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鬼谷子考徒弟——一道經(jīng)典邏輯推斷題
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孫臏和龐涓皆躬身向鬼谷子言道：“弟子們準備好了,，請師父出題,。” ¬ 鬼谷子撫髯一笑,，說道：“為師從二到九十九之間選兩個整數(shù),。為師把這兩個數(shù)的和告訴龐涓，把這兩個數(shù)之積告訴孫臏,。你們兩個不能互相告訴對方這兩個數(shù)的和與積分別是多少,，請問你們有沒有辦法算出這兩個整數(shù)分別是幾？” ¬ 鬼谷子說完,，就把龐涓招手叫到跟前,，在他耳邊輕聲說出兩個數(shù)之和；然后又招手把孫臏招到跟前,，在耳邊低聲說出兩個數(shù)之積,。然后笑道，“兩個徒兒,，為師的題目出完了,，現(xiàn)在看你們的了?！?¬ 孫臏和龐涓互相望了望,。龐涓首先開口道,，“雖然我不能確定這兩個數(shù)是什么，但是我可以肯定,，你也不知道這兩個整數(shù)是什么,。” ¬ 聽龐涓這么一說,，孫臏立刻笑了,，他說道，“龐師兄,，我本來確實不知道這兩個數(shù)是什么,。聽你這么一說，我倒是知道這兩個數(shù)是什么了,?！?¬ 龐涓也仰天大笑道，“孫師弟,，既然你都這么說了,，我也知道這兩個數(shù)是什么了?！?¬ 說完,，兩個人一同把心中所想的兩個數(shù)默寫在手掌上，然后伸出手掌讓師父鬼谷子觀看,。鬼谷子看后哈哈大笑,，連聲說道，“正是這兩個數(shù),?！?¬ 請問這兩個數(shù)分別是多少? ¬ ¬ 答案:4和13 ¬ ¬ 答案并不重要，重要的是你運用了什么思維和方法,。本題從邏輯否定中得出了邏輯肯定的結論,。有點特殊，呵呵,！ ¬ ¬ 題目解答分析：對于這兩個數(shù),，（逐步縮小范圍法）有 定義： ¬ ¬（X、Y不相等） P：龐涓手上的數(shù)字 ¬ S：孫臏手上的數(shù)字 ¬ X,、Y為這兩個數(shù)字,，2≤X<Y≤99 ¬ 那么： P=X+Y ¬ S=XY ¬ ¬ 事件1：龐涓首先開口道，“雖然我不能確定這兩個數(shù)是什么,，但是我可以肯定,，你也不知道這兩個整數(shù)是什么?！?¬ 事件2：聽龐涓這么一說,，孫臏立刻笑了,，他說道，“龐師兄,，我本來確實不知道這兩個數(shù) ¬是什么,。聽你這么一說，我倒是知道這兩個數(shù)是什么了,?！?¬ 事件3：龐涓也仰天大笑道，“孫師弟,，既然你都這么說了,，我也知道這兩個數(shù)是什么了?！?¬ ¬ ¬ 造成本題難解的原因是由于信息的不對等,，信息一點點地給出,，答案一點點地顯現(xiàn),。孫臏的信息較精確（他分解因式的可能組合一般較少），首先解出,，其次是龐涓,，然后是我們。我們的推理思維是從邏輯上排除不可能,，剩下的就是可能的了,。這樣就減小了運算量。如果你一個個個去試,，除非你是計算機,！那么我們采取的排除步驟就是盡可能地在前一步的排除效率大點，便于快速縮小范圍,，減小運算量,。 ¬ 排除效率：比如下面的步驟(B)中我們否定P>53（排除了144個）的就比(A)中我們否定P=5，6,，196,，197（排除了4個）的效率大。 ¬ ¬ 推理過程： ¬ 一,、 事件1發(fā)生前,，龐涓手上的數(shù)字P是5-197之間的數(shù)字。即： 5≤P≤197,。 ¬ 已知：2≤X<Y≤99,。 ¬ ¬ 龐涓不知道又能確定孫臏肯定不知道這兩個數(shù)，此時我們可以有以下推論： ¬ 縮小范圍：既然兩人在開口之前均無法確定答案,，那么 (A)若P=5,，有且僅有P=2+3,，S=2×3； ¬ 若P=6,，有且僅有P=2+4,，S=2×4； ¬ 若P=196,，有且僅有P=97+99,，S=97×99； ¬ 若P=197,，有且僅有P=98+99,，S=98×99； ¬ ¬以上這四種情況可排除,。 那么有： 7≤P≤195,。 ¬ ¬ (B) P一定不是大于53的數(shù)。也就是否定了55≤P≤195,。因為大于53的數(shù)可分為以下兩種情況討論： ¬ 1.假設55≤P≤152,，P可以表達為P=53+（P-53），如果孫臏拿到的S恰好等于53（P-53）,，這個數(shù)只能表達為53×（P-53）,，孫臏一下子就給出答案了，這就與龐涓的第一句話相矛盾,。 ¬之所以選53是因為這個素數(shù)乘以2就恰好大于100了,。 2.假設153≤P≤195，P可以表達為P=97+（P-97）,，證明方法同上,。 ¬ 那么有： 7≤P≤54。 ¬ ¬ （C）龐涓的和數(shù)P一定是奇數(shù),。假設P是偶數(shù),，由歌德巴赫猜想（100之內(nèi)的大于4的偶數(shù)已經(jīng)證明是成立的，你可自己歸納證明）,，我們進一步假設P可以表達為兩個不相等的奇質數(shù)之和,。那么，孫臏就有恰好不經(jīng)提示給出答案的可能——這就與龐涓的第一句話相矛盾,。 7≤P≤53,， ¬且P為奇數(shù)。 ¬ （D）龐涓手上的P不能表達為2+M,。（M為質數(shù)） ¬ 假設P=2+M成立,，而孫臏拿到的S正好等于2M；那么,，孫臏一下子就給出答案了——這就與龐涓的第一句話相矛盾,。 ¬ ¬ 這樣上面的24個數(shù)就只剩下： 11,，17，23,，27,，29，35,，37,，41，47,，51,，53。 ¬ ¬ ¬（E）（我們注意到大素數(shù)在解決本題中的效率：53,，13,，因53乘2超界，13的平方超界,，下面討論的17就是比13大點的超界問題,，因13出現(xiàn)的超界問題39已經(jīng)在D步驟中排除了） 假設P=51，而孫臏拿到的S正好等于17×34,，S只有S=17×34這一種組合方式,，那么,，孫臏一下子就給出答案了——這就與龐涓的第一句話相矛盾,。 ¬ ¬（此步討論的是形如3M的P且M不小于13） 滿足以上條件的這樣的數(shù)字只剩下10個：11，17,，23,，27，29,，35,，37，41,，47,，53。 ¬ ¬ 定義：集合C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53} ¬ ¬ 二,、 以上結論孫臏可通過龐涓的第一句得出,。他知道，P為以上10個數(shù)中的一個,。P必拆成兩數(shù)之和,，一奇一偶，且至少有一個數(shù)是合數(shù)：如果偶的那個恰為2,，我們上面的步驟已經(jīng)保證奇的那個必是合數(shù),；如果偶的那個不是2,，是合數(shù)。也就是說,，S在拆為兩個數(shù)的時候,，必須把所有的2都分到其中的一個數(shù)中去，即2^n不能拆開,。孫臏才能排除其他組合,，得出了唯一一組解。 ¬ ¬ 三,、 龐涓根據(jù)孫臏的話,，將P的其他組合排除，得出了唯一一組解,。那么他采取的是什么辦法來排除呢,？將S分解因式，討論以下幾種特殊情況： ¬ ¬ 1. 若 S=2^n*a (n為自然數(shù)且n>1) ¬ 2. 若 S=2*a*b ¬ 3. 若 S=2*a^2（a,、b均為奇質數(shù)且不相等） ¬ 對于第1種,，孫臏由P為奇數(shù)馬上得出組合（2^n，a）,。于是孫臏可以馬上說自己知道了答案：（2^n,，a）。 ¬ 對于第2種,，孫臏必然會在（2,，ab）與（2a，b）至少兩組之間苦惱不已（a與b可互換）,。讓我證明為什么至少兩組,，數(shù)學水平高者來證明一下這個猜想吧！我只知道若有被排除的那一組,，是因為其和不在集合C中,。那么，顯然與孫臏的話矛盾,。也就是說,，龐涓將P拆為兩個數(shù)時可以否定這種組合。 ¬ 對于第3種,，可以拆為（2,，A^2 ）、（2A,，A）,。對于（2A，A），2A與A之和3A是否在C中,？我們一看,，沒有。所以孫臏可以馬上說自己知道了答案：（2,，A^2 ）,。 ¬ ¬ 龐涓將P拆為兩個數(shù)的所有的可能列出，有且僅有一種組合是滿足條件的,。