數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的“數(shù)”與“形”的科學(xué),。數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個概念的演變而發(fā)展的，也通過這兩個基本概念應(yīng)用到各個不同的領(lǐng)域中去,。代數(shù)是研究“數(shù)”的學(xué)科,，幾何是研究“形”的學(xué)科。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷程中兩者彼此獨立,，又相互纏繞,。幾何（形）的概念用代數(shù)（數(shù)）表示，幾何的目標(biāo)可經(jīng)過代數(shù)計算實現(xiàn),；反之,，代數(shù)語言賦有了幾何背景，可更加直觀地理解它們的意義,，發(fā)現(xiàn)它們的豐富內(nèi)涵,。吳文俊院士指出：幾何代數(shù)化，在近代數(shù)學(xué)的興起和發(fā)展過程中發(fā)揮著決定性的作用,。

   幾何計算的代數(shù)化

   16世紀(jì)前的歐洲,，幾何學(xué)的發(fā)展一直是沿襲綜合(synthetic)的方式,。這種方式強(qiáng)調(diào)從基本幾何體和幾何關(guān)系出發(fā)，在某個公理體系內(nèi)進(jìn)行幾何證明和推斷,。這種歐幾里得的演繹體系長期占據(jù)著西方數(shù)學(xué)的統(tǒng)治地位,。

   17世紀(jì)初，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)幾何,，實現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合,，這與中國古代數(shù)學(xué)的幾何代數(shù)化思想是相通的。坐標(biāo)就是變量,，坐標(biāo)幾何使變量進(jìn)入了數(shù)學(xué),，為微積分的偉大發(fā)現(xiàn)創(chuàng)立了前提條件。17世紀(jì)后半葉,，微積分創(chuàng)始人之一,、大數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為，坐標(biāo)僅僅是數(shù)字,，一串坐標(biāo)就是一串?dāng)?shù)字,，然而坐標(biāo)系作為純粹的外部參照物，它誘導(dǎo)的代數(shù)表示本身沒有幾何意義,，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的只是純粹的代數(shù)計算,。通過坐標(biāo)計算實現(xiàn)幾何研究是一種解析(analytic)的方式。他提出：“如何創(chuàng)造一種幾何語言,，利用它可以直接進(jìn)行幾何計算和幾何推理,？”這形成萊布尼茨的宏偉設(shè)想，即通過幾何語言直接進(jìn)行幾何計算,，直接處理幾何體,，從而以一種既解析又綜合的方式研究幾何學(xué)。經(jīng)過一個半世紀(jì),，萊布尼茨的設(shè)想才有所實現(xiàn),。

   19世紀(jì)中期，首先是格拉斯曼(H.Grassmann)和凱萊(A.Cayley)建立了后來以他們名字命名的向量和多向量的外代數(shù)系統(tǒng),。根據(jù)格拉斯曼的觀點,，一個代數(shù)用于表示幾何的物體，如果通過代數(shù)的加,、減,、乘、除等運算,，能夠表示純粹的幾何物體的加,、減、乘,、除等運算,，得到的代數(shù)運算結(jié)果依然是純粹的幾何體,，那么，這個代數(shù)就是一種幾何語言,，通過它可以直接進(jìn)行幾何計算,。

   格拉斯曼把3維線性空間推廣到n維。通過把n維歐氏空間嵌入到n+1維歐氏向量空間,，為射影幾何建立了真正的幾何語言,。這種語言根本不用坐標(biāo),，當(dāng)需要使用坐標(biāo)時,，可以根據(jù)情況選擇合適的齊次坐標(biāo)。其后,，哈密頓通過建立四元數(shù)系,，把微積分推廣到向量分析，并建立了向量代數(shù),。這是3維歐氏位移空間上的一種幾何語言,。克利福德(W.Clifford)通過建立對偶四元數(shù),，實現(xiàn)了3維歐氏空間中剛體運動的乘法表示,，得到比向量代數(shù)更接近于幾何的語言。1879年,，克利福德建立了“幾何代數(shù)”,，即后來的克利福德代數(shù)，它是正交幾何的真正幾何語言,。

