4.5.4 方差
命令 求樣本方差
函數(shù) var
格式 D=var(X) %var(X)=,若X為向量,則返回向量的樣本方差.
D=var(A) %A為矩陣,則D為A的列向量的樣本方差構(gòu)成的行向量.
D=var(X, 1) %返回向量(矩陣)X的簡單方差(即置前因子為的方差)
D=var(X, w) %返回向量(矩陣)X的以w為權(quán)重的方差
命令 求標(biāo)準(zhǔn)差
函數(shù) std
格式 std(X) %返回向量(矩陣)X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差(置前因子為)即:
std(X,1) %返回向量(矩陣)X的標(biāo)準(zhǔn)差(置前因子為)
std(X, 0) %與std (X)相同
std(X, flag, dim) %返回向量(矩陣)中維數(shù)為dim的標(biāo)準(zhǔn)差值,其中flag=0時(shí),置前因子為;否則置前因子為.
例4-41 求下列樣本的樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,方差和標(biāo)準(zhǔn)差
14.70 15.21 14.90 15.32 15.32
解:
>>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32];
>>DX=var(X,1) %方差
DX =
0.0559
>>sigma=std(X,1) %標(biāo)準(zhǔn)差
sigma =
0.2364
>>DX1=var(X) %樣本方差
DX1 =
0.0671
>>sigma1=std(X) %樣本標(biāo)準(zhǔn)差
sigma1 =
0.2590
命令 忽略NaN的標(biāo)準(zhǔn)差
函數(shù) nanstd
格式 y = nanstd(X) %若X為含有元素NaN的向量,則返回除NaN外的元素的標(biāo)準(zhǔn)差,若X為含元素NaN的矩陣,則返回各列除NaN外的標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的向量.
例4-42
>> M=magic(3) %產(chǎn)生3階魔方陣
M =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替換3階魔方陣中第1,6,8個(gè)元素為NaN
M =
NaN 1 6
3 5 NaN
4 NaN 2
>> y=nanstd(M) %求忽略NaN的各列向量的標(biāo)準(zhǔn)差
y =
0.7071 2.8284 2.8284
>> X=[1 5]; %忽略NaN的第2列元素
>> y2=std(X) %驗(yàn)證第2列忽略NaN元素的標(biāo)準(zhǔn)差
y2 =
2.8284
命令 樣本的偏斜度
函數(shù) skewness
格式 y = skewness(X) %X為向量,返回X的元素的偏斜度;X為矩陣,返回X各列元素的偏斜度構(gòu)成的行向量.
y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜糾正,flag=1(默認(rèn))表示偏斜不糾正.
說明偏斜度樣本數(shù)據(jù)關(guān)于均值不對稱的一個(gè)測度,如果偏斜度為負(fù),說明均值左邊的數(shù)據(jù)比均值右邊的數(shù)據(jù)更散;如果偏斜度為正,說明均值右邊的數(shù)據(jù)比均值左邊的數(shù)據(jù)更散,因而正態(tài)分布的偏斜度為 0;偏斜度是這樣定義的:
其中:μ為x的均值,σ為x的標(biāo)準(zhǔn)差,E(.)為期望值算子
例4-43
>> X=randn([5,4])
X =
0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686
-1.3362 1.2540 0.6900 1.1908
0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025
1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198
-0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567
>> y=skewness(X)
y =
-0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652
>> y=skewness(X,0)
y =
-0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954
 

admin 2007-11-29 20:48
4.5.5 常見分布的期望和方差
命令 均勻分布(連續(xù))的期望和方差
函數(shù) unifstat
格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A,B為標(biāo)量時(shí),就是區(qū)間上均勻分布的期望和方差,A,B也可為向量或矩陣,則M,V也是向量或矩陣.
例4-44
>>a = 1:6; b = 2.*a;
>>[M,V] = unifstat(a,b)
M =
1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000
V =
0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000
命令 正態(tài)分布的期望和方差
函數(shù) normstat
格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU,SIGMA可為標(biāo)量也可為向量或矩陣,則M=MU,V=SIGMA2.
