4.6 統(tǒng)計(jì)作圖4.6.1 正整數(shù)的頻率表命令 正整數(shù)的頻率表 函數(shù) tabulate 格式 table = tabulate(X) %X為正整數(shù)構(gòu)成的向量，返回3列：第1列中包含X的值第2列為這些值的個(gè)數(shù)，第3列為這些值的頻率。 例4-49 >> A=[1 2 2 5 6 3 8] A = 1 2 2 5 6 3 8 >> tabulate(A) Value Count Percent 1 1 14.29% 2 2 28.57% 3 1 14.29% 4 0 0.00% 5 1 14.29% 6 1 14.29% 7 0 0.00% 8 1 14.29% 4.6.2 經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖形函數(shù) cdfplot 格式 cdfplot(X) %作樣本X（向量）的累積分布函數(shù)圖形 h = cdfplot(X) %h表示曲線的環(huán)柄 [h,stats] = cdfplot(X) %stats表示樣本的一些特征 例4-50 >> X=normrnd (0,1,50,1); >> [h,stats]=cdfplot(X) h = 3.0013 stats = min: -1.8740 %樣本最小值 max: 1.6924 %最大值 mean: 0.0565 %平均值 median: 0.1032 %中間值 std: 0.7559 %樣本標(biāo)準(zhǔn)差
圖 4-10 4.6.3 最小二乘擬合直線函數(shù) lsline 格式 lsline %最小二乘擬合直線 h = lsline %h為直線的句柄 例4-51 >> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]'; >> plot(X,'+') >> lsline
4.6.4 繪制正態(tài)分布概率圖形函數(shù) normplot 格式 normplot(X) %若X為向量，則顯示正態(tài)分布概率圖形,，若X為矩陣，則顯示每一列的正態(tài)分布概率圖形,。 h = normplot(X) %返回繪圖直線的句柄 說明 樣本數(shù)據(jù)在圖中用“+”顯示,；如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，則圖形顯示為直線,，而其它分布可能在圖中產(chǎn)生彎曲,。 例4-53 >> X=normrnd(0,1,50,1); >> normplot(X)
圖4-12 4.6.5 繪制威布爾(Weibull)概率圖形函數(shù) weibplot 格式 weibplot(X) %若X為向量，則顯示威布爾(Weibull)概率圖形,，若X為矩陣,，則顯示每一列的威布爾概率圖形。 h = weibplot(X) %返回繪圖直線的柄 說明 繪制威布爾(Weibull)概率圖形的目的是用圖解法估計(jì)來自威布爾分布的數(shù)據(jù)X,，如果X是威布爾分布數(shù)據(jù),，其圖形是直線的，否則圖形中可能產(chǎn)生彎曲。 例4-54 >> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1); >> weibplot(r)
圖4-13 4.6.6 樣本數(shù)據(jù)的盒圖函數(shù) boxplot 格式 boxplot(X) %產(chǎn)生矩陣X的每一列的盒圖和“須”圖,，“須”是從盒的尾部延伸出來,，并表示盒外數(shù)據(jù)長度的線，如果“須”的外面沒有數(shù)據(jù),，則在“須”的底部有一個(gè)點(diǎn),。 boxplot(X,notch) %當(dāng)notch=1時(shí)，產(chǎn)生一凹盒圖,，notch=0時(shí)產(chǎn)生一矩箱圖,。 boxplot(X,notch,'sym') %sym表示圖形符號，默認(rèn)值為“+”,。 boxplot(X,notch,'sym',vert) %當(dāng)vert=0時(shí),，生成水平盒圖，vert=1時(shí),，生成豎直盒圖（默認(rèn)值vert=1）,。 boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis定義“須”圖的長度，默認(rèn)值為1.5,，若whis=0則boxplot函數(shù)通過繪制sym符號圖來顯示盒外的所有數(shù)據(jù)值,。 例4-55 >>x1 = normrnd(5,1,100,1); >>x2 = normrnd(6,1,100,1); >>x = [x1 x2]; >> boxplot(x,1,'g+',1,0)
圖4-14 4.6.7 給當(dāng)前圖形加一條參考線函數(shù) refline 格式 refline(slope,intercept) % slope表示直線斜率，intercept表示截距 refline(slope) slope=[a b],，圖中加一條直線：y=b+ax,。 例4-56 >>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]'; >>plot(y,'+') >>refline(0,3)
圖4-15 4.6.8 在當(dāng)前圖形中加入一條多項(xiàng)式曲線函數(shù) refcurve 格式 h = refcurve(p) %在圖中加入一條多項(xiàng)式曲線，h為曲線的環(huán)柄,，p為多項(xiàng)式系數(shù)向量,，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中p1為最高冪項(xiàng)系數(shù),。 例4-57 火箭的高度與時(shí)間圖形，加入一條理論高度曲線,，火箭初速為100m/秒,。 >>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356]; >>plot(h,'+') >>refcurve([-4.9 100 0])
圖4-16 4.6.9 樣本的概率圖形函數(shù) capaplot 格式 p = capaplot(data,specs) �ta為所給樣本數(shù)據(jù)，specs指定范圍,，p表示在指定范圍內(nèi)的概率,。 說明 該函數(shù)返回來自于估計(jì)分布的隨機(jī)變量落在指定范圍內(nèi)的概率 例4-58 >> data=normrnd (0,1,30,1); >> p=capaplot(data,[-2,2]) p = 0.9199
圖4-17 4.6.10 附加有正態(tài)密度曲線的直方圖函數(shù) histfit 格式 histfit(data) �ta為向量，返回直方圖 和正態(tài)曲線,。 histfit(data,nbins) % nbins指定bar的個(gè)數(shù),， 缺省時(shí)為data中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的平方根。 例4-59 >>r = normrnd (10,1,100,1); >>histfit(r)
4.6.11 在指定的界線之間畫正態(tài)密度曲線函數(shù) normspec 格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs指定界線,，mu,sigma為正態(tài)分布的參數(shù)p 為樣本落在上,、下界之間的概率。 例4-60 >>normspec([10 Inf],11.5,1.25)
