一    引言
        數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在集論基礎(chǔ)上的學(xué)科,，是幾何形態(tài)學(xué)分析和描述的有力工具,。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的歷史可回溯到19世紀(jì)。1964年法國的Matheron和Serra在積分幾何的研究成果上,，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域,，并研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)。1982年出版的專著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑,，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入,。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)蓬勃發(fā)展，由于其并行快速,，易于硬件實(shí)現(xiàn),，已引起了人們的廣泛關(guān)注。目前,，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已在計(jì)算機(jī)視覺,、信號處理與圖像分析,、模式識別、計(jì)算方法與數(shù)據(jù)處理等方面得到了極為廣泛的應(yīng)用,。
        數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以用來解決抑制噪聲,、特征提取、邊緣檢測,、圖像分割,、形狀識別、紋理分析,、圖像恢復(fù)與重建,、圖像壓縮等圖像處理問題。該文將主要對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本理論及其在圖像處理中的應(yīng)用進(jìn)行綜述,。

二    數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的定義和分類
        數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是以形態(tài)結(jié)構(gòu)元素為基礎(chǔ)對圖像進(jìn)行分析的數(shù)學(xué)工具,。它的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對應(yīng)形狀以達(dá)到對圖像分析和識別的目的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的應(yīng)用可以簡化圖像數(shù)據(jù),，保持它們基本的形狀特征,，并除去不相干的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算有4個(gè)：膨脹,、腐蝕,、開啟和閉合。它們在二值圖像中和灰度圖像中各有特點(diǎn),?；谶@些基本運(yùn)算還可以推導(dǎo)和組合成各種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實(shí)用算法。

（1）二值形態(tài)學(xué)
        數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中二值圖像的形態(tài)變換是一種針對集合的處理過程,。其形態(tài)算子的實(shí)質(zhì)是表達(dá)物體或形狀的集合與結(jié)構(gòu)元素間的相互作用,，結(jié)構(gòu)元素的形狀就決定了這種運(yùn)算所提取的信號的形狀信息。形態(tài)學(xué)圖像處理是在圖像中移動(dòng)一個(gè)結(jié)構(gòu)元素,，然后將結(jié)構(gòu)元素與下面的二值圖像進(jìn)行交,、并等集合運(yùn)算。
        基本的形態(tài)運(yùn)算是腐蝕和膨脹,。
        在形態(tài)學(xué)中,，結(jié)構(gòu)元素是最重要最基本的概念。結(jié)構(gòu)元素在形態(tài)變換中的作用相當(dāng)于信號處理中的“濾波窗口”,。用B（x）代表結(jié)構(gòu)元素,，對工作空間E中的每一點(diǎn)x，腐蝕和膨脹的定義為：
      
        用B（x）對E進(jìn)行腐蝕的結(jié)果就是把結(jié)構(gòu)元素B平移后使B包含于E的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,。用B（x）對E進(jìn)行膨脹的結(jié)果就是把結(jié)構(gòu)元素B平移后使B與E的交集非空的點(diǎn)構(gòu)成的集合,。先腐蝕后膨脹的過程稱為開運(yùn)算。它具有消除細(xì)小物體,，在纖細(xì)處分離物體和平滑較大物體邊界的作用,。先膨脹后腐蝕的過程稱為閉運(yùn)算,。它具有填充物體內(nèi)細(xì)小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用,。
        可見,，二值形態(tài)膨脹與腐蝕可轉(zhuǎn)化為集合的邏輯運(yùn)算，算法簡單,，適于并行處理,，且易于硬件實(shí)現(xiàn)，適于對二值圖像進(jìn)行圖像分割,、細(xì)化,、抽取骨架,、邊緣提取,、形狀分析。但是,，在不同的應(yīng)用場合,，結(jié)構(gòu)元素的選擇及其相應(yīng)的處理算法是不一樣的，對不同的目標(biāo)圖像需設(shè)計(jì)不同的結(jié)構(gòu)元素和不同的處理算法,。結(jié)構(gòu)元素的大小,、形狀選擇合適與否，將直接影響圖像的形態(tài)運(yùn)算結(jié)果,。因此,，很多學(xué)者結(jié)合自己的應(yīng)用實(shí)際，提出了一系列的改進(jìn)算法,。如梁勇提出的用多方位形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行邊緣檢測算法既具有較好的邊緣定位能力,，又具有很好的噪聲平滑能力。許超提出的以最短線段結(jié)構(gòu)元素構(gòu)造準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)元素或序列結(jié)構(gòu)元素生成準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)元素相結(jié)合的設(shè)計(jì)方法,，用于骨架的提取,，可大大減少形態(tài)運(yùn)算的計(jì)算量，并可同時(shí)滿足尺度,、平移及旋轉(zhuǎn)相容性,，適于對形狀進(jìn)行分析和描述。