例4-45
>> n=1:4;
>> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n)
M =
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
V =
1 4 9 16
4 16 36 64
9 36 81 144
16 64 144 256
命令 二項(xiàng)分布的均值和方差
函數(shù) binostat
格式 [M,V] = binostat(N,P) %N,P為二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù),可為標(biāo)量也可為向量或矩陣.
例4-46
>>n = logspace(1,5,5)
n =
10 100 1000 10000 100000
>>[M,V] = binostat(n,1./n)
M =
1 1 1 1 1
V =
0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000
>>[m,v] = binostat(n,1/2)
m =
5 50 500 5000 50000
v =
1.0e+04 *
0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000
常見分布的期望和方差見下表4-6.
表4-6 常見分布的均值和方差
函數(shù)名
調(diào)用形式
注 釋
unifstat
[M,V]=unifstat ( a, b)
均勻分布(連續(xù))的期望和方差,M為期望,V為方差
unidstat
[M,V]=unidstat (n)
均勻分布(離散)的期望和方差
expstat
[M,V]=expstat (p, Lambda)
指數(shù)分布的期望和方差
normstat
[M,V]=normstat(mu,sigma)
正態(tài)分布的期望和方差
chi2stat
[M,V]=chi2stat (x, n)
卡方分布的期望和方差
tstat
[M,V]=tstat ( n)
t分布的期望和方差
fstat
[M,V]=fstat ( n1, n2)
F分布的期望和方差
gamstat
[M,V]=gamstat ( a, b)
分布的期望和方差
betastat
[M,V]=betastat ( a, b)
分布的期望和方差
lognstat
[M,V]=lognstat ( mu, sigma)
對數(shù)正態(tài)分布的期望和方差
nbinstat
[M,V]=nbinstat ( R, P)
負(fù)二項(xiàng)式分布的期望和方差
ncfstat
[M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta)
非中心F分布的期望和方差
nctstat
[M,V]=nctstat ( n, delta)
非中心t分布的期望和方差
ncx2stat
[M,V]=ncx2stat ( n, delta)
非中心卡方分布的期望和方差
raylstat
[M,V]=raylstat ( b)
瑞利分布的期望和方差
Weibstat
[M,V]=weibstat ( a, b)
韋伯分布的期望和方差
Binostat
[M,V]=binostat (n,p)
二項(xiàng)分布的期望和方差
Geostat
[M,V]=geostat (p)
幾何分布的期望和方差
hygestat
[M,V]=hygestat (M,K,N)
超幾何分布的期望和方差
Poisstat
[M,V]=poisstat (Lambda)
泊松分布的期望和方差
4.5.6 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)
命令 協(xié)方差
函數(shù) cov
格式 cov(X) %求向量X的協(xié)方差
cov(A) %求矩陣A的協(xié)方差矩陣,該協(xié)方差矩陣的對角線元素是A的各列的方差,即:var(A)=diag(cov(A)).
cov(X,Y) %X,Y為等長列向量,等同于cov([X Y]).
例4-47
>> X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]';
>> C1=cov(X) %X的協(xié)方差
C1 =
1
>> C2=cov(X,Y) %列向量X,Y的協(xié)方差矩陣,對角線元素為各列向量的方差
C2 =
1.0000 0
0 0.3333
>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3]
A =
1 2 3
4 0 -1
1 7 3
>> C1=cov(A) %求矩陣A的協(xié)方差矩陣
C1 =
3.0000 -4.5000 -4.0000
-4.5000 13.0000 6.0000
-4.0000 6.0000 5.3333
>> C2=var(A(:,1)) %求A的第1列向量的方差
C2 =
3
>> C3=var(A(:,2)) %求A的第2列向量的方差
C3 =
13
>> C4=var(A(:,3))
C4 =
5.3333
命令 相關(guān)系數(shù)
函數(shù) corrcoef
格式 corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y的相關(guān)系數(shù),等同于corrcoef([X Y]).
