等寬曲線編輯本段 定義及性質(zhì)有時(shí)我們要移動(dòng)重物,，可以如同圖1那樣把重物放在圓木棍上滾動(dòng)，并平穩(wěn)地前進(jìn),。圓用來(lái)作滾動(dòng)的原因是由于圓有這樣的性質(zhì),，即當(dāng)圓不管怎樣滾動(dòng)時(shí)，圓的任何一對(duì)平行切線的距離總是相等的,。即圓在任意方向都有相同的寬度,，因而圓也就是所謂的“等寬曲線”。 然而令人驚訝的是,，對(duì)于完成流動(dòng)所需要的性質(zhì)來(lái)說(shuō),，棍的橫斷面未必要是圓的!
編輯本段 等寬曲線畫法常規(guī)畫法事實(shí)上存在著大量的非圓等寬曲線，最簡(jiǎn)單的等寬曲線不是圓,，而是如圖2所示的曲邊三角形,。它的畫法如下： 1．畫一個(gè)等邊三角形； 2．以所作的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,，邊長(zhǎng)為半徑,，作各內(nèi)角所對(duì)的圓弧。 顯然,，這個(gè)等寬曲線的寬度等于原來(lái)等邊三角形的邊長(zhǎng),。請(qǐng)你親自動(dòng)手做個(gè)實(shí)驗(yàn)。把一硬紙卡片剪出一個(gè)如上所畫的等寬曲線的樣子,，而用另一硬紙卡片剪下一個(gè)正方形的洞,。如果正方形的邊長(zhǎng)等于曲線的寬度，那么不管方向怎樣變化,，它正好合適地裝入這個(gè)曲線板,，并且這個(gè)等寬曲線板可以在正方形內(nèi)緊密無(wú)間地自由轉(zhuǎn)動(dòng)（如圖3）。實(shí)際上,，任何等寬曲線都可以在邊長(zhǎng)等于曲線寬度的正方形內(nèi)緊密無(wú)間而自由地轉(zhuǎn)動(dòng),；反之，可以在正方形內(nèi)緊密而自由地轉(zhuǎn)動(dòng)的曲線也是等寬曲線,。
畫法關(guān)鍵畫等寬曲線的關(guān)鍵的想法是：圓弧的中心是它所對(duì)的角頂。下面介紹一種等寬的曲邊多邊形的一般畫法,，并使它的寬度為b,。開始可以把任意點(diǎn)B作為第一個(gè)角頂，以B為圓心,、b為半徑畫?。辉谶@個(gè)弧上,，選擇A和C二點(diǎn)作為新角頂,，以C為圓心、b為半徑畫?。ㄔ摶”亟?jīng)過(guò)B）,；在這個(gè)弧上，選擇另一個(gè)角頂D,，以D為圓心,、b為半徑畫弧（該弧必經(jīng)過(guò)C）,，如果我們希望結(jié)束這個(gè)過(guò)程,，可以在這個(gè)弧上選擇角頂E，使它也處在以A為圓心,、b為半徑的弧上（該弧必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B）,。也就是E是兩個(gè)弧的交點(diǎn)。最后,，用一個(gè)以E為圓心、b為半徑的弧連接A和D,，這樣就得到一個(gè)等寬的曲邊五邊形ADBEC（如圖6）,。邊數(shù)更多的多邊形，可用同樣的方法作出來(lái),，這只要多作幾步,，然后使曲線成為閉合的就可以了。 同樣的原理,，我們還可以利用這些曲線得到?jīng)]有任何角頂?shù)牡葘捛€,。 這些方法使我們可以構(gòu)作無(wú)數(shù)個(gè)等寬曲線,，它們都是由許多圓弧組成的。但不要誤解為等寬曲線只能由圓弧組成,，實(shí)際上有這樣的等寬曲線,，它的一部分不管是多么小，都不是圓弧,。在這里我們不可能介紹它,，因?yàn)橐呀?jīng)超出了初中幾何知識(shí)的范圍。編輯本段 應(yīng)用日常生活中,，我們看到許多加蓋的盛具,，如鍋、杯,、壺,、缸、桶之類,，都是圓口圓蓋的形狀,。這除了容易加工制造以外，主要還是應(yīng)用圓是等寬曲線的特性,。圓形的蓋子,，只要它不變形，從任何方向都不會(huì)掉進(jìn)盛具里去,。為了提高觀賞價(jià)值與品茶雅興,，一些藝術(shù)茶壺的壺蓋可以設(shè)計(jì)成其他等寬曲線的形狀。
學(xué)校：北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 作者姓名 ： 寧?kù)o 白帆 李佳琦 武一夫