圖4-19 4.7 參數(shù)估計(jì)4.7.1 常見分布的參數(shù)估計(jì)命令 β分布的參數(shù)a和b的最大似然估計(jì)值和置信區(qū)間 函數(shù) betafit 格式 PHAT=betafit(X) [PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA) 說明 PHAT為樣本X的β分布的參數(shù)a和b的估計(jì)量 PCI為樣本X的β分布參數(shù)a和b的置信區(qū)間，是一個(gè)2×2矩陣,，其第1例為參數(shù)a的置信下界和上界,，第2例為b的置信下界和上界，ALPHA為顯著水平,，（1-α）×100%為置信度,。 例4-61 隨機(jī)產(chǎn)生100個(gè)β分布數(shù)據(jù)，相應(yīng)的分布參數(shù)真值為4和3,。則4和3的最大似然估計(jì)值和置信度為99%的置信區(qū)間為： 解： >>X = betarnd (4,3,100,1); %產(chǎn)生100個(gè)β分布的隨機(jī)數(shù) >>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度為99%的置信區(qū)間和參數(shù)a,、b的估計(jì)值 結(jié)果顯示 PHAT = 3.9010 2.6193 PCI = 2.5244 1.7488 5.2776 3.4898 說明 估計(jì)值3.9010的置信區(qū)間是[2.5244 5.2776]，估計(jì)值2.6193的置信區(qū)間是[1.7488 3.4898],。 命令 正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì) 函數(shù) normfit 格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 說明 muhat,sigmahat分別為正態(tài)分布的參數(shù)μ和σ的估計(jì)值,，muci,sigmaci分別為置信區(qū)間，其置信度為,；alpha給出顯著水平α,，缺省時(shí)默認(rèn)為0.05，即置信度為95%,。 例4-62 有兩組(每組100個(gè)元素)正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù),，其均值為10，均方差為2,，求95%的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)值,。 解：>>r = normrnd (10,2,100,2); %產(chǎn)生兩列正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù) >>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r) 則結(jié)果為 mu = 10.1455 10.0527 %各列的均值的估計(jì)值 sigma = 1.9072 2.1256 %各列的均方差的估計(jì)值 muci = 9.7652 9.6288 10.5258 10.4766 sigmaci = 1.6745 1.8663 2.2155 2.4693 說明 muci，sigmaci中各列分別為原隨機(jī)數(shù)據(jù)各列估計(jì)值的置信區(qū)間,，置信度為95%,。 例4-63 分別使用金球和鉑球測定引力常數(shù) （1）用金球測定觀察值為：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用鉑球測定觀察值為：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 設(shè)測定值總體為，μ和σ為未知,。對(1),、(2)兩種情況分別求μ和σ的置信度為0.9的置信區(qū)間。 解：建立M文件：LX0833.m X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672]; Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664]; [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球測定的估計(jì) [MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %鉑球測定的估計(jì) 運(yùn)行后結(jié)果顯示如下： mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.6750 6.6813 sigmaci = 0.0026 0.0081 MU = 6.6640 SIGMA = 0.0030 MUCI = 6.6611 6.6669 SIGMACI = 0.0019 0.0071 由上可知,，金球測定的μ估計(jì)值為6.6782,，置信區(qū)間為[6.6750，6.6813],； σ的估計(jì)值為0.0039,，置信區(qū)間為[0.0026，0.0081],。 泊球測定的μ估計(jì)值為6.6640,，置信區(qū)間為[6.6611，6.6669],； σ的估計(jì)值為0.0030,，置信區(qū)間為[0.0019，0.0071]。 命令 利用mle函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 函數(shù) mle 格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估計(jì)值 [phat, pci]=mle %置信度為95% [phat, pci]=mle %置信度由alpha確定 [phat, pci]=mle %僅用于二項(xiàng)分布,，pl為試驗(yàn)次數(shù),。 說明 dist為分布函數(shù)名，如：beta(分布),、bino（二項(xiàng)分布）等,，X為數(shù)據(jù)樣本，alpha為顯著水平α,，為置信度,。 例4-64 >> X=binornd(20,0.75) %產(chǎn)生二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù) X = 16 >> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) %求概率的估計(jì)值和置信區(qū)間，置信度為95% p = 0.8000 pci = 0.5634 0.9427 常用分布的參數(shù)估計(jì)函數(shù) 表4-7 參數(shù)估計(jì)函數(shù)表
