本講主要復(fù)習(xí)了必修（5）數(shù)列,、解三角形,、不等式等三部分知識(shí)要點(diǎn)和考點(diǎn)。在利用這些知識(shí)點(diǎn)解決問題時(shí)注重函數(shù)的思想,、數(shù)與形結(jié)合的思想,、方程的數(shù)學(xué)思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想,、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及配方法,、特值法、分離參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,。

考點(diǎn)一：數(shù)列,、不等式、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的考查

例1,、在下列命題中,，把正確命題的序號(hào)填在題后的橫線上。

（1）當(dāng)三角形的各角的余切成等差數(shù)列時(shí),，各角所對(duì)邊的平方成等差數(shù)列

（2）已知不等式①  ②x²－6x+8<>③2x²－9x+m<>若同時(shí)滿足①②的x值也滿足③,，則m9.

（3）一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列,，其首項(xiàng)是相等的正數(shù)，若其第（2n+1）項(xiàng)是相等的,，則這兩個(gè)數(shù)列的第（n+1）項(xiàng)也是相等的,。

（4）方程有解時(shí)a的取值范圍是

在上述命題中正確命題的序號(hào)是         。

分析：（1）設(shè)三個(gè)角A,，B,，C所對(duì)的邊分別是a，b,，c.由已知條件得：2cotB=cotA+cotC然后化為正,、余弦。通分再利用正,、余弦定理可證：2b²=a²+c².

（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集,。再對(duì)m取特值驗(yàn)證。也可利用二次函數(shù)的圖像解決,。

（3）利用等差,、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示這兩個(gè)數(shù)列的第（n+1）項(xiàng)，然后比較大小,?；蛉√刂凋?yàn)證。

（4）分離參數(shù)法：把a分離出來,，用表示a,，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：

2cotB=cotA+cotC

.利用正,、余弦定理可證：2b²=a²+c².故命題（1）是正確的,。

（2）不等式①②的交集是（2，3）,，取m=0時(shí),，不等式化為：

顯然當(dāng)2<><>時(shí)，不等式成立,。故命題（2）錯(cuò)誤 

另解：利用二次函數(shù)圖像求解：      

設(shè)f（x）=2x²－9x+m,，如圖由已知得：

（3）設(shè)數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列,。首項(xiàng)分別是>0

公差和公比分別是d,、q，取n=2,，q=2,，由已知：

即：，故==－=

故，故命題（3）錯(cuò)誤,。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命題錯(cuò)誤,。

考點(diǎn)二：不等式與數(shù)列的綜合應(yīng)用的考查

例2、已知數(shù)列{a}是首項(xiàng)a₁＞0,，q＞－1且q≠1的等比數(shù)列,，設(shè)數(shù)列{b}的通項(xiàng)為b=a－ka（n∈N），數(shù)列{a},、{b}的前n項(xiàng)和分別為S,，T．如果T＞kS對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

分析：由探尋T和S的關(guān)系入手謀求解題思路,。

解析：因?yàn)?/span>{a}是首項(xiàng)a＞0,，公比q＞－1且q≠1的等比數(shù)列，故

即

T=b+b+…+b=（

依題意,，由T＞kS,，得S（q－kq）＞kS…………①對(duì)一切自然數(shù)n都成立．

（1）當(dāng)q＞0時(shí)，由a₁＞0,，知a＞0,，所以S＞0，由①得：

,，

（2）當(dāng)－1＜q＜0時(shí),，因?yàn)?/span>a₁＞0，1－q＞0,，1－q＞0,，所以S=

由①式可得q－kq＞k綜合上述知：k的取值范圍是（

例3、等比數(shù)列{a}中,，已知a₁≠0，公比q＞0,，前n項(xiàng)和為S,，自然數(shù)b，c,，d,，e滿足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．

求證：S·S＜S·S．

分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)和S_n的問題,，首先考慮q=1的情況,，證明條件不等式時(shí)，正確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵．