   非歐幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)發(fā)展的劃時代事件,。19世紀(jì)前半葉，羅巴切夫斯基創(chuàng)立了非歐幾何,。羅氏幾何的問世擊破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下,，拓展了人們對幾何學(xué)的認(rèn)識，使幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生革命性的變化,。直到19世紀(jì)后半葉,，羅氏幾何的重要性才得到充分認(rèn)識。非歐幾何為黎曼幾何的創(chuàng)立提供了條件,，而黎曼幾何是愛因斯坦相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),。

   19世紀(jì)中期，大數(shù)學(xué)家高斯的學(xué)生瓦赫特(Wachter )在研究非歐幾何時,，發(fā)現(xiàn)歐氏幾何可以在雙曲空間的某類球面上等距地實現(xiàn),。1872年，李 （S.Lie）在他的博士論文中首次建立了該模型的代數(shù)表示,。這個模型為 n 維歐氏幾何提供的嵌入空間是 n+2 維閔氏向量空間,。由于嵌入空間的正交變換群正好是歐氏空間的共形變換群的雙層覆蓋,，因而這一模型又被稱為共形模型。

   遺憾的是,，歷史上共形模型長期局限于坐標(biāo)表示，它對構(gòu)造歐氏幾何甚至經(jīng)典幾何的真正幾何語言的貢獻(xiàn)長期沒有表現(xiàn)出來,。

   1869年,，貝爾特拉米（E.Beltrami）給出羅氏幾何的直觀解釋,，說明羅氏平面可以看作負(fù)常數(shù)曲率的曲面。1871年,，克萊因建立了射影度量和非歐幾何的關(guān)系。他指出,，歐氏幾何和羅氏幾何都可用射影方法構(gòu)造出來,。1882年,，龐加萊給出了一種模型：取圓的內(nèi)部作為羅氏平面，把垂直于已知圓周的圓弧看作羅氏幾何的直線,，運動是把圓變?yōu)樽陨淼姆囱?。這是現(xiàn)代經(jīng)常使用的非歐幾何在歐氏平面上等距實現(xiàn)的模型。

   這么多杰出的數(shù)學(xué)家參與幾何代數(shù)和幾何模型的研究,，關(guān)注萊布尼茨宏偉設(shè)想的具體實現(xiàn),，充分說明這一數(shù)學(xué)課題的重要性,。遲緩的進(jìn)展表明，幾何代數(shù)和幾何計算的研究面對的道路將是艱難而漫長的,。

   非歐幾何問世的前前后后相繼產(chǎn)生了多種幾何,。各類幾何也出現(xiàn)了相應(yīng)的幾何代數(shù)語言。如今，人們將射影幾何,、仿射幾何,、歐氏幾何、羅氏幾何,、球幾何等幾何統(tǒng)稱為經(jīng)典幾何,。對幾何代數(shù)化而言，自然的問題是能否建立一種幾何代數(shù)語言,，可用于經(jīng)典幾何的統(tǒng)一表示,，使得此類幾何代數(shù)語言的運算結(jié)果同時在不同的幾何中都具有明確的幾何解釋，亦即同一個幾何計算的結(jié)果,，在各類不同的幾何之中具有相應(yīng)的幾何意義,，代表著相應(yīng)的幾何結(jié)論。這是實現(xiàn)幾何計算代數(shù)化必須面對的新挑戰(zhàn),。

   幾何代數(shù)語言

   對于最常用的經(jīng)典幾何,，如何設(shè)計統(tǒng)一的幾何語言，如何應(yīng)用幾何語言進(jìn)行幾何計算呢,？應(yīng)用代數(shù)方法進(jìn)行幾何計算，需要通過三個步驟,。

   建模 給出幾何的代數(shù)表示,。同一個幾何問題可以有各種各樣的代數(shù)表示。所謂用“真正的幾何語言”直接進(jìn)行幾何計算,，就要求代數(shù)表示沒有任何外部參照物,。

   計算 建立代數(shù)處理的算法。要求給出的代數(shù)表示能夠?qū)崿F(xiàn)幾何不變量代數(shù)的高效計算,。

   還原 代數(shù)結(jié)果的幾何解釋,。要求給出的代數(shù)表示在計算過程中和得到的計算結(jié)果能夠做出明確的幾何解釋。

   從數(shù)學(xué)理論的發(fā)展來看,，經(jīng)典幾何的基本要素包括幾何體,、幾何量、幾何關(guān)系,、幾何變換等,，它們的有效表示主要依靠協(xié)變量，即更高維數(shù)幾何空間中的不變量,。因此,，幾何表示的核心是構(gòu)造合適的協(xié)變量代數(shù)，幾何計算的核心是解決不變量代數(shù)的符號計算問題,。

