1.3  充要條件與反證法

●知識梳理

1.充分條件：如果pq,，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立,，命題中的條件是充分的,，也可稱q是p的必要條件.

2.必要條件：如果qp，則p叫q的必要條件,，逆命題（或否命題）成立,，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件.

3.充要條件：如果既有pq,，又有qp,，記作pq，則p叫做q的充分必要條件,，簡稱充要條件,，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的.

4.反證法：當(dāng)直接證明有困難時(shí),，常用反證法.

●點(diǎn)擊雙基

1.ac2＞bc2是a＞b成立的

A.充分而不必要條件 B.充要條件

C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件

解析：a＞bac2＞bc2,，如c=0.

答案：A

2.已知a、b,、c為非零的平面向量.甲：a·b=a·c,，乙：b=c，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析：命題甲:a·b=a·ca·（b－c）=0a=0或b=c.

命題乙:b=c,，因而乙甲,，但甲乙.

故甲是乙的必要條件但不是充分條件.

答案：B

3.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞,，sinA＞30°＜A＜150°

A＞30°.

∴“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分條件.

答案：B

4.若條件p:a＞4,，q:5＜a＜6，則p是q的______________.

解析：a＞45＜a＜6,，如a=7雖然滿足a＞4,，但顯然a不滿足5＜a＜6.

答案：必要不充分條件

5.若a、b,、c是常數(shù),，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：若a＞0且b2－4ac＜0,，則對任意x∈R,，有ax2+bx+c＞0，反之,，則不一定成立.如a=0,，b=0且c＞0時(shí)，也有對任意x∈R,，有ax2+bx+c＞0.因此應(yīng)選A.

答案：A

●典例剖析

【例1】 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個(gè)充分而不必要條件是

A.x＜0              B.x≥0

C.x∈{－1,，3，5} D.x≤－或x≥3

剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－或x≥3,，∴對于A當(dāng)x=－時(shí)2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值驗(yàn)證.

答案：C

【例2】 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.

證明：（1）必要性,，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.

∵x=1是方程的根,，將x=1代入方程,，得a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.

（2）充分性,，即“若a+b+c=0,，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.

把x=1代入方程的左邊，得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,，∴x=1是方程的根.

綜合（1）（2）知命題成立.

深化拓展

求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一負(fù)根的充要條件.

證明：必要性：

（1）方程有一正根和一負(fù)根,，等價(jià)于

a＜0.

（2）方程有兩負(fù)根，等價(jià)于

0＜a≤1.

綜上可知,，原方程至少有一負(fù)根的必要條件是a＜0或0＜a≤1.

充分性：由以上推理的可逆性,，知當(dāng)a＜0時(shí)方程有異號兩根；當(dāng)0＜a≤1時(shí),，方程有兩負(fù)根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)根的充分條件.

答案：a＜0或0＜a≤1.

【例3】 下列說法對不對?如果不對,，分析錯(cuò)誤的原因.

（1）x2＝x＋2是x=x2的充分條件；

（2）x2＝x＋2是x=x2的必要條件.

解：（1）x2=x+2是x=x2的充分條件是指x2=x+2x=x2.

但這里“”不成立,，因?yàn)?/SPAN>x=－1時(shí),，“”左邊為真,，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是應(yīng)用了錯(cuò)誤的推理：

x2=x+2x=x2=x.

這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請同學(xué)補(bǔ)充說明具體錯(cuò)在哪里）.

（2）x2=x+2是x=x2的必要條件是指x=x2x2=x+2.

但這里“”不成立，因?yàn)?/SPAN>x=0時(shí),，“”左邊為真,，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是用了錯(cuò)誤的推理:

x=x2=xx+2=x2.

這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請同學(xué)補(bǔ)充說明具體錯(cuò)在哪里）.

評述：此題的解答比較注重邏輯推理.事實(shí)上，也可以從真值集合方面來分析：x2=x+2的真值集合是{－1,，2},，x=x2的真值集合是{0，2},，{－1,，2}{0，2},，而{0,，2} {－1，2},，所以（1）（2）兩個(gè)結(jié)論都不對.

●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.已知p是r的充分不必要條件,，s是r的必要條件，q是s的必要條件,，那么p是q成立的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：依題意有pr,，rs,，sq,，∴prsq.但由于rp，∴qp.

答案：A

2“cos2α=－”是“α=kπ+,，k∈Z”的

A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件

解析：cos2α=－2α=2kπ±α=kπ±.