corrcoef (A) %返回矩陣A的列向量的相關(guān)系數(shù)矩陣
例4-48
>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9]
A =
1 2 3
4 0 -1
1 3 9
>> C1=corrcoef(A) %求矩陣A的相關(guān)系數(shù)矩陣
C1 =
1.0000 -0.9449 -0.8030
-0.9449 1.0000 0.9538
-0.8030 0.9538 1.0000
>> C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求A的第2列與第3列列向量的相關(guān)系數(shù)矩陣
C1 =
1.0000 0.9538
0.9538 1.0000
4.6 統(tǒng)計(jì)作圖
4.6.1 正整數(shù)的頻率表
命令 正整數(shù)的頻率表
函數(shù) tabulate
格式 table = tabulate(X) %X為正整數(shù)構(gòu)成的向量,返回3列:第1列中包含X的值第2列為這些值的個(gè)數(shù),第3列為這些值的頻率.
例4-49
>> A=[1 2 2 5 6 3 8]
A =
1 2 2 5 6 3 8
>> tabulate(A)
Value Count Percent
1 1 14.29%
2 2 28.57%
3 1 14.29%
4 0 0.00%
5 1 14.29%
6 1 14.29%
7 0 0.00%
8 1 14.29%
4.6.2 經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖形
函數(shù) cdfplot
格式 cdfplot(X) %作樣本X(向量)的累積分布函數(shù)圖形
h = cdfplot(X) %h表示曲線的環(huán)柄
[h,stats] = cdfplot(X) %stats表示樣本的一些特征
例4-50
>> X=normrnd (0,1,50,1);
>> [h,stats]=cdfplot(X)
h =
3.0013
stats =
min: -1.8740 %樣本最小值
max: 1.6924 %最大值
mean: 0.0565 %平均值
median: 0.1032 %中間值
std: 0.7559 %樣本標(biāo)準(zhǔn)差
4.6.3 最小二乘擬合直線
函數(shù) lsline
格式 lsline %最小二乘擬合直線
h = lsline %h為直線的句柄
例4-51
>> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';
>> plot(X,'+')
>> lsline
4.6.4 繪制正態(tài)分布概率圖形
函數(shù) normplot
格式 normplot(X) %若X為向量,則顯示正態(tài)分布概率圖形,若X為矩陣,則顯示每一列的正態(tài)分布概率圖形.
h = normplot(X) %返回繪圖直線的句柄
說明 樣本數(shù)據(jù)在圖中用"+"顯示;如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布,則圖形顯示為直線,而其它分布可能在圖中產(chǎn)生彎曲.
例4-53
>> X=normrnd(0,1,50,1);
>> normplot(X)
圖4-12
4.6.5 繪制威布爾(Weibull)概率圖形
函數(shù) weibplot
格式 weibplot(X) %若X為向量,則顯示威布爾(Weibull)概率圖形,若X為矩陣,則顯示每一列的威布爾概率圖形.
h = weibplot(X) %返回繪圖直線的柄
說明繪制威布爾(Weibull)概率圖形的目的是用圖解法估計(jì)來自威布爾分布的數(shù)據(jù)X,如果X是威布爾分布數(shù)據(jù),其圖形是直線的,否則圖形中可能產(chǎn)生彎曲.
例4-54
>> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1);
>> weibplot(r)
圖4-13
4.6.6 樣本數(shù)據(jù)的盒圖
函數(shù) boxplot
格式 boxplot(X) %產(chǎn)生矩陣X的每一列的盒圖和"須"圖,"須"是從盒的尾部延伸出來,并表示盒外數(shù)據(jù)長度的線,如果"須"的外面沒有數(shù)據(jù),則在"須"的底部有一個(gè)點(diǎn).
boxplot(X,notch) %當(dāng)notch=1時(shí),產(chǎn)生一凹盒圖,notch=0時(shí)產(chǎn)生一矩箱圖.
boxplot(X,notch,'sym') %sym表示圖形符號(hào),默認(rèn)值為"+".
boxplot(X,notch,'sym',vert) %當(dāng)vert=0時(shí),生成水平盒圖,vert=1時(shí),生成豎直盒圖(默認(rèn)值vert=1).
boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis定義"須"圖的長度,默認(rèn)值為1.5,若whis=0則boxplot函數(shù)通過繪制sym符號(hào)圖來顯示盒外的所有數(shù)據(jù)值.