   對于經(jīng)典幾何,，有一類以統(tǒng)一模式生成的協(xié)變量代數(shù)，稱為幾何代數(shù)，它有四大基本成分：表示幾何體的格拉斯曼結(jié)構(gòu),；表示幾何關(guān)系的克利福德乘法,；表示幾何變換的旋量或張量；表示幾何量的括號,。

   在此需要對協(xié)變量代數(shù),、格拉斯曼結(jié)構(gòu)和括號系統(tǒng)做一簡要介紹。

   協(xié)變量代數(shù)包括三個基本成分：基本協(xié)變量,，協(xié)變量之間的乘法,，它們之間的代數(shù)關(guān)系。以平面仿射幾何為例,，基本協(xié)變量是表示點和方向的向量,、表示直線的2-向量和表示平面的3-向量，它們組成格拉斯曼結(jié)構(gòu),；協(xié)變量之間的乘法是格拉斯曼的外積和凱萊的交積,；協(xié)變量之間的代數(shù)關(guān)系是由克拉默法則給出的任意4個向量（或2-向量）之間的線性依賴關(guān)系。這個協(xié)變量代數(shù)稱為2維格拉斯曼-凱萊代數(shù),。

   格拉斯曼結(jié)構(gòu)是表示基本幾何體的一種代數(shù)結(jié)構(gòu),。它具有分層結(jié)構(gòu)，其要與格拉斯曼外積,、凱萊交積以及克利福德對偶運算相容,，即這種代數(shù)結(jié)構(gòu)在這些代數(shù)運算之下是封閉的。相應(yīng)的外積,、交積和對偶算子正好對應(yīng)幾何體的擴(kuò)張,、交和對偶。例如,，在射影幾何,、仿射幾何和正交幾何中，所有的點,、線,、面等的集合具有格拉斯曼結(jié)構(gòu)；在共形幾何代數(shù)表示的歐氏,、雙曲和橢圓幾何中,，所有的點、線,、圓,、面、球等的集合具有格拉斯曼結(jié)構(gòu),。

   表示幾何量的括號系統(tǒng),，就是應(yīng)用代數(shù)表示進(jìn)行幾何計算,，不變量一般采用抽象符號表示，相應(yīng)的不變量系統(tǒng)就是各種括號代數(shù),。

   仍以平面仿射幾何為例,，三角形 ABC 的面積可以用三個頂點的齊次坐標(biāo)組成的 3×3行列式表示（坐標(biāo)多項式），也可以用三個頂點字母的括號 [ABC] 表示,，其中括號算子具有多重線性,、結(jié)合、反對稱性,，并滿足以下的仿射格拉斯曼-普呂克關(guān)系：對任何平面上的點 A,，B，C,，D,，E，F(xiàn),，[A][BCD]-[B][ACD]+[C][ABD]-[D][ABC]= 0,，[AEF][BCD]-[BEF][ACD]+[CEF][ABD]-[DEF][ABC]=0。

   平面仿射幾何的基本不變量系統(tǒng)就是由兩種括號 [A],，[ABC]（即所謂基本不變量）生成的多項式環(huán),，模去由上式的左端生成的理想（即所謂基本代數(shù)關(guān)系）得到的商環(huán)，稱為2維仿射括號代數(shù),。

   基于不變量的幾何計算研究相當(dāng)困難,，進(jìn)展緩慢。亟待解決的基本問題包括如下三項：（1）計算思想的改進(jìn)：不變量的幾何計算的關(guān)鍵是控制中間過程表達(dá)式的爆炸式膨脹,。原有的不變量計算是采用標(biāo)準(zhǔn)化(normalization)思想，它不僅不能控制中間過程的爆炸,，反而助長爆炸,。為此，必須拋棄部分原有的思想,，建立新的計算思想,。（2）基本運算效能的提高：基本的不變量代數(shù)運算包括展開和化簡。展開通常指將高級不變量表示為低級不變量的多項式形式,；化簡包括因式分解和項的合并,。原有的不變量計算是基于拉直(straightening)算法，它僅僅解決了是否一個不變量多項式等于0的恒等性判斷（需要指出,，這是相當(dāng)不平凡的事情）,。對于展開和化簡等基本運算，在經(jīng)典不變量代數(shù)中從未系統(tǒng)地研究過,。（3）高級不變量系統(tǒng)的建立：幾何問題中出現(xiàn)的不變量常常是基本不變量的有理多項式,，這說明基本不變量用于幾何計算過于低級，需要構(gòu)造高級不變量來簡化幾何計算。實用的高級不變量系統(tǒng)應(yīng)該滿足,，實際問題中的不變量一般是高級不變量的有理單項式,。