答案：A

3.在△ABC中,，“A＞B”是“cosA＜cosB”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：在△ABC中，A＞BcosA＜cosB（余弦函數(shù)單調(diào)性）.

答案：C

4.命題A：兩曲線F（x,，y）＝0和G（x,，y）=0相交于點(diǎn)P（x0，y0）,，命題B：曲線F（x,，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數(shù)）過點(diǎn)P（x0,，y0）,，則A是B的__________條件.

答案：充分不必要

5.函數(shù)f（x）=x2－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是

A.a∈（－∞,，1］ B.a∈［2,，+∞）

C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞,，1］∪［2,，+∞）

解析：∵f（x）=x2－2ax－3的對稱軸為x=a,，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件為［1,，2］（－∞,，a］或［1，2］［a,，+∞）,，即a≥2或a≤1.

答案：D

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件.

分析：先根據(jù)前n項(xiàng)和公式,，導(dǎo)出使{an}為等比數(shù)列的必要條件,，再證明其充分條件.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q,；

當(dāng)n≥2時(shí),，an=Sn－Sn－1=（p－1）·pn－1.

由于p≠0，p≠1,，∴當(dāng)n≥2時(shí),，{an}是等比數(shù)列.要使{an}（n∈N*）是等比數(shù)列，則=p,，即（p－1）·p=p（p+q）,，∴q=－1，即{an}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1.

再證充分性：

當(dāng)p≠0且p≠1且q=－1時(shí),，Sn=pn－1,，

an=（p－1）·pn－1，=p（n≥2）,，

∴{an}是等比數(shù)列.

培養(yǎng)能力

7.（2004年湖南,，9）設(shè)集合U=｛（x，y）｜x∈R,，y∈R｝,，A=｛（x，y）|2x－y+m＞0｝,，B=｛（x,，y）|x+y－n≤0｝，那么點(diǎn)P（2,，3）∈A∩（UB）的充要條件是

A.m＞－1,，n＜5 B.m＜－1，n＜5

C.m＞－1,，n＞5 D.m＜－1,，n＞5

解析：∵UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝,，將P（2,，3）分別代入集合A,、B取交集即可.∴選A.

答案：A

8.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，   ①

x2－4mx+4m2－4m－5=0.       ②

求使方程①②都有實(shí)根的充要條件.

解：方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ1=（－4）2－16m≥0,，即m≤1,；

方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－.

∴方程①②都有實(shí)數(shù)根的充要條件是－≤m≤1.

9.已知a,、b,、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).

求證：三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0,，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

證明：反證法：

假設(shè)三個(gè)方程中都沒有兩個(gè)相異實(shí)根,，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0,，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0,，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.   ①

由題意a、b,、c互不相等,，∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

探究創(chuàng)新

10.若x,、y,、z均為實(shí)數(shù),，且a=x2－2y+,，b=y2－2z+，c=z2－2x+,，則a,、b,、c中是否至少有一個(gè)大于零,？請說明理由.

解：假設(shè)a、b,、c都不大于0,，即a≤0，b≤0,，c≤0,，則a+b+c≤0.

而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3,，

∵π－3＞0,，且無論x,、y、z為何實(shí)數(shù),，

（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，

∴a+b+c＞0.這與a+b+c≤0矛盾.因此,，a,、b、c中至少有一個(gè)大于0.

●思悟小結(jié)

1.要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”,，如“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”“都是”的否定形式是“一個(gè)也沒有”“至少有兩個(gè)”“不都是”.

2.證明充要性要從充分性,、必要性兩個(gè)方面來證明.

●教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”等字眼多用反證法.

2.強(qiáng)調(diào)反證法的第一步,，要與否命題分清.

3.要證明充要性應(yīng)從充分性,、必要性兩個(gè)方面來證.

拓展題例

【例題】 指出下列命題中，p是q的什么條件.

（1）p:0＜x＜3,，q:|x－1|＜2；

（2）p:（x－2）（x－3）=0,，q:x=2,；

（3）p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn).

解：（1）p:0＜x＜3,，q:－1＜x＜3.

p是q的充分但不必要條件.

（2）pq,，qp.p是q的必要但不充分條件.

（3）p是q的充要條件.

評述：依集合的觀點(diǎn)看，若AB,，則A是B的充分條件,，B是A的必要條件；若A=B,，則A是B的充要條件.