（2）灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)
        二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可方便地推廣到灰度圖像空間,。只是灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算對象不是集合,，而是圖像函數(shù)。以下設(shè)f（x,，y）是輸入圖像,，b（x，y）是結(jié)構(gòu)元素,。用結(jié)構(gòu)元素b對輸入圖像y進(jìn)行膨脹和腐蝕運(yùn)算分別定義為：

對灰度圖像的膨脹（或腐蝕）操作有兩類效果：
（1）如果結(jié)構(gòu)元素的值都為正的,，則輸出圖像會(huì)比輸入圖像亮（或暗）,；
（2）根據(jù)輸入圖像中暗（或亮）細(xì)節(jié)的灰度值以及它們的形狀相對于結(jié)構(gòu)元素的關(guān)系，它們在運(yùn)算中或被消減或被除掉,?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中開啟和閉合運(yùn)算的定義與在二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的定義一致。用b對f進(jìn)行開啟和閉合運(yùn)算的定義為：

（3）模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)
        將模糊集合理論用于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就形成了模糊形態(tài)學(xué),。模糊算子的定義不同,，相應(yīng)的模糊形態(tài)運(yùn)算的定義也不相同。在此,，選用Shinba的定義方法,。模糊性由結(jié)構(gòu)元素對原圖像的適應(yīng)程度來確定。用有界支撐的模糊結(jié)構(gòu)元素對模糊圖像的腐蝕和膨脹運(yùn)算按它們的隸屬函數(shù)定義為：

 

 

其中,，x,y∈Z2代表空間坐標(biāo),，ua，ub分別代表圖像和結(jié)構(gòu)元素的隸屬函數(shù),。從（7）,，（8）式的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均落在[0,1]的區(qū)間內(nèi),。模糊形態(tài)學(xué)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從二值邏輯向模糊邏輯的推廣,，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有相似的計(jì)算結(jié)果和相似的代數(shù)特性。模糊形態(tài)學(xué)重點(diǎn)研究n維空間目標(biāo)物體的形狀特征和形態(tài)變換,，主要應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域,，如模糊增強(qiáng)、模糊邊緣檢測,、模糊分割等,。

 

三 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的主要應(yīng)用

近年來，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理方面得到了日益廣泛的應(yīng)用,。下面主要就數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在邊緣檢測,、圖像分割、圖像細(xì)化以及噪聲濾除等方面的應(yīng)用做簡要介紹,。

（1）       邊緣檢測

邊緣檢測是大多數(shù)圖像處理必不可少的一步,，提供了物體形狀的重要信息。對于二值圖像,，邊緣檢測是求一個(gè)集合A的邊界,，記為B（A）：

 

對于灰度圖像，邊緣檢測是求一幅圖像的形態(tài)學(xué)梯度,，記為g：

 

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算用于邊緣檢測,，存在著結(jié)構(gòu)元素單一的問題。它對與結(jié)構(gòu)元素同方向的邊緣敏感,，而與其不同方向的邊緣（或噪聲）會(huì)被平滑掉,，即邊緣的方向可以由結(jié)構(gòu)元素的形狀確定,。但如果采用對稱的結(jié)構(gòu)元素，又會(huì)減弱對圖像邊緣的方向敏感性,。所以在邊緣檢測中,，可以考慮用多方位的形態(tài)結(jié)構(gòu)元素，運(yùn)用不同的結(jié)構(gòu)元素的邏輯組合檢測出不同方向的邊緣,。