說明 各函數(shù)返回已給數(shù)據(jù)向量X的參數(shù)最大似然估計(jì)值和置信度為（1-α）×100%的置信區(qū)間,。α的默認(rèn)值為0.05,，即置信度為95%。 4.7.2 非線性模型置信區(qū)間預(yù)測命令 高斯—牛頓法的非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合 函數(shù) nlinfit 格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非線性函數(shù)的系數(shù),。FUN為用戶提供形如的函數(shù),，該函數(shù)返回已給初始參數(shù)估計(jì)值β和自變量X的y的預(yù)測值。 [beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) �ta為擬合系數(shù),，r為殘差,，J為Jacobi矩陣，beta0為初始預(yù)測值,。 說明 若X為矩陣,，則X的每一列為自變量的取值，y是一個(gè)相應(yīng)的列向量,。如果FUN中使用了@,，則表示函數(shù)的柄。 例4-65 調(diào)用MATLAB提供的數(shù)據(jù)文件reaction.mat >>load reaction >>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta) betafit = 1.2526 0.0628 0.0400 0.1124 1.1914 命令 非線性模型的參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間 函數(shù) nlparci 格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度為95%的置信區(qū)間,，beta為非線性最小二乘法估計(jì)的參數(shù)值,，r為殘差，J為Jacobian矩陣,。nlparci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入。 例4-66 調(diào)用MATLAB中的數(shù)據(jù)reaction,。 >>load reaction >>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta) beta = 1.2526 0.0628 0.0400 0.1124 1.1914 resids = 0.1321 -0.1642 -0.0909 0.0310 0.1142 0.0498 -0.0262 0.3115 -0.0292 0.1096 0.0716 -0.1501 -0.3026 J = 6.8739 -90.6536 -57.8640 -1.9288 0.1614 3.4454 -48.5357 -13.6240 -1.7030 0.3034 5.3563 -41.2099 -26.3042 -10.5217 1.5095 1.6950 0.1091 0.0186 0.0279 1.7913 2.2967 -35.5658 -6.0537 -0.7567 0.2023 11.8670 -89.5655 -170.1745 -8.9566 0.4400 4.4973 -14.4262 -11.5409 -9.3770 2.5744 4.1831 -41.7896 -16.8937 -5.7794 1.0082 11.8286 -51.3721 -154.1164 -27.7410 1.5001 9.1514 -25.5948 -76.7844 -30.7138 2.5790 3.3373 0.0900 0.0720 0.1080 3.5269 9.3663 -102.0611 -107.4327 -3.5811 0.2200 4.7512 -24.4631 -16.3087 -10.3002 2.1141 >>ci = nlparci(beta,resids,J) ci = -0.7467 3.2519 -0.0377 0.1632 -0.0312 0.1113 -0.0609 0.2857 -0.7381 3.1208 命令 非線性擬合和顯示交互圖形 函數(shù) nlintool 格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回?cái)?shù)據(jù)(x,y)的非線性曲線的預(yù)測圖形,，它用2條紅色曲線預(yù)測全局置信區(qū)間。beta0為參數(shù)的初始預(yù)測值,，置信度為95%,。 nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度為(1-alpha)×100% 例4-67 調(diào)用MATLAB數(shù)據(jù) >> load reaction >> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)
圖4-20 命令 非線性模型置信區(qū)間預(yù)測 函數(shù) nlpredci 格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 為預(yù)測值，FUN與前面相同，beta為給出的適當(dāng)參數(shù),，r為殘差,，J為Jacobian矩陣，inputs為非線性函數(shù)中的獨(dú)立變量的矩陣值,。 [ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) �lta為非線性最小二乘法估計(jì)的置信區(qū)間長度的一半,，當(dāng)r長度超過beta的長度并且J的列滿秩時(shí)，置信區(qū)間的計(jì)算是有效的,。[ypred-delta,ypred+delta]為置信度為95%的不同步置信區(qū)間,。 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信區(qū)間的類型，置信度為100(1-alpha)%,。'simopt' = 'on' 或'off' (默認(rèn)值)分別表示同步或不同步置信區(qū)間,。'predopt'='curve' (默認(rèn)值) 表示輸入函數(shù)值的置信區(qū)間， 'predopt'='observation' 表示新響應(yīng)值的置信區(qū)間,。nlpredci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入,。 例4-68 續(xù)前例，在[100 300 80]處的預(yù)測函數(shù)值ypred和置信區(qū)間一半寬度delta >> load reaction >> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta); >> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J) 結(jié)果為： ypred = 10.9113 delta = 0.3195 命令 非負(fù)最小二乘 函數(shù) nnls（該函數(shù)已被函數(shù)lsnonneg代替,，在6.0版中使用nnls將產(chǎn)生警告信息） 格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判斷方程A×x=b的解,，返回在x≥0的條件下使得最小的向量x，其中A和b必須為實(shí)矩陣或向量,。 x = nnls(A,b,tol) % tol為指定的誤差 [x,w] = nnls(A,b) %當(dāng)x中元素時(shí),，，當(dāng)時(shí),。 [x,w] = nnls(A,b,tol) 例4- 69 >> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170],； >> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'； >> x=nnls(A,b) Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG. NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax: [X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] =lsqnonneg(A,b,X0, Options) ; Use OPTIMSET to define optimization options, or type 'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be removed in the future; please use NNLS with the new syntax. x = 0 0.6929 命令 有非負(fù)限制的最小二乘 函數(shù) lsqnonneg 格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的條件下使得最小的向量x,，其中C和d必須為實(shí)矩陣或向量,。 x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0為初始點(diǎn)，x0≥0 x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options為指定的優(yōu)化參數(shù),，參見options函數(shù),。 [x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的殘差 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual表示C*x-d的殘差 例4- 70 >> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]； >> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]',； >> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b) x = 0 0.6929 resnorm = 0.8315 residual = 0.6599 -0.3119 -0.3580 0.4130 4.7.3 對數(shù)似然函數(shù)命令 負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù) 函數(shù) Betalike 格式 logL=betalike(params,data) %返回負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù),，params為向量[a, b]，是分布的參數(shù),，data為樣本數(shù)據(jù),。 [logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info。如果params 中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,，那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差,。 說明 betalike是分布最大似然估計(jì)的實(shí)用函數(shù),。似然函數(shù)假設(shè)數(shù)據(jù)樣本中，所有的元素相互獨(dú)立,。因?yàn)?span style="FonT-FAMiLY: Times new roman">betalike返回負(fù)對數(shù)似然函數(shù),，用fmins函數(shù)最小化betalike與最大似然估計(jì)的功能是相同的。 例4-71 本例所取的數(shù)據(jù)是隨機(jī)產(chǎn)生的分布數(shù)據(jù),。 >>r = betarnd(3,3,100,1); >>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r) logL = -12.4340 info = 0.1185 0.1364 0.1364 0.2061 命令 負(fù)分布的對數(shù)似然估計(jì) 函數(shù) Gamlike 格式 logL=gamlike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的分布的參數(shù)為params（即[a,，b]）的負(fù)對數(shù)似然函數(shù)值 [logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info。如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,，那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差,。 說明 gamlike是分布的最大似然估計(jì)函數(shù)。因?yàn)?span style="FonT-FAMiLY: Times new roman">gamlike返回對數(shù)似然函數(shù)值,，故用fmins函數(shù)將gamlike最小化后,，其結(jié)果與最大似然估計(jì)是相同的。 例4-72 >>r=gamrnd(2,3,100,1); >>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r) logL = 275.4602 info = 0.0453 -0.0538 -0.0538 0.0867 命令 負(fù)正態(tài)分布的對數(shù)似然函數(shù) 函數(shù) normlike 格式 logL=normlike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的,、負(fù)正態(tài)分布的,、參數(shù)為params(即[mu，sigma])的對數(shù)似然函數(shù)值,。 [logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info,。如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值，那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差,。 命令 威布爾分布的對數(shù)似然函數(shù) 函數(shù) Weiblike 格式 logL = weiblike(params,data) %返回由給定樣本數(shù)據(jù)data確定的,、威布爾分布的、參數(shù)為params(即[a,，b])的對數(shù)似然函數(shù)值,。 [logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩陣info。如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值,，那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差,。 說明 威布爾分布的負(fù)對數(shù)似然函數(shù)定義為 例4-73 >>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1); >>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r) logL = 237.6682 info = 0.0004 -0.0002 -0.0002 0.0078 |
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