   共形幾何代數(shù)(Conformal Geometric Algebra，CGA)最初稱作廣義齊次坐標(biāo),，是新的幾何表示和計算系統(tǒng),。它是完全不依賴于坐標(biāo)的經(jīng)典幾何的統(tǒng)一語言，不僅擁有用于幾何建模的協(xié)變量代數(shù),，而且擁有用于幾何計算的高級不變量算法,。在表示方面，CGA結(jié)合共形模型和幾何代數(shù),，提供了表示幾何體的格拉斯曼結(jié)構(gòu),，表示幾何變換的統(tǒng)一旋量作用，和表示幾何量的括號系統(tǒng),。在計算方面,，CGA擁有新的高級不變量代數(shù)，即零括號代數(shù)(Null Brackets Algebra,，NBA),；擁有新的計算思想，即基于括號的表示,、消元和展開以得到分解和最短的結(jié)果,；擁有不變量的展開和化簡的高效計算技術(shù)。從而,，可以用來進(jìn)行極其復(fù)雜的符號幾何計算,，是初等幾何最實用的不變量系統(tǒng)，在幾何數(shù)據(jù)處理和幾何計算方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢,。

   共形幾何代數(shù)的創(chuàng)立,，是幾何代數(shù)和幾何計算研究令人矚目的實質(zhì)性進(jìn)展，是萊布尼茨宏偉設(shè)想迄今為止最成功的實現(xiàn),。

   共形幾何代數(shù)的表示工具

   作為幾何的高級不變量和協(xié)變量系統(tǒng)的結(jié)合,，CGA為經(jīng)典幾何提供了統(tǒng)一和簡潔的齊性代數(shù)框架。與經(jīng)典的共形模型不同的是CGA無需實行仿射化,，不需引入原點,，歐氏幾何的表示完全不依賴于坐標(biāo)。CGA使代數(shù)運算和幾何計算相一致,。

   CGA的格拉斯曼結(jié)構(gòu)

   經(jīng)典的共形模型是建立CGA的基礎(chǔ),，它是n+2維閔氏向量空間上的幾何代數(shù)，記為?詚n+1,1 ,。設(shè)a=(a1,a2,，…,，an+1,an+2),b=(b1,b2,…,bn+1,bn+2)是?詚n+1,1 中的向量，在標(biāo)準(zhǔn)正交基之下,，它們的閔氏內(nèi)積定義是(a·b)=a1b1+a2b2+…+an+1bn+1-an+2bn+2 ,。?詚n+1,1中的非零向量x，其自身的內(nèi)積為0,，即（x·x)=x2=0,，稱為null向量。null向量的集合記為N,。

   詚n+1,1具有自然的格拉斯曼結(jié)構(gòu),，表示閔氏正交變換的旋量作用，是幾何代數(shù)誘導(dǎo)的括號系統(tǒng),。因此,，它是n+2維閔氏正交幾何的一種經(jīng)典語言。經(jīng)典的共形模型是依賴于坐標(biāo)選擇的,。

   詚n+1,1中的正向量s(自身的內(nèi)積大于0的向量)表示Rn的超平面（經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點）或超球面（不經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點）,，由null向量x表示的點x在由正向量s表示的超平面或超球面上，當(dāng)且僅當(dāng)x與 s的內(nèi)積為0,。

