（2021·連云港）在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．
（1）是邊長為3的等邊三角形,，是邊上的一點,，且，小亮以為邊作等邊三角形,，如圖1．求的長,；

（2）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一個動點,，小亮以為邊作等邊三角形,，如圖2．在點從點到點的運動過程中，求點所經(jīng)過的路徑長,；

（3）是邊長為3的等邊三角形,，是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形,，如圖3．在點從點到點的運動過程中,，求點所經(jīng)過的路徑長；
（4）正方形的邊長為3,，是邊上的一個動點,，在點從點到點的運動過程中，小亮以為頂點作正方形,，其中點,、都在直線上,，如圖4．當點到達點時，點,、,、與點重合．則點所經(jīng)過的路徑長為　　    ，點所經(jīng)過的路徑長為　    　．

【分析】

（1）根據(jù)SAS即可得到結論,。

（2）有了（1）中的結論,，那么本題就可以考慮用上面的方法證明全等，然后根據(jù)對應邊相等求出路徑長,。

（3）還是與前面的類似,，找到全等即可，可以先確定起點與重點,，容易找到對應的三角形全等,。

（4）根據(jù)圖形，連接CH,，可以發(fā)現(xiàn)△ABF≌△CBH,，那么就可以得到CH與AF相等的。因為點F,、G都在AE上,，說明∠AFB=90°始終不變，那么點F的軌跡為以AB為直徑的圓弧,，同樣可以得到點H的軌跡為BC為直徑的圓弧,。

易得AG⊥CH，AH⊥GH,，那么可以得到C,、G、H三點共線,，那么∠AGC=90°,，點G的軌跡為AC為直徑的圓弧。那么確定起點與終點即可得到結論,。
【答案】解：（1）如圖,，和是等邊三角形，
,，,，，
,，
,，
，
,；
（2）如圖2,，連接,，

由（1），
,，,，
，
,，
,，
又點在點處時，,，
點在處時,，點與點重合．
點運動的路徑長．
（3）如圖3，取的中點,，連接,，

，
,，
,，
，
,，
和是等邊三角形，
,，,，
，
,，
,，
，,，
,，
又點在處時，,，
點在處時,，點與點重合．
點所經(jīng)過的路徑的長；
（4）如圖,，連接,，，相交于點,，取的中點,，的中點，連接,，,，

,，
點的運動軌跡為以點為圓心，長為半徑的圓上,；
,，
，即,，
,，
，
點在以點為圓心,，長為半徑的圓上,；
當點在處時，點,，,，重合，點和點重合,；
當點在點處時,，點和點重合，點與點重合,；
連接,，，

由上證明可得,，,，
，
點,，,，三點共線，
,，
點是的中點,，
是斜邊中線，
點在以點為圓心,，長為半徑的圓上,；
點所經(jīng)過的路徑長；
點所經(jīng)過的路徑長．
故答案為：,，．