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《數(shù)學(xué)人Mathmann》譯者：方建勇/浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系98級(jí)畢業(yè)生 非交換幾何（NCG）是與非交換代數(shù)幾何方法有關(guān)的數(shù)學(xué)分支,，以及由功能的非交換代數(shù)（可能在某種廣義上）本地呈現(xiàn)的空間的構(gòu)造,。非交換代數(shù)是一個(gè)關(guān)聯(lián)代數(shù)，其中乘法不是可交換的,，也就是說(shuō),，x y {\ displaystyle xy} xy并不總是等于y x {\ displaystyle yx} yx;或更一般地是其中一個(gè)主要二元操作不可交換的代數(shù)結(jié)構(gòu);一個(gè)還允許額外的結(jié)構(gòu)，例如,。拓?fù)浠蛞?guī)范,，可能由功能的非交換代數(shù)承載。 動(dòng)機(jī) 主要?jiǎng)訖C(jī)是將空間和功能之間的交換對(duì)偶擴(kuò)展到非交換環(huán)境,。在數(shù)學(xué)上,，幾何本質(zhì)上的空間可以與數(shù)字函數(shù)有關(guān)。一般來(lái)說(shuō),，這種功能將形成交換環(huán),。例如，可以在拓?fù)淇臻gX上取連續(xù)復(fù)值函數(shù)的環(huán)C（X）,。在許多情況下（例如,，如果X是緊湊型Hausdorff空間），則可以從C（X）中恢復(fù)X,，因此,，說(shuō)X具有交換拓?fù)涫怯幸饬x的。 更具體地說(shuō),，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,，可以從空間上的功能的Banach代數(shù)（Gel’fand-Neimark）重建緊湊的Hausdorff拓?fù)淇臻g。在交換代數(shù)幾何中,，代數(shù)方案是交換單位環(huán)的局部初級(jí)譜（A. Grothendieck）,，并且可以從它們上的模塊的準(zhǔn)分布滑輪的類別重建方案（P. Gabriel-A，Rosenberg）,。對(duì)于Grothendieck拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，站點(diǎn)的同源性屬性不變，相應(yīng)類別的滑輪組被抽象地視為一個(gè)對(duì)象（A. Grothendieck）,。在所有這些情況下,，從功能的代數(shù)或其分類版本（在該空間的某些類型的滑輪）重建空間。 拓?fù)淇臻g中的函數(shù)可以相乘并相加,，從而形成交換代數(shù);實(shí)際上這些操作在基礎(chǔ)空間的拓?fù)渲惺潜镜氐?，因此這些功能在基礎(chǔ)空間上形成一個(gè)交換環(huán)。 非交換幾何的夢(mèng)想是將這種二元性推廣到非交換代數(shù),，非交換代數(shù)的滑輪或非交換代數(shù)或運(yùn)算符代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的二元性,，以及某些類型的幾何實(shí)體，并給出代數(shù)和通過(guò)這種二元性的幾何描述。 關(guān)于交換環(huán)對(duì)應(yīng)于通常的仿射方案和通用的C *代數(shù)到通常的拓?fù)淇臻g,，擴(kuò)展到非交換環(huán)和代數(shù)需要拓?fù)淇臻g的非平凡泛化作為“非交換空間”,。因此，有些談?wù)摲墙粨Q拓?fù)?，雖然這個(gè)術(shù)語(yǔ)也有其他意義,。 粒子物理學(xué)中的一些應(yīng)用描述在非交換標(biāo)準(zhǔn)模型和非交換量子場(chǎng)理論中。在物理學(xué)中對(duì)非交換幾何的興趣的突然升高是在其對(duì)1997年制造的M理論中的作用的猜測(cè)之后,。 遍歷理論的動(dòng)機(jī) Alain Connes在技術(shù)層面處理非交換幾何的一些理論根源在于較老的嘗試,，特別是在遍歷理論中。喬治·麥基提出的建立一個(gè)虛擬的亞組理論,，關(guān)于哪個(gè)遍歷小組的行動(dòng)將成為擴(kuò)展類型的均勻空間,，現(xiàn)在已被歸納。 非交換C *代數(shù),，馮·諾依曼代數(shù) （非正交雙重）非交換性C *代數(shù)通常被稱為非交換空間,。這與Gelfand表示類似，這表明交換性C *代數(shù)是雙重局部緊湊Hausdorff空間,。