摘要： 本文獻(xiàn)綜述將有以下幾個(gè)部分： 一,、等寬曲線圖形的出現(xiàn)與畫法 二,、等寬曲線圖形的初步性質(zhì) 三、對(duì)未來(lái)研究的計(jì)劃 關(guān)鍵詞 ： 等寬曲線 / 萊洛三角形 // 魯列斯曲邊三角形 / 引言 ： 在參觀中國(guó)科技館 “數(shù)學(xué)之魅”館中,，筆者及其小組成員發(fā)現(xiàn)了非圓形的車輪能夠起到同圓形車輪同樣的效果。車輪總是圓形的結(jié)論已成潛移默化的成為了思維定式,，這一有趣的現(xiàn)象使本小組對(duì)此產(chǎn)生了一定的興趣,，并引發(fā)本組成員對(duì)于萊洛三角形以及眾多等寬曲線圖形的研究,。以下是本組成員對(duì)等寬曲線圖形的中期研究成果。 正文： 一,、 等寬曲線圖形的出現(xiàn)與畫法 中世紀(jì)意大利詩(shī)人但丁說(shuō)過(guò)：“圓是最完整的圖形”,。圓對(duì)于人類最深 刻的印象，莫過(guò)于圓周上的點(diǎn)到圓心的距離相等,。車輪正是由于它的等長(zhǎng)的車輻,，而使車軸處于一定的高度，從而才能平穩(wěn)地水平運(yùn)動(dòng),。圓的任意兩條平行切線之間距離都是相等的,，都等于直徑。四千年前的古埃及人,，大概就是把一塊又一塊的巨石放在圓木棍上滾動(dòng)著推到金字塔頂,。假如沒有圓的這種“等寬度”的特性，我們這個(gè)星球的文明,，不知要往后推遲多少年,。然而令人驚異的是，對(duì)于完成滾動(dòng)來(lái)說(shuō),，棍的橫斷面未必要是圓的,！這一點(diǎn)大多數(shù)讀者可能難以置信，但卻是千真萬(wàn)確的事實(shí),。下圖所示的曲邊三角形就是最簡(jiǎn)單的具有“等寬度”性質(zhì)的圖形這種具有奇特功能的曲邊三角形,，是由工藝學(xué)家魯列斯首先發(fā)現(xiàn)的，所以叫做魯列斯曲邊三角形,，即等寬曲線圖形,。 2. 等寬曲線圖形的畫法 事實(shí)上存在著大量的非圓等寬曲線，最簡(jiǎn)單的等寬曲線不是圓,，而是上圖所示的曲邊三角形,，即萊洛三角形。它的畫法如下： 步驟一 ．畫一個(gè)等邊三角形,； 步驟二 ．以所作的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,，邊長(zhǎng)為半徑，作各內(nèi)角所對(duì)的圓弧,。 在魯列斯的等寬曲線上有尖點(diǎn),，即在兩條圓弧相交處形成角頂。我們希望它光滑一些,，可以按下面的方法得到?jīng)]有任何角頂?shù)男碌牡葘捛€： 方法一 . 把等邊三角形的各邊向兩個(gè)方向延長(zhǎng)相等的一段,；以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫圓弧，使得三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的圓弧的半徑，等于邊長(zhǎng)與延長(zhǎng)線的長(zhǎng)度的和,；內(nèi)角的對(duì)頂角所對(duì)的圓弧,，等于延長(zhǎng)線的長(zhǎng)。由這樣的六條圓弧組成的等寬曲線克服了尖點(diǎn),，因此光滑得多了 如下圖（左圖為五邊形等寬曲線圖形）
方法二 . 找到等邊三角形的外接圓圓心,，分別連結(jié)外心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。取三條線段中點(diǎn),，以這三點(diǎn)為圓心,，以二分之一線段長(zhǎng)為半徑畫圓，內(nèi)部圓弧與外部圓弧的交點(diǎn)間的內(nèi)部圓弧即可克服魯列斯三角形的尖點(diǎn),。圖形即為無(wú)尖點(diǎn)的近似等寬曲線圖形,。 延伸：由方法二可以找到所有多邊形作近似等寬曲線圖形的方法。 二,、 等寬曲線圖形的性質(zhì)（初步） 1. 等寬曲線的充要條件 定義：平面上簡(jiǎn)單的嚴(yán)格凸的閉曲線（卵形曲線）垂直每個(gè)方向都可作兩條互相平行的切線,，成為這個(gè)方向上的最高線和最低線，兩切點(diǎn)稱為相互對(duì)應(yīng),。 卵曲線稱為等寬曲線,，如果每個(gè)方向上的最高線和最低線之間的距離為常數(shù)，那么這個(gè)圖形就具備等寬曲線圖形的性質(zhì),，這個(gè)圖形（近似等寬曲線圖形）則是等寬曲線圖形 [2]
三,、對(duì)未來(lái)研究等寬曲線圖形的計(jì)劃 1 繼續(xù)研究等寬曲線圖形的性質(zhì)。 2 分析列舉常見等寬曲線圖形并于圓比較,。 3 等寬曲線圖形應(yīng)用：等寬曲線泵,。 4 從平面到立體，對(duì)“等寬曲線體”的猜想,。
參考文獻(xiàn)： [1] 百度百科 [2] 關(guān)于等寬曲線的討論 --- 陸雅言 丁以山 |
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