傅里葉是法國(guó)科學(xué)家,，生于1768年,，因?yàn)槠涞?任何一個(gè)周期函數(shù)都可以通過(guò)正弦函數(shù)組合而來(lái) 理論而出名。當(dāng)時(shí)的研究背景是熱擴(kuò)散處理,，人們考慮用微分方程的公式表示熱運(yùn)動(dòng),，用這種方法第一次得到了結(jié)論。

傅里葉變換把空間域和頻域聯(lián)系起來(lái),，一個(gè)空間域的序列可以通過(guò)其變換得到對(duì)應(yīng)的頻域的序列,。而通過(guò)反變換亦能得到原始的序列。

卷積定理的意義：圖像增強(qiáng)分為頻域和空間域兩類,。對(duì)于空間濾波來(lái)講,，對(duì)整個(gè)圖像進(jìn)行處理的時(shí)候，對(duì)每個(gè)點(diǎn)（x,，y）依次使用移動(dòng)掩膜（可以理解為鄰近點(diǎn)的組合函數(shù)）,，得到對(duì)應(yīng)于該店的響應(yīng)值以替換原來(lái)的像素值，從而達(dá)到增強(qiáng)的效果,。數(shù)學(xué)形式為

其中m為序列位置坐標(biāo),，n為移動(dòng)掩膜f坐標(biāo)標(biāo)志。

（以下轉(zhuǎn)自wiki）

卷積定理指出,，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積,。即，一個(gè)域中的卷積相當(dāng)于另一個(gè)域中的乘積,，例如時(shí)域中的卷積就對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積,。

其中表示f 的傅里葉變換,。右邊的乘法即對(duì)應(yīng)元素的乘積。

通過(guò)此種變換,，可以看到圖像增強(qiáng)時(shí)兩種方法是等價(jià)的,，而且頻域變換時(shí)間復(fù)雜度更低。

利用卷積定理可以簡(jiǎn)化卷積的運(yùn)算量,。對(duì)于長(zhǎng)度為n的序列,，按照卷積的定義進(jìn)行計(jì)算，需要做2n - 1組對(duì)位乘法,，其計(jì)算復(fù)雜度為,；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對(duì)位乘法,，利用傅里葉變換的快速算法之后,，總的計(jì)算復(fù)雜度為。這一結(jié)果可以在快速乘法計(jì)算中得到應(yīng)用,。

數(shù)據(jù)壓縮

由于人類感官的分辨能力存在極限,，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語(yǔ)音、音頻,、圖像,、視頻等信號(hào)的高頻部分除去。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié),，濾除高頻信號(hào)可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過(guò)離散傅里葉變換完成的,。將時(shí)域或空域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域,，僅儲(chǔ)存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號(hào),。

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