梁勇等人構(gòu)造了8個(gè)方向的多方位形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素,，應(yīng)用基本形態(tài)運(yùn)算，得到8個(gè)方向的邊緣檢測結(jié)果,，再把這些結(jié)果進(jìn)行歸一化運(yùn)算,、加權(quán)求和，得到最終的圖像邊緣,。該算法在保持圖像細(xì)節(jié)特征和平滑邊緣等方面,，取得了較好的效果。

 

（2）       圖像分割

基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像分割算法是利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換,，把復(fù)雜目標(biāo)X分割成一系列互不相交的簡單子集X1,，X2,，…,，XN，即：

對目標(biāo)X的分割過程可按下面的方法完成：首先求出X的最大內(nèi)接“圓”X1,，然后將X1從X中減去,，再求X-X1的最大內(nèi)接“圓”X2，…,，依此類推,，直到最后得到的集合為空集為止。下面以二值圖像為例,，介紹用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法求解子集X1,，X2，…,，XN的過程,。

設(shè)B為結(jié)構(gòu)元素，B可以是圓,、三角形,、正方形等簡單的幾何基元，那么“簡單”形狀集合Xi可以用下面的公式來定義：

式中ni為一整數(shù),，用上式定義Xi分割目標(biāo),，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生分割過程不唯一的現(xiàn)象。為此可采用下面公式來定義簡單集合Xi：

其中Li為一個(gè)點(diǎn)或一條線,，當(dāng)Li為點(diǎn)時(shí),，則與（12）式定義等價(jià),。（13）式定義的簡單形狀Xi可由niB沿線Li移動(dòng)而產(chǎn)生。即將“產(chǎn)生器”niB的中心沿“脊骨”Li移動(dòng)產(chǎn)生,。如果niB為圓,，則得到的Xi稱Blum帶。它具有一些特殊的性質(zhì),，如Xi的邊界是光滑的,，Xi的最大圓與其邊界相切，Xi的脊骨與產(chǎn)生器都是唯一的等等,。

有了簡單形狀集合Xi的定義,，則目標(biāo)X可按下面方法分割。首先按式（14）求出X的最大內(nèi)切結(jié)構(gòu)元素Xi：

 

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)用于圖像分割的缺點(diǎn)是對邊界噪聲敏感,。為了改善這一問題,，劉志敏等人提出了基于圖像最大內(nèi)切圓的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)形狀描述圖像分割算法和基于目標(biāo)最小閉包結(jié)構(gòu)元素的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)形狀描述圖像分割算法，并使用該算法對二值圖像進(jìn)行了分割,，取得了較好的效果,。鄧世偉等人提出一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的深度圖像分割算法。作者首先利用形態(tài)學(xué)算子獲得分別含有階躍邊緣與屋脊邊緣的凸脊和凹谷圖像,，然后利用控制區(qū)域生長過程得到最終的分割結(jié)果,。與傳統(tǒng)方法相比，該方法速度快,，抗噪性能好,。

 

（3）       形態(tài)骨架提取

形態(tài)骨架描述了物體的形狀和方向信息。它具有平移不變性,、逆擴(kuò)張性和等冪性等性質(zhì),，是一種有效的形狀描述方法。二值圖像A的形態(tài)骨架可以通過選定合適的結(jié)構(gòu)元素B,，對A進(jìn)行連續(xù)腐蝕和開啟運(yùn)算來求取,，設(shè)S（A）代表A的骨架，定義為：

蔣剛毅等人運(yùn)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法,，對交通標(biāo)志的內(nèi)核形狀提取形態(tài)骨架函數(shù),，將其作為用于模式匹配的形狀特征。A的形態(tài)骨架函數(shù)SKF（A）表示為：

SKF（X）中值較大的點(diǎn)對應(yīng)大的n,，并代表了形態(tài)骨架的主要成分,，即表達(dá)了形狀的主體結(jié)構(gòu)；而SKF（X）中值較小的點(diǎn)對應(yīng)小的n,，是形態(tài)骨架的細(xì)節(jié)成分,，與形狀的邊緣信息相聯(lián)系。

