說明：本文是我在參加了人教社組織的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念,、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”

           初中課題組活動(dòng)之后寫的,，已發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2010年第7期（中旬）。

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（中旬）連載了人教社中數(shù)室主任章建躍博士的文章《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題》,，讀后感觸很深,，特別是他提出的“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生,、理解教學(xué)是課改的三大基石”,，筆者深有同感，深受啟發(fā)．教師只有在“三個(gè)理解”上狠下功夫并取得進(jìn)步,，才能使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量得到保證．“理解數(shù)學(xué)”,、“理解學(xué)生”、“理解教學(xué)”共同構(gòu)成了理解數(shù)學(xué)課堂教學(xué),、提高課堂教學(xué)有效性的基本要素．

本文擬結(jié)合人教版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)（下）第十七章“ 17.1.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”（第1課時(shí)）,，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“理解”．

1  理解數(shù)學(xué)

理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“預(yù)設(shè)”的前提,，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“生成”的關(guān)鍵．作為教師,，只有清晰地知道“教什么”，理解所教內(nèi)容“是什么”，深知數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法和自身的科學(xué)價(jià)值,，才有可能在課堂教學(xué)中予以表達(dá)．

1.1  理解內(nèi)容本身

反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù)之一,，“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”（第1課時(shí)），是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上,，進(jìn)一步研究反比例函數(shù)的圖象,，并通過圖象的研究和分析，來確定反比例函數(shù)的性質(zhì)．其內(nèi)容的核心,，是反比例函數(shù)圖象的“特征”,，反比例函數(shù)的“特性”，以及它們之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系．

要理解這部分內(nèi)容,，可分解為三個(gè)層次：

（1）知覺水平的理解,，也可稱為低級(jí)水平的理解，即首先要知道反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)“是什么”,，可以采用列表,、描點(diǎn)的方式，畫出反比例函數(shù)的圖象,，再根據(jù)圖象進(jìn)行觀察,、分析、歸納得出反比例函數(shù)的性質(zhì),；

（2）中級(jí)水平的理解,，就是在可以辨認(rèn)和識(shí)別“反比例函數(shù)的圖象”、可以由圖象知道“反比例函數(shù)的性質(zhì)”的基礎(chǔ)上,，能夠揭示反比例函數(shù)的“特性”與其圖象的“特征”之間的內(nèi)在聯(lián)系,，知道它是“怎么樣”；

（3）高級(jí)水平的理解,，是指可以將“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中,，懂得可以從函數(shù)的列表法、解析式法和圖象法三種表示方法的角度,，進(jìn)行探究和概括,，知道它是“為什么”，然后,，再進(jìn)行廣泛的遷移．

1．2  理解思想方法

思想方法,，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓．反比例函數(shù)作為一種基本的初等函數(shù)類型，那么,，凡是函數(shù)所具備的一般性質(zhì),，以往研究函數(shù)時(shí)（主要是一次函數(shù)）所運(yùn)用的思想方法，在這里也都是適用的．充分的揭示和利用這些思想方法,，是“領(lǐng)會(huì)”本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵．

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合,、對(duì)應(yīng),、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法．反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體,，由“解析式”到“作圖”,，再到“性質(zhì)”，都充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”,，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程,，是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用．其次,，將函數(shù)中變量,、之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線,，直觀地予以呈現(xiàn),，可以充分體現(xiàn)變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想．

1.3  理解科學(xué)價(jià)值

反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步體現(xiàn)函數(shù)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和方法．教材中呈現(xiàn)的通過“描點(diǎn)”畫圖,，到“觀察”圖象,，到分析圖象“特征”，再到確定函數(shù)中變量 ,、 之間的“變化規(guī)律”,，從而得出函數(shù)的“特性”，這一探究的過程和方法,，是學(xué)習(xí)初等函數(shù)時(shí)不可或缺的．事實(shí)上,，初中學(xué)段后續(xù)研究的二次函數(shù)，高中學(xué)段研究的指數(shù)函數(shù),、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等,，體現(xiàn)的也都是這樣一種研究的“模式”．使學(xué)生理解這種研究模式的科學(xué)價(jià)值,，對(duì)于明確學(xué)習(xí)任務(wù)，建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)將是非常有意義的．

其次,，用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象時(shí),，先由函數(shù)解析式考慮自變量的取值范圍，賦予自變量 一些具體的數(shù)值,，根據(jù) ,、 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到相應(yīng)的函數(shù)值 ,，在坐標(biāo)系中,，描出這些以（ ， ）為坐標(biāo)的點(diǎn),，再將這一系列的點(diǎn)依次“連接”起來,，得到函數(shù)的圖象，這一過程，反映了作函數(shù)圖象的一般規(guī)律．