例4-55
>>x1 = normrnd(5,1,100,1);
>>x2 = normrnd(6,1,100,1);
>>x = [x1 x2];
>> boxplot(x,1,'g+',1,0)
圖4-14
4.6.7 給當(dāng)前圖形加一條參考線
函數(shù) refline
格式 refline(slope,intercept) % slope表示直線斜率,intercept表示截距
refline(slope) slope=[a b],圖中加一條直線:y=b+ax.
例4-56
>>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]';
>>plot(y,'+')
>>refline(0,3)
圖4-15
4.6.8 在當(dāng)前圖形中加入一條多項(xiàng)式曲線
函數(shù) refcurve
格式 h = refcurve(p) %在圖中加入一條多項(xiàng)式曲線,h為曲線的環(huán)柄,p為多項(xiàng)式系數(shù)向量,p=[p1,p2, p3,…,pn],其中p1為最高冪項(xiàng)系數(shù).
例4-57 火箭的高度與時(shí)間圖形,加入一條理論高度曲線,火箭初速為100m/秒.
>>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356];
>>plot(h,'+')
>>refcurve([-4.9 100 0])
圖4-16
4.6.9 樣本的概率圖形
函數(shù) capaplot
格式 p = capaplot(data,specs) %data為所給樣本數(shù)據(jù),specs指定范圍,p表示在指定范圍內(nèi)的概率.
說明 該函數(shù)返回來自于估計(jì)分布的隨機(jī)變量落在指定范圍內(nèi)的概率
例4-58
>> data=normrnd (0,1,30,1);
>> p=capaplot(data,[-2,2])
p =
0.9199
圖4-17
4.6.10 附加有正態(tài)密度曲線的直方圖
函數(shù) histfit
格式 histfit(data) %data為向量,返回直方圖
和正態(tài)曲線.
histfit(data,nbins) % nbins指定bar的個(gè)數(shù),
缺省時(shí)為data中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的平方根.
例4-59
>>r = normrnd (10,1,100,1);
>>histfit(r)
4.6.11 在指定的界線之間畫正態(tài)密度曲線
函數(shù) normspec
格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs指定界線,mu,sigma為正態(tài)分布的參數(shù)p 為樣本落在上,下界之間的概率.
例4-60
>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)
圖4-19
 

admin 2007-11-29 20:50
4.7 參數(shù)估計(jì)
4.7.1 常見分布的參數(shù)估計(jì)
命令 β分布的參數(shù)a和b的最大似然估計(jì)值和置信區(qū)間
函數(shù) betafit
格式 PHAT=betafit(X)
[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)
說明 PHAT為樣本X的β分布的參數(shù)a和b的估計(jì)量
PCI為樣本X的β分布參數(shù)a和b的置信區(qū)間,是一個(gè)2×2矩陣,其第1例為參數(shù)a的置信下界和上界,第2例為b的置信下界和上界,ALPHA為顯著水平,(1-α)×100%為置信度.
例4-61 隨機(jī)產(chǎn)生100個(gè)β分布數(shù)據(jù),相應(yīng)的分布參數(shù)真值為4和3.則4和3的最大似然估計(jì)值和置信度為99%的置信區(qū)間為:
解:
>>X = betarnd (4,3,100,1); %產(chǎn)生100個(gè)β分布的隨機(jī)數(shù)
>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度為99%的置信區(qū)間和參數(shù)a,b的估計(jì)值
結(jié)果顯示
PHAT =
3.9010 2.6193
PCI =
2.5244 1.7488
5.2776 3.4898
說明 估計(jì)值3.9010的置信區(qū)間是[2.5244 5.2776],估計(jì)值2.6193的置信區(qū)間是[1.7488 3.4898].
命令 正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)
函數(shù) normfit
格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
說明 muhat,sigmahat分別為正態(tài)分布的參數(shù)μ和σ的估計(jì)值,muci,sigmaci分別為置信區(qū)間,其置信度為;alpha給出顯著水平α,缺省時(shí)默認(rèn)為0.05,即置信度為95%.