然后他才能宣布他也知道了,。我們在否定C中的某個數(shù)時，運用的是否定“龐涓聽了孫臏的話后,，得出了至少兩組解”這種與事件3矛盾的情況,，將C集合中的數(shù)一一試過。因為正面強攻才難,，所以就側面反證之,。 ¬ ¬ 假設P=11，你是龐涓,，有以下四種組合,，開始驗證吧： ¬ （2，9） S=2 ×3^2 孫臏有唯一一組解（2,，9）,； (S=2*a^2型） ¬ （3，8） S=2^3×3 孫臏有唯一一組解（3,，8）,；（S=2^n*a 型） ¬ （4，7） 不用再拆了,，龐涓已經(jīng)傻臉了：現(xiàn)在就有兩種選擇啦,！ ¬這就與龐涓的第二句話矛盾,，所以否定11,。 ¬ 假設P=17，你是龐涓,，有以下四組： ¬ （2,，15） S=2 ×3×5可拆為（2，15）,，（3,，10），（5,，6）,。孫臏傻臉了：我真的不知道啊！（3,，10）3,，10之和不在C中,，故排除。孫臏有兩組解（2,，15）,，（5，6）,。這就 與孫臏的話矛盾。故P=2+15這種拆法是不對的,；（S=2*a*b 型） ¬ （3,，14）S=2×3×7。這與上面的類型相同,，此種拆法不對,； ¬ （4，13）S=2^2 ×13,。證法同上面11中的（3,，8）,。孫臏有唯一一組解（4，13）,； ¬ （5,，12）S=2 ^2×3×5，這與將17拆為2+15的證法大同小異,。孫臏無語中……這種拆法是不對的,； ¬ （6，11）S=2 ×3×11,。這與上面的2+15類型相同,，此種拆法不對； ¬ （7,，10）S=2 ×5×7。這與上面的類型相同,，此種拆法不對,； ¬ （8， 9）S=2 ^3×3×3,，可拆為（8,，9）,，（3，24）,。孫臏有兩組解,，此種拆法不對； ¬ 因而,，龐涓也是有唯一一組解：（4,，13）。此為本題的一組解,。我們假設余下的都不是的,。龐涓將P拆為兩個數(shù)的所有的可能列出，有且僅有一種組合是滿足條件的,。然后他才能宣布他也知道了,。我們只要證明余下的數(shù)拆分時得出“龐涓有至少兩組解”這種與事件3矛盾的情況,。因為正面強攻難,，所以就側面反證之,。 ¬ ¬ 通過以上三的推理過程，以23為例,，只要能構筑形如 2^n+a 或2+a^2這樣的組合兩對,，就可以將其排除啦,。手推最快速的就是將23與4,，8,，16分相減,，如差為質數(shù),，則為一種組合,。顯然有（4,，19），（16,，7）,。 ¬ 對于27有（4，23）,，（8,，19）； ¬ 對于29有（16,，13）,；我們來看（4，25）,，這個4×25還有另一種拆法20×5,，因為20與5之和不在C中，故（4,，25）也可以算作一種組合,； ¬ 對于35有（4，31）,，（16,，19）； ¬ 對于37有（8,，29）,，（32， 5）,； ¬ 對于41有（4,，37）；我們來看（32,，9）,，這個32×9只有這一種拆法啦，你拆成96×3就出界啦,； ¬ 對于47有（4,，43），（16,，31）,； ¬ 對于53有（16,，37）；我們來看（32,，21）,，這個32×21只有這一種拆法啦，理由同上面的41…… ¬ ¬ 后記： ¬ ¬ 根據(jù)龐涓第一句話,，我們得出了P在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}中,。這條信息孫也知道了。他結合自己的積S馬上排除除至少一個可能,，得出唯一的一個答案?，F(xiàn)在該龐推斷了。他通過孫傳遞的信息——孫排除至少一個可能,，得出唯一的一個答案,，對自己的P進行分析排除，也得出唯一的一個答案,。最后根據(jù)鬼谷子的結論,，他們的答案是相同的。 ¬ 各種解題思路不同的就是,，怎么把上述的步驟化成可人工簡單筆算的,，在最短的時間里分析出答案。我寫得有點啰嗦,，因為這是推理嘛,，占有信息越多越好。 |
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