基于對(duì)“反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)”的內(nèi)容,、思想方法,、科學(xué)價(jià)值的理解，在考慮本節(jié)課的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與相關(guān)內(nèi)容的展開時(shí),，就一定要考慮教學(xué)問題設(shè)置的“梯度”,，以及設(shè)計(jì)的“針對(duì)性”和“可操作性”，其中,，特別要關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況．

2  理解學(xué)生

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體,，“理解學(xué)生”就是要解決“教給誰”的問題．在課堂教學(xué)中，教師將已經(jīng)“理解”的數(shù)學(xué)知識(shí),，要傳授給學(xué)生,，那么，就一定要知道學(xué)生在“這個(gè)問題”上“已經(jīng)知道了什么”,；在將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容中,，可能遇到的思維障礙是什么；以及對(duì)于“這個(gè)問題”,，是如何展開“思考”的．

2.1  理解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

認(rèn)知起點(diǎn),，是一切知識(shí)結(jié)構(gòu)得以發(fā)展的基礎(chǔ)，課堂教學(xué),，就是要借助于學(xué)生已有的“知識(shí)儲(chǔ)備”,，幫助學(xué)生建立新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)知識(shí)之間的聯(lián)系．

對(duì)于本節(jié)課，平面直角坐標(biāo)系,、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),、用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過,，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的切入點(diǎn),，就可以定位在這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過類比“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)方法和經(jīng)歷,，從問題“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容,？是如何研究的？”開始,，展開本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容．

2.2  理解學(xué)生的思維障礙

對(duì)于用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象,，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過，但因當(dāng)時(shí)處于函數(shù)學(xué)習(xí)的初始階段,，重點(diǎn)只是讓學(xué)生掌握用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的“三步曲（列表,、描點(diǎn)、連線）”,，所以,，學(xué)生對(duì)每步要求的理解并不深刻．因此,，在畫反比例函數(shù)圖象時(shí)，常會(huì)遇到如下問題：

（1）“列表”時(shí),，確定自變量 的取值,，會(huì)出現(xiàn)缺乏代表性及忽略 等現(xiàn)象；

（2）“連線”時(shí),，由于一次函數(shù)圖象是一條直線,，容易使學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)上的負(fù)遷移，把雙曲線畫成折線,；

（3）對(duì)雙曲線與 軸,、 軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解．

因此，課堂教學(xué)中,，應(yīng)注意從反比例函數(shù)解析式的分析入手,，讓學(xué)生先進(jìn)行“數(shù)”（ ， ,）,、“式”（解析式中 ,、 的反比例關(guān)系）的分析，再過渡到對(duì)“形”（圖象）的認(rèn)識(shí)．

此外,，還可以借助信息技術(shù)工具,，探究反比例函數(shù) （ ）的圖象和性質(zhì)．例如，可以利用幾何畫板軟件,，對(duì)于一個(gè)確定的反比例函數(shù)（如 ）,，輔以“點(diǎn)跟蹤”等手段，繪制圖象,，通過動(dòng)態(tài)的演示,，觀察相關(guān)數(shù)值的變化，研究圖象的變化趨勢,，抽象概括當(dāng)自變量變化時(shí),，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律．然后，賦予不同的值（可以分解為或兩類情況）,，重復(fù)上述操作，加強(qiáng)從圖象“特征”歸納得出函數(shù)“特性”的“認(rèn)同感”,，使學(xué)生在直觀“感知”的同時(shí),，經(jīng)歷由“特殊”到“一般”，由“具體”到“抽象”的過程．

2.3  理解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

學(xué)生的學(xué)習(xí),，應(yīng)該始終是處于一種自然生成的狀態(tài),，新知識(shí)的發(fā)生、形成,、應(yīng)用,，也不是教師強(qiáng)加于學(xué)生的,，要遵從于一般的認(rèn)知規(guī)律．

對(duì)于反比例函數(shù) （ ），要獲得函數(shù)值 隨自變量 變化而變化的規(guī)律,，可以采用“抽象問題具體化,、一般問題特殊化”的基本策略，先討論 ,、 等,，由“特殊”到“一般”，歸納出 時(shí),， 隨 的增大而減?。煌?，再類似地得出 時(shí),， 隨 的增大而增大，符合學(xué)生“思考”問題的習(xí)慣．