證明：（1）當(dāng)q=1時(shí),，,。

<>

由已知得：c＜e，d＜e，故（c－e）（e－d）＜0．

同理

（要比較S·S與S· S的大小,，只要比較M=的大?。?/span>

             …………（*）

由b+e=c+d得：c=（b+e－d）

①當(dāng)0＜q＜1時(shí)，y=q^x是減函數(shù),，b<><><>M<>

②當(dāng)q＞1時(shí),，y=q^x是增函數(shù)，b<><><>．

綜上所述,，無論q=1還是q≠1,，都有S·S＜S·S．

說明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)知識(shí)的深化，對(duì)能力的提高,，關(guān)鍵在落實(shí)．根據(jù)上面所研究的問題,，進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想,、分類討論的思想和不等式的知識(shí)解決數(shù)列問題的能力．

考點(diǎn)三：不等式與解三角形（三角函數(shù)）有關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用,。

例4、已知三角形ABC三角所對(duì)的邊分別是a,，b,，c.外接圓的半徑是3，且sinB+sinC=.求的最大值,。

分析：由已知條件求出sinA的值,。根據(jù)=，只要求出bc的最大值即可,。

解析：由已知：,，

     …………（*）

由（*）得：，（否則當(dāng)顯然不成立）

故：,，整理得：,。

由正弦定理得：

，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）,。

,。

考點(diǎn)四：利用數(shù)列、不等式,、三角函數(shù)（解三角形）等知識(shí)建立模型解決實(shí)際問題,。

例5、（如圖）某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看作一條直線a,，救生員現(xiàn)在岸邊的A處,，發(fā)現(xiàn)海中的B處有人求救，救生員沒有直接從A處游向B處,，而是沿岸邊的A處跑到距離岸邊最近的D處然后游向B處,。已知救生員在岸邊行進(jìn)的速度是每秒6米,。在海中行進(jìn)的速度是每秒2米。                       

（1）問救生員選擇營(yíng)救的方式是否正確,。說明理由,；

（2）在海岸線上找一點(diǎn)C使救生員從A到C再到B所用的時(shí)間最短。

分析：（1）要判斷救生員的營(yíng)救方式是否正確,，只要比較從A直接游到B所用的時(shí)間t₁與從A跑到D再游到B處所用的時(shí)間t₂的大小,。

（2）設(shè)，（引入變量）,，把從A到C再到B的時(shí)間t表示成關(guān)于的三角函數(shù),。由求t的最小值確定的值，從而確定C點(diǎn),。

解析：（1）由圖知：AD=BD=300米,，故：AB=300米。從A游到B的時(shí)間秒,。從A跑到D,，再游到B的時(shí)間秒。

,，救生員選擇的營(yíng)救方式是正確的,。

（2）設(shè)。則,，則從A到C再到B所用的時(shí)間：t=

=50+50=

,，（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故此時(shí)AC=,，最短時(shí)間是：秒,。

說明：在本題中利用了三角函數(shù)中的萬能公式：

。這一組公式在解決三角函數(shù)問題中很方便,。

例6,、按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某種產(chǎn)品單價(jià)成本是a元,，如果他賣出的產(chǎn)品單價(jià)是m元,，則他的滿意度是。如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)是n元,，則他的滿意度是，如果一個(gè)人對(duì)兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為,。則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度是,。

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的單價(jià)成本分別為12元,、5元,。乙生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的單價(jià)成本分別是3元、20元,。設(shè)產(chǎn)品A,，B的單價(jià)分別是，甲買進(jìn)A賣出B的綜合滿意度是,，乙賣出A買進(jìn)B的綜合滿意度是,。

（1）求和關(guān)于的表達(dá)式。當(dāng),。

（2）設(shè)分別是多少時(shí),，甲乙兩人的綜合滿意度最大？最大的綜合滿意度是多少,？

（3）記（2）中的最大綜合滿意度是,，是否能適當(dāng)?shù)倪x取的值，使同時(shí)成立,，但等號(hào)不同時(shí)成立,？試說明理由。

解析：（1）設(shè),。則由滿意度的定義知：甲買進(jìn)產(chǎn)品A的滿意度是：,。

賣出產(chǎn)品B的滿意度是。故甲買進(jìn)產(chǎn)品A賣出產(chǎn)品B的綜合滿意度是：

,。同理,。當(dāng)易證：。

（2）當(dāng)=

（等號(hào)成立：y=10,，此時(shí)x=6））

故當(dāng)時(shí),，甲乙兩人的綜合滿意度均最大為。

（3）由（2）知：,，

=故時(shí),，有=

即不存在的值，使同時(shí)成立但等號(hào)不成立,。