一般來(lái)說(shuō),，可以將任何C *代數(shù)S與拓?fù)淇臻g相關(guān)聯(lián);看到C *代數(shù)的光譜。 對(duì)于σ有限測(cè)量空間和交換馮諾依曼代數(shù)之間的對(duì)偶性,，非交換馮·諾依曼代數(shù)稱為非交換測(cè)量空間,。 光滑的黎曼流形M是具有很多額外結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g。從連續(xù)函數(shù)C（M）的代數(shù)我們只能在拓?fù)渖匣謴?fù)M,。恢復(fù)黎曼結(jié)構(gòu)的代數(shù)不變量是光譜三倍,。它由M上的平滑矢量束E構(gòu)成，例如,。外部代數(shù)束。 E的平方可積分段的希爾伯特空間L2（M,，E）通過(guò)乘法運(yùn)算符表示C（M）,，我們考慮具有緊湊解決方案的L2（M，E）中的無(wú)界運(yùn)算符D（例如簽名運(yùn)算符） ,，使得換向器[D,，f]在f平滑時(shí)是有界的。最近的一個(gè)深層定理[2]指出,，可以從這個(gè)數(shù)據(jù)中恢復(fù)M作為黎曼流形,。 這表明可以將不可逆的黎曼流形定義為頻譜三重（A，H,，D）,，由希爾伯特空間H上的C *代數(shù)A的表示，以及H上的無(wú)界運(yùn)算符D,，緊湊使得[D,，a]對(duì)于A的一些密集子代數(shù)中的所有a是有界的,。譜三元組的研究非常活躍,，并且已經(jīng)構(gòu)建了許多非交換流形的實(shí)例,。 類似于仿射計(jì)算和交換環(huán)之間的對(duì)偶，我們將非交換仿射計(jì)劃的類別定義為關(guān)聯(lián)單環(huán)的類型的雙重,。在該上下文中存在Zariski拓?fù)涞哪承╊愃莆?，以便可以將這樣的仿射方案粘合到更一般的對(duì)象。 還有Cone和Proj的通用漸變環(huán)的概括,，模仿Proj的Serre定理,。即交換分級(jí)代數(shù)的Proj上的O模塊的準(zhǔn)相位滑輪的類別等同于位于Serre子程度有限長(zhǎng)度分級(jí)模塊的環(huán)上的分級(jí)模塊類別;當(dāng)代數(shù)為Noetherian時(shí)，對(duì)于相干滑輪也有類似的定理,。這個(gè)定理被Michael Artin和J. J. Zhang [3]擴(kuò)展為非交換投影幾何的定義,，他也添加了一些一般的環(huán)理論條件（例如，Artin-Schelter規(guī)律性）,。 投影計(jì)劃的許多屬性都延伸到這種情況,。例如，對(duì)于Artin和Zhang的非交換性投影計(jì)劃,，存在著一種著名的Serre二元性的模擬,。[4] A.L. Rosenberg創(chuàng)建了一個(gè)相當(dāng)一般的非交換準(zhǔn)分解方案的相對(duì)概念（超過(guò)基類），提取了Grothendieck對(duì)方程態(tài)射學(xué)的研究,，并根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)滑輪和平面定位函子的類別進(jìn)行了覆蓋[5]由于Fred Van Oystaeyen,，Luc Willaert和Alain Verschoren，其中主要概念是一個(gè)示意代數(shù),，這也是通過(guò)本地化理論的另一個(gè)有趣的方法,。[6] 理論的一些激勵(lì)問(wèn)題涉及將已知的拓?fù)洳蛔兞繑U(kuò)展到非交換（運(yùn)算符）代數(shù)的正式雙重性，以及非交換空間的其他替換和候選,。 Alain Connes的非交換幾何方向的主要起點(diǎn)之一是他發(fā)現(xiàn)了一種與非交換關(guān)聯(lián)代數(shù)和非交換算子代數(shù)相關(guān)的新的同源性理論,，即循環(huán)同源性及其與代數(shù)K理論的關(guān)系（主要通過(guò)Connes -Chern字符圖）。 光滑流形特征類的理論已經(jīng)擴(kuò)展到光譜三元組,，采用運(yùn)算符K理論和循環(huán)同位學(xué)的工具,。現(xiàn)在經(jīng)典指數(shù)定理的幾個(gè)概括允許從光譜三倍體有效提取數(shù)值不變量。循環(huán)同位素的基本特征類,，JLO cocycle,，概括了古典的Chern特征。 非交換空間的示例 在量子力學(xué)的相空間擬合中,，經(jīng)典力學(xué)的相位空間變形為由位置和動(dòng)量算子產(chǎn)生的非交換相位空間,。 |
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