   要內(nèi)蘊地表示幾何體,，多向量的原點不能在幾何空間內(nèi)。因此,，在真正的幾何語言中,，幾何表示一般是齊性的。道理是這樣的：如果原點是一個幾何對象,，那么它作為代數(shù)乘法的零元素,，乘以任何其他幾何對象都得到自己。這樣,，在齊性空間的幾何變換下,，由原點表示的幾何對象可以變換到空間任何同類對象。由于代數(shù)乘法作為幾何操作,，在幾何變換下具有不變性,，因此,，得到的結(jié)論只能是幾何空間僅包含唯一幾何體,，它就是原點本身,。對一般的幾何空間,，這顯然是不合理的,。

   CGA是在經(jīng)典共形模型的基礎(chǔ)之上建立的,。CGA的構(gòu)造,，就是從?詚n+1,1中選擇一類格拉斯曼子結(jié)構(gòu),，一類旋量商群和一類括號子系統(tǒng),，給它們賦予歐氏幾何或其他經(jīng)典幾何的解釋,，從而得到經(jīng)典幾何的協(xié)變量代數(shù)表示。

   CGA和經(jīng)典的共形模型的根本區(qū)別在于：在CGA中,，?詚n+1,1中的null向量在表示歐氏幾何中的點時,，不必做仿射化和正交投影，因而是齊性的（表示差一個非零數(shù)量因子唯一）,。其次,，唯一的無窮遠(yuǎn)點e完全確定了唯一的n維歐氏空間，無需引入原點,，因而歐氏幾何的表示完全不依賴于坐標(biāo),。

   在CGA中，?詚n+1,1中的閔氏r-外張量（即r個向量的外積并具有閔氏度規(guī)）表示 n維歐氏空間中的r-2維球面或平面,，其中2≤r≤n+1,。由null向量x表示的點x在由r-外張量 A表示的平面或球面上，當(dāng)且僅當(dāng)x與A的外積為0,。這些r-外張量,、null向量和表示n維歐氏空間的 (n+2)-外張量，構(gòu)成CGA的格拉斯曼結(jié)構(gòu),。在該結(jié)構(gòu)上,，格拉斯曼的外積“∧”表示幾何體的擴(kuò)張，凱萊的交積“∨”表示幾何體的交,，克利福德的對偶算子“~”和正交投影算子P表示幾何體的對偶和正交投影,。

   例如，在歐氏平面上,，一些典型的幾何體和幾何量的表示如下：

   直線ab： e∧a∧b

   圓abc： a∧b∧c

   圓所在平面： e∧a∧b∧c

   圓abc與a’b’c’之交：（a∧b∧c）∨（a’∧b’∧c’）

   圓abc的半徑的平方：（a∧b∧c）2/（e∧a∧b∧c）2幾何構(gòu)造經(jīng)過正交投影算子P和克利福德的對偶算子“~”給出相應(yīng)的幾何特征：

   點c到直線ab的垂足： Pe∧a∧b(c) mod e

   圓abc的圓心： (a∧b∧c)~mod e

   直線ab的法向量：(e∧a∧b)~mod e

   三角形abc的面積：(e∧a∧b∧c)~/2.i.e.,[eabc]/2

   CGA的格拉斯曼結(jié)構(gòu)提供了一種分級表示,，它與幾何體的擴(kuò)張、相交,、對偶和正交投影恰好相容,。因為點的表示完全不依賴于坐標(biāo)，從而分級表示也完全不依賴于坐標(biāo),。

   相比之下,，在由李提出并經(jīng)布拉施凱(W.Blaschke)發(fā)展的李球幾何的代數(shù)模型中，盡管將n維歐氏幾何嵌入到n+3維向量空間,，使得可以用等式的方式表示定向,，但是該代數(shù)模型的格拉斯曼結(jié)構(gòu)沒有幾何意義，因而無法構(gòu)成經(jīng)典幾何語言,。

   CGA的統(tǒng)一旋量作用

   在共形模型中,，閔氏嵌入空間的正交變換在旋量表示下實現(xiàn)了歐氏空間的共形變換。例如,，保持null向量e不變的正交變換實現(xiàn)了歐氏變換,，保持由e張成的1維子空間不變的正交變換實現(xiàn)了相似變換,，等等。

   由于CGA的格拉斯曼結(jié)構(gòu)在閔氏嵌入空間的正交變換下不變,，因而對分級表示的幾何體,，它們的共形變換具有相同的旋量作用。這一特點使得CGA的旋量和作為3維剛體運動表示的對偶四元數(shù)和超旋量有很大區(qū)別,，因為后兩者在不同的幾何體（例如點,、線、面）上的作用是不同的,。