形態(tài)骨架函數(shù)完整簡潔地表達(dá)了形態(tài)骨架的所有信息，因此,，根據(jù)形態(tài)骨架函數(shù)的模式匹配能夠?qū)崿F(xiàn)對不同形狀物體的識別,。算法具有位移不變性，因而使識別更具穩(wěn)健性,。

 

（4）       噪聲濾除

對圖像中的噪聲進(jìn)行濾除是圖像預(yù)處理中不可缺少的操作,。將開啟和閉合運(yùn)算結(jié)合起來可構(gòu)成形態(tài)學(xué)噪聲濾除器。

對于二值圖像,，噪聲表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔,。用結(jié)構(gòu)元素B對集合A進(jìn)行開啟操作，就可以將目標(biāo)周圍的噪聲塊消除掉,；用B對A進(jìn)行閉合操作,，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。該方法中,，對結(jié)構(gòu)元素的選取相當(dāng)重要,，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊都要大,。

對于灰度圖像,，濾除噪聲就是進(jìn)行形態(tài)學(xué)平滑,。實(shí)際中常用開啟運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不變,；用閉合運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié),，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。將這兩種操作綜合起來可達(dá)到濾除亮區(qū)和暗區(qū)中各類噪聲的效果,。同樣的,，結(jié)構(gòu)元素的選取也是個(gè)重要問題。

 

四 選取結(jié)構(gòu)元素的方法

分析表明,，各種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的應(yīng)用可分解為形態(tài)學(xué)運(yùn)算和結(jié)構(gòu)元素選擇兩個(gè)基本問題，形態(tài)學(xué)運(yùn)算的規(guī)則已由定義確定,，于是形態(tài)學(xué)算法的性能就取決于結(jié)構(gòu)元素的選擇,，亦即結(jié)構(gòu)元素決定著形態(tài)學(xué)算法的目的和性能。因此如何自適應(yīng)地優(yōu)化確定結(jié)構(gòu)元素,，就成為形態(tài)學(xué)領(lǐng)域中人們長期關(guān)注的研究熱點(diǎn)和技術(shù)難點(diǎn),。目前較多采用多個(gè)結(jié)構(gòu)元素對圖像進(jìn)行處理的方法。

 

（1）       多結(jié)構(gòu)元素運(yùn)算

在許多形態(tài)學(xué)應(yīng)用中,，往往只采用一個(gè)結(jié)構(gòu)元素,，這通常不能產(chǎn)生滿意的結(jié)果。在模式識別中,，如果要提取某個(gè)特定的模式,，只采用一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，那么，只有與結(jié)構(gòu)元素形狀,、大小完全相同的模式才能被提取,，而與此結(jié)構(gòu)元素表示的模式即使有微小差別的其他模式的信息都不能獲取。

解決此問題的一個(gè)有效方法之一就是將形態(tài)學(xué)運(yùn)算與集合運(yùn)算結(jié)合起來,，同時(shí)采用多個(gè)結(jié)構(gòu)元素,，分別對圖像進(jìn)行運(yùn)算，然后將運(yùn)算后的圖像合并起來,，即多結(jié)構(gòu)元素形態(tài)學(xué)運(yùn)算,。

 

（2）       用遺傳算法選取結(jié)構(gòu)元素

遺傳算法的思想來源于自然界物競天擇、優(yōu)勝劣汰,、適者生存的演化規(guī)律和生物進(jìn)化原理,，并引用隨機(jī)統(tǒng)計(jì)理論而形成，具有高效并行全局優(yōu)化搜索能力,，能有效地解決機(jī)器學(xué)習(xí)中參數(shù)的復(fù)雜優(yōu)化和組合優(yōu)化等難題,。

