

＝＜.

[來源:學科網]

遞推數(shù)列及其應用

遞推數(shù)列問題一直是高考命題的特點，遞推數(shù)列在求數(shù)列的通項,、求和及其它應用中往往起至關重要的紐帶作用,，是解決后面問題的基礎和臺階，此類題目需根據(jù)不同的題設條件,，抓住數(shù)列遞推關系式的特點,，選擇恰當?shù)那蠼夥椒ǎ?/span>

【示例】已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₁＝a(a≠0),，a_n＋1＝rS_n(n∈N^*,，r∈R，r≠－1)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式,；

(2)若存在k∈N^*,，使得S_k＋1，S_k,，S_k＋2成等差數(shù)列,，試判斷：對于任意的m∈N^*，且m≥2,，a_m＋1,，a_m，a_m＋2是否成等差數(shù)列,，并證明你的結論．

[滿分解答]　(1)由已知a_n＋1＝rS_n,，可得a_n＋2＝rS_n＋1，兩式相減,，得a_n＋2－a_n＋1＝r(S_n＋1－S_n)＝ra_n＋1，

即a_n＋2＝(r＋1)a_n＋1.(2分)

又a₂＝ra₁＝ra,，

所以,，當r＝0時，數(shù)列{a_n}為：a,0,，…,，0，…,；(3分)

當r≠0,，r≠－1時，由已知a≠0,，所以a_n≠0(n∈N^*),，

于是由a_n＋2＝(r＋1)a_n＋1，可得＝r＋1(n∈N^*)，

∴a₂,，a₃,，…，a_n,，…成等比數(shù)列,，

∴當n≥2時，a_n＝r(r＋1)^n－2a.(5分)

綜上,，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝

(6分)

(2)對于任意的m∈N^*,，且m≥2,，a_m＋1,，a_m，a_m＋2成等差數(shù)列,，證明如下：

當r＝0時,，由(1)知，a_n＝

∴對于任意的m∈N^*,，且m≥2,，a_m＋1，a_m,，a_m＋2成等差數(shù)列．(8分)

當r≠0,，r≠－1時，

∵S_k＋2＝S_k＋a_k＋1＋a_k＋2,，S_k＋1＝S_k＋a_k＋1,，

若存在k∈N^*，使得S_k＋1,，S_k,，S_k＋2成等差數(shù)列，

則S_k＋1＋S_k＋2＝2S_k,，

∴2S_k＋2a_k＋1＋a_k＋2＝2S_k,，即a_k＋2＝－2a_k＋1.(10分)

由(1)知，a₂,，a₃,，…,，a_m，…的公比r＋1＝－2,，

于是對于任意的m∈N^*,，且m≥2，a_m＋1＝－2a_m,，[來源:Z_xx_k.Com]

從而a_m＋2＝4a_m,，

∴a_m＋1＋a_m＋2＝2a_m，

即a_m＋1,，a_m,，a_m＋2成等差數(shù)列．(12分)

綜上,，對于任意的m∈N^*,，且m≥2，a_m＋1,，a_m,，a_m＋2成等差數(shù)列．(13分)

老師叮嚀：本題是以a_n和S_n為先導的綜合問題，主要考查等差,、等比數(shù)列的基礎知識以及處理遞推關系式的一般方法．失分的原因有：第(1)問中漏掉r＝0的情況,，導致結論寫為a_n＝r(r＋1)^n－2a；第(2)問中有的考生也漏掉r＝0的情況,，很多考生不知將S_k＋1＋S_k＋2＝2S_k轉化為a_k＋1與a_k＋2的關系式,，從而證明受阻．

【試一試】已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n對一切正整數(shù)n都成立．

(1)求a₁，a₂的值,；

(2)設a₁＞0,，數(shù)列的前n項和為T_n.當n為何值時,，T_n最大？并求出T_n的最大值．

解　(1)取n＝1,，得a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂,，①

取n＝2，得a＝2a₁＋2a₂,，②

由②－①，得a₂(a₂－a₁)＝a₂,，③

(i)若a₂＝0,，由①知a₁＝0，

(ii)若a₂≠0,，由③知a₂－a₁＝1.④

由①,、④解得，a₁＝＋1,，a₂＝2＋,；或a₁＝1－，a₂＝2－.

綜上可知a₁＝0,，a₂＝0,；或a₁＝＋1，a₂＝＋2,；或a₁＝1－,，a₂＝2－.

(2)當a₁＞0時，由(1)知a₁＝＋1,，a₂＝＋2.

當n≥2時,，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1,，

所以(1＋)a_n＝(2＋)a_n－1,，即a_n＝a_n－1(n≥2)，

所以a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)·()^n－1.

令b_n＝lg,，

則b_n＝1－lg()^n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg,，

所以數(shù)列{b_n}是單調遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)，

從而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg 1＝0,，

當n≥8時,，b_n≤b₈＝lg＜lg 1＝0,，

故n＝7時，T_n取得最大值,，且T_n的最大值為

T₇＝＝＝7－lg 2.