   例如,，3維的剛體運動群可以由8個參數(shù)刻畫，滿足兩個約束,。這一點在CGA,、對偶四元數(shù)和超旋量表示中都是相同的，但是由于后兩者對點,、線,、面的表示沒有格拉斯曼分級結(jié)構(gòu)，因而剛體運動群對不同幾何體的作用方式無法統(tǒng)一,。而CGA具有格拉斯曼分級結(jié)構(gòu),，剛體運動群對不同幾何體的作用是一致的。另外,，對偶四元數(shù)和超旋量只適用于表示3維物體及其剛體運動,，要推廣到高維幾何的表示，則需要借助于CGA,。

   CGA的基本不變量系統(tǒng)

   經(jīng)典的不變量理論研究的是在一般線性群下不變的多項式環(huán),。從幾何觀點看，由于射影幾何的變換群是特殊線性群,，因而經(jīng)典的不變量理論構(gòu)成射影幾何在齊性表示的不變量代數(shù),。這種代數(shù)的基本元素是所謂的括號，因此,，這種環(huán)也稱為括號代數(shù),。例如，在 n-1 維射影空間中取n個點a1,a2,…,，an,，用括號[a1 a2…an]表示n個點的齊次坐標(biāo)組成的n×n階行列式。

   括號代數(shù)作為多項式環(huán)的商環(huán),，即多項式環(huán)模掉一個理想。 定義括號代數(shù)(商環(huán))的理想是多項式生成的所謂格拉斯曼-普呂克 syzygy理想,。對于正交幾何,，它的代數(shù)不變量都是向量的括號和內(nèi)積的多項式,，相應(yīng)的基本不變量代數(shù)稱為內(nèi)積括號代數(shù)，是多項式環(huán)模去兩類多項式生成的所謂內(nèi)積格拉斯曼-普呂克syzygy理想而得到的商環(huán),。

   CGA的基本不變量系統(tǒng)就是閔氏嵌入空間的內(nèi)積括號代數(shù),。這些不變量盡管比較低級，已經(jīng)可以用來進(jìn)行相當(dāng)不平凡的幾何計算和幾何定理自動推廣了,。

   例如,，經(jīng)典的西摩松定理說的是：如果平面上四點0，1,，2,，3共圓，那么從其中任一點,，例如0點,，向其他三點組成的三角形的三邊引垂線，得到垂足1’,，2’,，3’，則三個垂足共線,。

   現(xiàn)在問,，如果0，1,，2,，3不共圓，那么1’,，2’,，3’離共線差多少？

   利用內(nèi)積括號代數(shù),，可以得到以下等式：

   這個齊性等式在進(jìn)行幾何解釋時,，可以采用共形模型的仿射化形式，得到西摩松定理的推廣：對平面上任何四點0,，1,，2，3,，設(shè)1’,，2’，3’是自0向三角形 123 的三邊所引的垂足,，則有

   其中,，S123是三角形 123 的面積，ρ123是三點1,，2,，3確定的圓的半徑,，O123是三點1，2,，3確定的圓的圓心,，d0O123是點0和圓心O123之間的距離。

   CGA對經(jīng)典幾何的統(tǒng)一表示

   本節(jié)所講的經(jīng)典幾何是指一個齊性空間,，其變換群是一般線性群的某個李子群,。經(jīng)典幾何包括射影、仿射,、歐氏,、橢圓、雙曲,、共形幾何等,。由于CGA的齊性表示性質(zhì)和具有格拉斯曼結(jié)構(gòu)，n維射影和仿射幾何可以通過某非零向量做透視投影得到,。具體步驟是,，對任意取定的非零向量a，a決定的透視投影是x|→ a∧x ,。它將n+2維閔氏向量空間?詚n+1,1 映為n維射影空間P n,。事實上，任一null向量x∈?詚n+1,1 ,，a∧x是?詚n+1,1 中的直線,，再將直線a∧x看做一點，即得到n維射影空間P n,。該射影空間在仿射超平面 {x | x·a= -1}上的限制,，正好是n維仿射空間。