例4-62 有兩組(每組100個(gè)元素)正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù),其均值為10,均方差為2,求95%的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)值.
解:>>r = normrnd (10,2,100,2); %產(chǎn)生兩列正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù)
>>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)
則結(jié)果為
mu =
10.1455 10.0527 %各列的均值的估計(jì)值
sigma =
1.9072 2.1256 %各列的均方差的估計(jì)值
muci =
9.7652 9.6288
10.5258 10.4766
sigmaci =
1.6745 1.8663
2.2155 2.4693
說明 muci,sigmaci中各列分別為原隨機(jī)數(shù)據(jù)各列估計(jì)值的置信區(qū)間,置信度為95%.
例4-63 分別使用金球和鉑球測定引力常數(shù)
(1)用金球測定觀察值為:6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672
(2)用鉑球測定觀察值為:6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
設(shè)測定值總體為,μ和σ為未知.對(1),(2)兩種情況分別求μ和σ的置信度為0.9的置信區(qū)間.
解:建立M文件:LX0833.m
X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672];
Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];
[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球測定的估計(jì)
[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %鉑球測定的估計(jì)
運(yùn)行后結(jié)果顯示如下:
mu =
6.6782
sigma =
0.0039
muci =
6.6750
6.6813
sigmaci =
0.0026
0.0081
MU =
6.6640
SIGMA =
0.0030
MUCI =
6.6611
6.6669
SIGMACI =
0.0019
0.0071
由上可知,金球測定的μ估計(jì)值為6.6782,置信區(qū)間為[6.6750,6.6813];
σ的估計(jì)值為0.0039,置信區(qū)間為[0.0026,0.0081].
泊球測定的μ估計(jì)值為6.6640,置信區(qū)間為[6.6611,6.6669];
σ的估計(jì)值為0.0030,置信區(qū)間為[0.0019,0.0071].
命令 利用mle函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)
函數(shù) mle
格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估計(jì)值
[phat, pci]=mle %置信度為95%
[phat, pci]=mle %置信度由alpha確定
[phat, pci]=mle %僅用于二項(xiàng)分布,pl為試驗(yàn)次數(shù).
說明 dist為分布函數(shù)名,如:beta(分布),bino(二項(xiàng)分布)等,X為數(shù)據(jù)樣本,alpha為顯著水平α,為置信度.
例4-64
>> X=binornd(20,0.75) %產(chǎn)生二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)
X =
16
>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) %求概率的估計(jì)值和置信區(qū)間,置信度為95%
p =
0.8000
pci =
0.5634
0.9427
常用分布的參數(shù)估計(jì)函數(shù)
表4-7 參數(shù)估計(jì)函數(shù)表
函數(shù)名
調(diào) 用 形 式
函 數(shù) 說 明
binofit
PHAT= binofit(X, N)
[PHAT, PCI] = binofit(X,N)
[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)
二項(xiàng)分布的概率的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
poissfit
Lambdahat=poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)
泊松分布的參數(shù)的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的λ參數(shù)和置信區(qū)間
normfit
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)
正態(tài)分布的最大似然估計(jì),置信度為95%
返回水平α的期望,方差值和置信區(qū)間
betafit
PHAT =betafit (X)
[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)
返回β分布參數(shù)a和 b的最大似然估計(jì)
返回最大似然估計(jì)值和水平α的置信區(qū)間
unifit
[ahat,bhat] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)
均勻分布參數(shù)的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
expfit
muhat =expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X,alpha)
指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
gamfit
phat =gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X,alpha)
γ分布參數(shù)的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回最大似然估計(jì)值和水平α的置信區(qū)間
weibfit
phat = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X,alpha)
韋伯分布參數(shù)的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的參數(shù)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì)
Mle
phat = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)
分布函數(shù)名為dist的最大似然估計(jì)
置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間
返回水平α的最大似然估計(jì)值和置信區(qū)間
僅用于二項(xiàng)分布,pl為試驗(yàn)總次數(shù)
說明各函數(shù)返回已給數(shù)據(jù)向量X的參數(shù)最大似然估計(jì)值和置信度為(1-α)×100%的置信區(qū)間.α的默認(rèn)值為0.05,即置信度為95%.
