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高二數(shù)學(xué)解題策略：判斷充分與必要條件的常用方法
充分條件與必要條件是高中階段非常重要的數(shù)學(xué)概念，它涉及知識(shí)范圍廣,，綜合性強(qiáng),，能與高中任何知識(shí)相結(jié)合，有一定的深度與難度,，此類題目能有力地考查學(xué)生的邏輯思維能力,。那么我們?nèi)绾伟盐蘸徒鉀Q此類問(wèn)題呢,？
一、 定義法
對(duì)于“圯”,，可以簡(jiǎn)單的記為箭頭所指為必要,，箭尾所指為充分。在解答此類題目時(shí),，利用定義直接推導(dǎo),，一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義。
例1 已知p:-2＜m＜0,，0＜n＜1,；q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件,？
分析 條件p確定了m,n的范圍,，結(jié)論q則明確了方程的根的特點(diǎn)，且m,n作為系數(shù),，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,，然后再進(jìn)一步化簡(jiǎn)。
解 設(shè)x1,，x2是方程x2+mx+n=0的兩個(gè)小于1的正根,，即0＜x1＜1，0＜x2＜1,，則0＜x1+x2＜2,，0＜x1x2＜1，依韋達(dá)定理,，則有0＜-m＜2,，0＜n＜1，從而q圯p.
而對(duì)于滿足條件p的m=-1,，n=,，方程x2-x+=0并無(wú)實(shí)根，所以pq.
綜上,，可知p是q的必要但不充分條件,。
點(diǎn)評(píng) 解決條件判斷問(wèn)題時(shí)，務(wù)必分清誰(shuí)是條件,，誰(shuí)是結(jié)論,，然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推出條件,，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷,。
二、 集合法
如果將命題p,q分別看作兩個(gè)集合A與B,用集合意識(shí)解釋條件，則有：①若A哿B,則x∈A是x∈B的充分條件,，x∈B是x∈A的必要條件,；②若A芴B,則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件,；③若A=B,則x∈A和x∈B互為充要條件,；④若A芫B且A蕓B,則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。
例2 設(shè)x,y∈R,則x2+y2＜2是|x|+|y|≤的（）條件,，是|x|+|y|＜2的（）條件,。
A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件
C. 必要不充分條件搖D. 充分不必要條件
解 如右圖所示，平面區(qū)域P={（x,y）|x2+y2＜2}表示圓內(nèi)部分（不含邊界）,；平面區(qū)域Q={（x,y）||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分（含邊界）,；平面區(qū)域M={（x,y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內(nèi)部分（不含邊界）。
由于（,，0）埸P,但（,，0）∈Q,則P蕓Q.又P芫Q,于是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.
同理P芴M,于是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件,，故選D.
點(diǎn)評(píng) 由數(shù)想形,，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn),。數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路,，而且也能夠提高我們的解題能力。
三,、 逆否法
利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系,，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，將判斷“p圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q圯非p”的真假,。
例3 （1）判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件,；
?。?） 判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件,。
解 （1）原命題等價(jià)于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件。
顯然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要條件,。
?。?） 原命題等價(jià)于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件。
因?yàn)榉莗圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件,。
點(diǎn)評(píng) 當(dāng)命題含有否定詞時(shí),，可考慮通過(guò)逆否命題等價(jià)轉(zhuǎn)化判斷。
四,、 篩選法
用特殊值,、舉反例進(jìn)行驗(yàn)證，做出判斷，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程,。這種方法尤其適合于解選擇題,。
例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（）
A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1
解 利用特殊值驗(yàn)證：當(dāng)a=0時(shí)，x=-,，排除A,D,；當(dāng)a=1時(shí)，x=-1,，排除B.因此選C.
點(diǎn)評(píng) 作為選擇題,，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過(guò)程，使解題方法更加優(yōu)化,，節(jié)省了時(shí)間,，提高了解題的速度，因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用,。
五,、 傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1圯P,P2圯P3,，…,，Pn-1圯Pn,可得P1圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性,。對(duì)于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件,，兩個(gè)條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來(lái)加以處理。
例5 已知p是r的充分不必要條件,，s是r的必要條件,，q是s的必要條件，那么p是q的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解 由題意可得p圯r,r圯s,s圯q,那么可得p圯r圯s圯q,即p是q的充分不必要條件,，故選A.
點(diǎn)評(píng) 對(duì)于兩個(gè)以上的較復(fù)雜的連鎖式條件,，利用傳遞性結(jié)合符號(hào)“圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行判斷,，可以直觀快捷地處理問(wèn)題,，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化。
1. 求三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0,，x2+（a-1）x+a2=0,，x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件。
1. 三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根的充要條件是
Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0,，Δ2=（a-1）2-4a2＜0,，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1,，故至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.
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來(lái)自： zd山笑 > 《高二數(shù)學(xué)》