   在n+2維閔氏向量空間中,，有三種不同的向量,，它們與自身的內(nèi)積分別等于0、大于0或小于0,。由它們確定的三種仿射化得到三種不同幾何的等距模型：歐氏,、雙曲和橢圓。

   如果不進(jìn)行仿射化,，則三種幾何的代數(shù)框架正好都是CGA,，具有相同的格拉斯曼結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的幾何計算。這樣,，在CGA中的一個等式可以在不同的幾何中進(jìn)行不同的幾何解釋,，從而實現(xiàn)經(jīng)典幾何的統(tǒng)一表示。這種表示的共形性質(zhì)是顯然的,，因為不同的仿射化對幾何度量的影響僅相差一個與切空間無關(guān)的非零因子，而這正是共形度量的定義,。這種統(tǒng)一表示提供了大量強(qiáng)有力工具,。

   以前面所說的西摩松定理為例,，它的幾何構(gòu)型可以用如下方程組描述：

   [0123]=0 0，1,，2,，3共圓

   [e123]≠0 1,2,3不共線

   （e∧0∧1’）·（e∧2∧3）=0

   [e1’23]=0

   （e∧0∧2’）·（e∧1∧3）=0

   [e12’3]=0

   （e∧0∧3’）·（e∧1∧2）=0

   [e123’]=0

   結(jié)論是： [e1’2’3’]=0 (1’,2’,3’共線）。

   現(xiàn)在對上面方程組中的幾何對象做出另外一種解釋：不把e解釋成無窮遠(yuǎn)點,，而是解釋成有限點,；相反地，我們把0解釋成無窮遠(yuǎn)點,。于是在上述方程組中,，通過互換e，0,，得到如下的方程組,，這些方程的幾何意義已明顯改變：

   [e123]=0 1，2,，3共線

   [0123]≠0 0,1,2,3不共線

   （e∧0∧1’）·（0∧2∧3）=0

   [01’23]=0

   （e∧0∧2’）·（0∧1∧3）=0

   [012’3]=0

   （e∧0∧3’）·（0∧1∧2）=0

   [0123’]=0

   結(jié)論變?yōu)椋篬01’2’3’]=0（0,，1’，2’,，3’共圓）

   這樣得到新的幾何構(gòu)型,。由于圓的直徑的第二個端點可以線性構(gòu)造，例如過 0 引入直線02的垂線和直線03的垂線,，它們的交點就是點1’,。這樣新的幾何構(gòu)型完全是線性構(gòu)造了。

   進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),，通過將新的條件寫成如下等價的線性構(gòu)造序列：

   2是0向1’3’引的垂足

   3是0向1’2’引的垂足

   1是0向2’3’引的垂足

   0,，1，2,，3不共線

   1,，2，3共線

   新的幾何構(gòu)型恰好是西摩松定理的逆定理,，只不過三點組1,，2，3和1’，2’,，3’發(fā)生了對換,。

   對幾何構(gòu)造中的幾何對象做出另外一種解釋，可以將非線性問題變成線性問題,，可以得到新的幾何構(gòu)型,，可以使假設(shè)條件轉(zhuǎn)移為結(jié)論，這是CGA所蘊含的強(qiáng)大功能之一,，對幾何建模和幾何推理將有重要意義,。

   （本文獲“國家基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項目”支持，編號2004CB318000,。）

   關(guān)鍵詞: 共形幾何代數(shù) 幾何代數(shù)化 幾何建模

   幾何計算 零括號代數(shù)

   S1’2’3’==S123(1-)

   ｝

   幾何代數(shù)和幾何計算（一）

   4

   ｝

   ｝

   ｝

   ｝

   01’是圓023的直徑

   02’是圓013的直徑

   03’是圓012的直徑

   1’是0向23引的垂足

   2’是0向13引的垂足

   3’是0向12引的垂足

   石赫,，李洪波：研究員，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院數(shù)學(xué)機(jī)械化重點實驗室,，北京100080,。

   Shi He, Li Hongbo：Professor, Key Laboratory of Mathematics

   Machanization，Chinese Academy of Science,，Beijing 100080.

   龐加萊模型：二維雙曲空間

   在歐氏平面的共形實現(xiàn)

   西摩松定理 1’, 2’, 3’是O向三邊的垂足,，則此三點共線。

   自2005年10月1日起,，本刊編輯部啟用新的電話及地址：