4.7.2 非線性模型置信區(qū)間預(yù)測
命令 高斯—牛頓法的非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合
函數(shù) nlinfit
格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非線性函數(shù)的系數(shù).FUN為用戶提供形如的函數(shù),該函數(shù)返回已給初始參數(shù)估計(jì)值β和自變量X的y的預(yù)測值.
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %beta為擬合系數(shù),r為殘差,J為Jacobi矩陣,beta0為初始預(yù)測值.
說明 若X為矩陣,則X的每一列為自變量的取值,y是一個(gè)相應(yīng)的列向量.如果FUN中使用了@,則表示函數(shù)的柄.
例4-65 調(diào)用MATLAB提供的數(shù)據(jù)文件reaction.mat
>>load reaction
>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)
betafit =
1.2526
0.0628
0.0400
0.1124
1.1914
命令 非線性模型的參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間
函數(shù) nlparci
格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度為95%的置信區(qū)間,beta為非線性最小二乘法估計(jì)的參數(shù)值,r為殘差,J為Jacobian矩陣.nlparci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入.
例4-66 調(diào)用MATLAB中的數(shù)據(jù)reaction.
>>load reaction
>>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)
beta =
1.2526
0.0628
0.0400
0.1124
1.1914
resids =
0.1321
-0.1642
-0.0909
0.0310
0.1142
0.0498
-0.0262
0.3115
-0.0292
0.1096
0.0716
-0.1501
-0.3026
J =
6.8739 -90.6536 -57.8640 -1.9288 0.1614
3.4454 -48.5357 -13.6240 -1.7030 0.3034
5.3563 -41.2099 -26.3042 -10.5217 1.5095
1.6950 0.1091 0.0186 0.0279 1.7913
2.2967 -35.5658 -6.0537 -0.7567 0.2023
11.8670 -89.5655 -170.1745 -8.9566 0.4400
4.4973 -14.4262 -11.5409 -9.3770 2.5744
4.1831 -41.7896 -16.8937 -5.7794 1.0082
11.8286 -51.3721 -154.1164 -27.7410 1.5001
9.1514 -25.5948 -76.7844 -30.7138 2.5790
3.3373 0.0900 0.0720 0.1080 3.5269
9.3663 -102.0611 -107.4327 -3.5811 0.2200
4.7512 -24.4631 -16.3087 -10.3002 2.1141
>>ci = nlparci(beta,resids,J)
ci =
-0.7467 3.2519
-0.0377 0.1632
-0.0312 0.1113
-0.0609 0.2857
-0.7381 3.1208
命令 非線性擬合和顯示交互圖形
函數(shù) nlintool
格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回?cái)?shù)據(jù)(x,y)的非線性曲線的預(yù)測圖形,它用2條紅色曲線預(yù)測全局置信區(qū)間.beta0為參數(shù)的初始預(yù)測值,置信度為95%.
nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度為(1-alpha)×100%
例4-67 調(diào)用MATLAB數(shù)據(jù)
>> load reaction
>> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)
圖4-20
命令 非線性模型置信區(qū)間預(yù)測
函數(shù) nlpredci
格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 為預(yù)測值,FUN與前面相同,beta為給出的適當(dāng)參數(shù),r為殘差,J為Jacobian矩陣,inputs為非線性函數(shù)中的獨(dú)立變量的矩陣值.
[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %delta為非線性最小二乘法估計(jì)的置信區(qū)間長度的一半,當(dāng)r長度超過beta的長度并且J的列滿秩時(shí),置信區(qū)間的計(jì)算是有效的.[ypred-delta,ypred+delta]為置信度為95%的不同步置信區(qū)間.
ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信區(qū)間的類型,置信度為100(1-alpha)%.'simopt' = 'on' 或'off' (默認(rèn)值)分別表示同步或不同步置信區(qū)間.'predopt'='curve' (默認(rèn)值) 表示輸入函數(shù)值的置信區(qū)間, 'predopt'='observation' 表示新響應(yīng)值的置信區(qū)間.nlpredci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入.
例4-68 續(xù)前例,在[100 300 80]處的預(yù)測函數(shù)值ypred和置信區(qū)間一半寬度delta
>> load reaction
>> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);
>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)
結(jié)果為:
ypred =
10.9113
delta =
0.3195
命令 非負(fù)最小二乘
函數(shù) nnls(該函數(shù)已被函數(shù)lsnonneg代替,在6.0版中使用nnls將產(chǎn)生警告信息)
格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判斷方程A×x=b的解,返回在x≥0的條件下使得最小的向量x,其中A和b必須為實(shí)矩陣或向量.
x = nnls(A,b,tol) % tol為指定的誤差
[x,w] = nnls(A,b) %當(dāng)x中元素時(shí),,當(dāng)時(shí).
[x,w] = nnls(A,b,tol)
例4- 69
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]';
>> x=nnls(A,b)
Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.
NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:
[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]
=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;
Use OPTIMSET to define optimization options, or type
'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be
removed in the future; please use NNLS with the new syntax.
x =
0
0.6929
命令 有非負(fù)限制的最小二乘
函數(shù) lsqnonneg
格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的條件下使得最小的向量x,其中C和d必須為實(shí)矩陣或向量.
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0為初始點(diǎn),x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options為指定的優(yōu)化參數(shù),參見options函數(shù).
[x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的殘差
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual表示C*x-d的殘差
例4- 70
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]';
>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)
x =
0
0.6929
resnorm =
0.8315
residual =
0.6599
-0.3119
-0.3580
0.4130
4.7.3 對數(shù)似然函數(shù)
命令 負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù)
函數(shù) Betalike
格式 logL=betalike(params,data) %返回負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù),params為向量[a, b],是分布的參數(shù),data為樣本數(shù)據(jù).
[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info.如果params 中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差.
說明 betalike是分布最大似然估計(jì)的實(shí)用函數(shù).似然函數(shù)假設(shè)數(shù)據(jù)樣本中,所有的元素相互獨(dú)立.因?yàn)閎etalike返回負(fù)對數(shù)似然函數(shù),用fmins函數(shù)最小化betalike與最大似然估計(jì)的功能是相同的.
例4-71 本例所取的數(shù)據(jù)是隨機(jī)產(chǎn)生的分布數(shù)據(jù).
>>r = betarnd(3,3,100,1);
>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)
logL =
-12.4340
info =
0.1185 0.1364
0.1364 0.2061
命令 負(fù)分布的對數(shù)似然估計(jì)
函數(shù) Gamlike
格式 logL=gamlike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的分布的參數(shù)為params(即[a,b])的負(fù)對數(shù)似然函數(shù)值
[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info.如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差.
說明 gamlike是分布的最大似然估計(jì)函數(shù).因?yàn)間amlike返回對數(shù)似然函數(shù)值,故用fmins函數(shù)將gamlike最小化后,其結(jié)果與最大似然估計(jì)是相同的.
例4-72
>>r=gamrnd(2,3,100,1);
>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)
logL =
275.4602
info =
0.0453 -0.0538
-0.0538 0.0867
命令 負(fù)正態(tài)分布的對數(shù)似然函數(shù)
函數(shù) normlike
格式 logL=normlike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的,負(fù)正態(tài)分布的,參數(shù)為params(即[mu,sigma])的對數(shù)似然函數(shù)值.
[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info.如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差.
命令 威布爾分布的對數(shù)似然函數(shù)
函數(shù) Weiblike
格式 logL = weiblike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的,威布爾分布的,參數(shù)為params(即[a,b])的對數(shù)似然函數(shù)值.
[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info.如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差.
說明 威布爾分布的負(fù)對數(shù)似然函數(shù)定義為
例4-73
>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);
>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)
logL =
237.6682
info =
0.0004 -0.0002
-0.0002 0.0078

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