近年來不少國外學(xué)者已進(jìn)行了這方面的探索與研究，Ehrgardt設(shè)計(jì)了形態(tài)濾波的遺傳算法,，用于二值圖像的去噪和根據(jù)二值紋理特性消除預(yù)定目標(biāo),；Huttumen利用遺傳算法構(gòu)造了軟式形態(tài)濾波器及其參數(shù)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法，以實(shí)現(xiàn)灰度圖像的降噪功能,。余農(nóng),、李予蜀等人用遺傳算法在自然景象的目標(biāo)檢測與提取方面進(jìn)行了研究，通過自適應(yīng)優(yōu)化訓(xùn)練使結(jié)構(gòu)元素具有圖像目標(biāo)的形態(tài)結(jié)構(gòu)特征,，從而賦予結(jié)構(gòu)元素特定的知識,，使形態(tài)濾波過程融入特有的智能，以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜變化的圖像具有良好的濾波性能和穩(wěn)健的適應(yīng)能力,。其實(shí)質(zhì)是解決濾波器設(shè)計(jì)中知識獲取和知識精煉的機(jī)器學(xué)習(xí)問題,。

 

五 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)存在的問題與進(jìn)一步的研究方向

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在集論基礎(chǔ)之上的學(xué)科，是幾何形狀分析和描述的有力工具,。近年來,，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在數(shù)字圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺與模式識別等領(lǐng)域中得到了越來越廣泛的應(yīng)用,，漸漸形成了一種新的數(shù)字圖像分析方法和理論,，引起了國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域研究人員的廣泛關(guān)注。目前,，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)存在的問題及研究方向主要集中在以下幾個(gè)方面：

（1）            形態(tài)運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是一種二維卷積運(yùn)算,，當(dāng)圖像維數(shù)較大時(shí)，特別是用灰度形態(tài)學(xué),、軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué),、模糊形態(tài)學(xué)等方法時(shí),，運(yùn)算速度很慢，因而不適于實(shí)時(shí)處理,。

（2）            由于結(jié)構(gòu)元素對形態(tài)運(yùn)算的結(jié)果有決定性的作用,，所以，需結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景和期望合理選擇結(jié)構(gòu)元素的大小與形狀,。

（3）             軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于結(jié)構(gòu)元素核心,、軟邊界的定義，及對加權(quán)統(tǒng)計(jì)次數(shù)*的選擇也具有較大的靈活性,，應(yīng)根據(jù)圖像拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)合理選擇,，沒有統(tǒng)一的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。

（4）           為達(dá)到最佳的濾波效果,，需結(jié)合圖像的拓?fù)涮匦赃x擇形態(tài)開,、閉運(yùn)算的復(fù)合方式。

（5）            對模糊形態(tài)學(xué),，不同的模糊算子會(huì)直接影響模糊形態(tài)學(xué)的定義及其運(yùn)算結(jié)果,。

（6）           有待進(jìn)一步將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)結(jié)合研究灰度圖像,、彩色圖像的處理和分析方法,。

（7）            有待進(jìn)一步研究開發(fā)形態(tài)運(yùn)算的光學(xué)實(shí)現(xiàn)及其它硬件實(shí)現(xiàn)方法。

（8）            有待將形態(tài)學(xué)與小波,、分形等方法結(jié)合起來對現(xiàn)有圖像處理方法進(jìn)行改進(jìn),，進(jìn)一步推廣應(yīng)用。所以如何實(shí)現(xiàn)灰度形態(tài)學(xué),、軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué),、模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的快速算法，如何改善形態(tài)運(yùn)算的通用性,，增強(qiáng)形態(tài)運(yùn)算的適應(yīng)性,，并結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的最新應(yīng)用進(jìn)展，將其應(yīng)用到圖像處理領(lǐng)域,，豐富和發(fā)展利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理與分析方法,，成為數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)今后的發(fā)展方向。

 

六 結(jié)論

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對圖像的處理具有直觀上的簡明性和數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性,，在定量描述圖像的形態(tài)特征上具有獨(dú)特的優(yōu)勢，為基于形狀細(xì)節(jié)進(jìn)行圖像處理提供了強(qiáng)有力的手段,。建立在集合理論基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué),，主要通過選擇相應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素采用膨脹、腐蝕,、開啟,、閉合#種基本運(yùn)算的組合來處理圖像。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用廣泛，有許多實(shí)用的算法,，但在每種算法中結(jié)構(gòu)元素的選取都是一個(gè)重要的問題,。

 

 

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