當(dāng)教師可以站在每一個(gè)學(xué)生的角度,，理解學(xué)生的“所思”,、“所想”、“所得”的時(shí)候,，這樣的理解,，才能有助于教師對(duì)課堂教學(xué)“預(yù)設(shè)”與“生成”的把握．

3  理解教學(xué)

教學(xué)過程，應(yīng)該是以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程為載體的學(xué)生的認(rèn)知過程．基于教師對(duì)課堂教學(xué)中的載體“數(shù)學(xué)知識(shí)”的理解,，對(duì)教學(xué)對(duì)象“學(xué)生認(rèn)知”的理解,，接下來，就是要解決“途徑”的問題,，即討論“怎樣教”,，才能使學(xué)生獲得最大的學(xué)習(xí)效益．

按照杜威的教學(xué)思想，教學(xué)過程不外乎五個(gè)步驟：設(shè)計(jì)問題情境,；產(chǎn)生一個(gè)真實(shí)的問題,；從事必要的觀察；展開解決問題可能的途徑和方法,；檢驗(yàn)或驗(yàn)證解決問題的方法是否有效．

為此,，對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)，依據(jù)問題引導(dǎo)的原則,，可以進(jìn)行如下的設(shè)計(jì)：

問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容,？是如何研究的？

問題2：反比例函數(shù)的圖象是什么樣的,？

問題3：請(qǐng)觀察反比例函數(shù) 的圖象,，有哪些特征？

問題4：是不是所有的反比例函數(shù)的圖象都具有這樣的特征呢,？

問題5：反比例函數(shù) 與 的圖象有什么共同特征,？有什么不同點(diǎn),？是由什么決定的？

問題6：當(dāng) 取不同的值,，上述結(jié)論是否適用于所有的反比例函數(shù),？

問題7：總結(jié)反比例函數(shù) （ ）圖象的特征和性質(zhì)．

問題8：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲,？

這樣的設(shè)計(jì),，層層遞進(jìn)，自然順暢,，可以使課堂真正回歸數(shù)學(xué)知識(shí)生成,、學(xué)生思維發(fā)生的“原生態(tài)”．其基本脈絡(luò)是：由問題1復(fù)習(xí)正比例函數(shù)的內(nèi)容以及研究方法，引出問題2,，以反比例函數(shù) 的圖象為例,，讓學(xué)生經(jīng)歷“列表、描點(diǎn),、連線”的過程,，為“反比例函數(shù)的圖象是什么樣的”積累資料；提出問題3,，思考反比例函數(shù)的圖象“特征”,；進(jìn)一步提出假設(shè)，呈現(xiàn)問題4,，是不是所有的反比例函數(shù)的圖象都具有這樣的“特征”,，將問題拓廣，以討論反比例函數(shù) 為例,；得到問題5,，關(guān)注反比例系數(shù)“ ”的作用，獲得“特殊的”反比例函數(shù)的“特性”,；推廣至一般情況,，設(shè)置問題6，當(dāng) 取不同的值,，上述結(jié)論是否適用于所有的反比例函數(shù),，引導(dǎo)學(xué)生歸納“變化中的規(guī)律性”，分析結(jié)論的合理因素,；進(jìn)而有問題7,，使學(xué)生獲得反比例函數(shù) （ ）圖象的特征和性質(zhì)；最后,，設(shè)置問題8，讓學(xué)生自己梳理學(xué)習(xí)的收獲,，使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)有一個(gè)較為整體,、全面的認(rèn)識(shí),，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

總之，“理解是拂過心靈的一縷春風(fēng),，陣陣暖意隨風(fēng)而至,；理解是淌入心田的一條溪流，滴滴潤澤順?biāo)?；理解是灑進(jìn)心房的一抹星輝,，層層剪影由光而落．”對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的理解，也正是如此,，教師將自己對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的理解,，化作“春風(fēng)”、“溪流”和“星輝”,，以“數(shù)學(xué)”為載體,，以“課堂”為途徑，“拂過”學(xué)生的心靈,、“淌入”學(xué)生的心田和“灑進(jìn)”學(xué)生的心房．我們的目標(biāo),，就是要通過課堂，使學(xué)生真正可以獲得良好的數(shù)學(xué)教育．

備注：最后一段,，在本期雜志上發(fā)表時(shí),，編輯給刪掉了，可是我自己很是喜歡的,，就留在自己的博客里吧～

另外,，文中的數(shù)學(xué)符號(hào)，在這里卻顯示不出來,，我試了幾次都不行,，只好先這樣了，如果有朋友知道,，能告之為盼,，謝謝！