§6.2直線與平面之間的位置關(guān)系

一,、知識導(dǎo)學(xué)

1.     掌握空間直線與平面的三種位置關(guān)系（直線在平面內(nèi),、相交、平行）.

2.     直線和平面所成的角,，當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時所成的角是,，當(dāng)直線與平面垂直時所成的角是9，當(dāng)直線與平面斜交時所成的角是直線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角.

3.     掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,，那么這條直線和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線和一個平面平行,，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,，那么這條直線和交線平行）.

4.     直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個平面內(nèi)所有直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直,；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,，那么這條直線垂直于這個平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行）.

5.     直線與平面的距離（一條直線和一個平面平行時,，這條直線上任意一點到這個平面的距離,，叫做這條直線和這個平面的距離）.

6.     三垂線定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,，那么它也和這條斜線垂直）,、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直,，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直）.

7.     從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等,，射影較長的斜線段也較長；②相等的斜線段的射影相等,，較長的斜線段的射影也較長,；③垂線段比任何一條斜線段都短.

二,、疑難知識導(dǎo)析

1.斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影,，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.

2.在證明平行時注意線線平行,、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運用.

3.在證明垂直時注意線線垂直,、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運用，同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”,，如果用“無數(shù)”或“兩條”都是錯誤的.

4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點到平面的距離（大于0）相等,，則經(jīng)過這兩點的直線與這個平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.

三,、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知平面∥平面,，直線平面,點P直線,平面、間的距離為8,，則在內(nèi)到點P的距離為10,，且到的距離為9的點的軌跡是（  ）

A.一個圓    B.四個點    C.兩條直線       D .兩個點

錯解：A.

錯因：學(xué)生對點線距離、線線距離,、面面距離的關(guān)系掌握不牢.

正解：B. 

[例2] a和b為異面直線,，則過a與b垂直的平面(    ).

  A．有且只有一個                B．一個面或無數(shù)個

  C．可能不存在                  D．可能有無數(shù)個

錯解：A.

錯因：過a與b垂直的平面條件不清.

正解：C.

[例3]由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C,，O為⊿ABC的外心,，求證：.

錯解：因為O為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC,，又因為PA＝PB＝PC,，PO公用,，所以⊿POA，⊿POB,，⊿POC都全等,，所以POA＝POB＝POC＝，所以.

錯因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT,，是對的,，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄兀窟@里缺少必要的證明.

正解：取BC的中點D,，連PD,、OD，

[例4]如圖,，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點,，P是BC上一點,，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到M點的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與C₁C的交點為N,

求: （1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長,；

（2）PC和NC的長,；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）

錯因：（1）不知道利用側(cè)面BCC₁ B₁展開圖求解,不會找 的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.

正解：(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是一個長為9,，寬為4的矩形,，其對角線長為

(2)如圖，將側(cè)面BC₁旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC₁在同一平面上,，點P運動到點P₁的位置,，連接MP₁  ，則MP₁就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC₁到點M的最短路線.

設(shè)PC＝,，則P₁C＝,，

在

(3)連接PP₁（如圖），則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線,，作NH于H,，又CC₁平面ABC，連結(jié)CH,，由三垂線定理的逆定理得,，.

[例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，Q 是PA 的中點,，求證：PC∥ 平面BDQ ．

　　分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行,，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了．

證明：如圖所示，連結(jié)AC ,，交BD 于點O ,，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形.

∴AO=CO ,，連結(jié)OQ ，則OQ 在平面BDQ 內(nèi),，且OQ 是 的中位線,，∴PC∥OQ ．

∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．

點 評：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時,，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行.

[例6] 在正方體A₁B₁C₁D₁－ABCD中,，E、F分別是棱AB,、BC的中點,，O是底面ABCD的中點．求證：EF垂直平面BB₁O．

證明 ： 如圖,連接AC、BD,，則O為AC和BD的交點．

∵E,、F分別是AB、BC的中點,，

∴EF是△ABC的中位線,，∴EF∥AC．

∵B₁B⊥平面ABCD,AC平面ABCD

∴AC⊥B₁B，由正方形ABCD知：AC⊥BO,，

又BO與BB₁是平面BB₁O上的兩條相交直線,，

∴AC⊥平面BB₁O(線面垂直判定定理)

∵AC∥EF，

∴ EF⊥平面BB₁O．

 [例7]如圖,，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中,，E 是BB₁ 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心,，求證：OE 平面ACD₁ ．

分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD₁ ,，只要在平面ACD₁ 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直．

證明：連結(jié)B₁D ,、A_!D 、BD ,，在△B₁BD 中,，

　　∵E,O 分別是B₁B 和DB 的中點，

　　∴EO∥B₁D ．

　　∵B₁A₁ 面AA₁D₁D ,，

　　∴DA₁ 為DB₁ 在面AA₁D₁D 內(nèi)的射影．

　　又∵AD₁A₁D ,，

　　∴AD₁DB₁  ．

　　同理可證B₁DD₁C ．

　　又∵AD₁，AD₁,D₁C 面ACD₁ ,，

　　∴B₁D 平面ACD₁ ．

　　∵B₁D∥OE ,，

　　∴OE 平面ACD₁ ．

　　點 評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用,，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直,，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用．

[例8]．如圖,，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點N在BD上, 點M在B₁C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA₁B₁B.

證明：

證法一.如圖,作ME∥BC,交BB₁于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA₁B₁B.

ME=NF

又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形,

MN∥EF.   MN∥平面AA₁B₁B.

證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B₁P,則B₁P平面AA₁B₁B.

∽,

又CM=DN,B₁C=BD,

∥B₁P.

  B₁P平面AA₁B₁B, MN∥平面AA₁B₁B.

證法三.如圖,作MP∥BB₁,交BC于點P,連NP.

MP∥BB₁,

   BD=B₁C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA₁B₁B.

MN∥平面AA₁B₁B.

 四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．設(shè)a ,，b 是空間兩條垂直的直線,，且b∥平面  ．則在“a∥平面 ”、“a ”,、“a與相交”這三種情況中,，能夠出現(xiàn)的情況有（     ）．

　A．0個　　B．1　　C．2個　　D．3個

2．一個面截空間四邊形的四邊得到四個交點，如果該空間四邊形僅有一條對角線與這個截面平行,，那么此四個交點圍成的四邊形是（   ）．

　A．梯形　　B．任意四邊形　　C．平行四邊形　　D．菱形

3．若一直線和一個平面平行,，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置關(guān)系是（    ）．

　　A．平行　　B．相交　　C．異面　　D．平行,、相交或異面

4．空間四邊形的邊AB ,、BC 、CD ,、DA 的中點分別是E ,、F 、G ,、H ,，若兩條對角線BD 、AC 的長分別為2和4,，則EG²+HF² 的值（     ）．

A．5　　B．10       C．20       D．40

5．點P ,、Q 、R ,、S 分別是空間四邊形ABCD 四邊的中點,，則：當(dāng)AC 時，四邊形PQRS 是______形,；當(dāng)AC=BD 時,，四邊形PQRS 是____形．

6．已知兩個全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內(nèi)，M ,、N 分別在它們的對角線AC ,，BF 上，且CM=BN ,，

求證：MN∥ 平面BCE ．

8.     如圖,，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形,且

(1)              證明C₁C;

當(dāng)的值為多少時，能使A₁C平面C₁BD,？請給出證明.