上一篇文章中我從純代數(shù)運算的角度來講述了我對矩陣的一個理解，可以看到,，我們賦予了矩陣相應(yīng)的運算法則,，它就在代數(shù),、分析等領(lǐng)域顯示出了巨大作用。但是純粹的代數(shù)是不足夠的,，要想更加完美,，最好是找到相應(yīng)的幾何對象能夠與之對應(yīng)，只有這樣,，我們才能夠直觀地理解它，以達(dá)到得心應(yīng)手的效果,。

幾何理解

我假設(shè)讀者已經(jīng)看過孟巖的《理解矩陣》三篇文章,，所以更多的細(xì)節(jié)我就不重復(fù)了。我們知道,，矩陣A

[a 11 ,a 12 ] 
[a 21 ,a 22 ] 

事實上由兩個向量[a 11 ,a 21 ] T   和[a 12 ,a 22 ] T   （這里的向量都是列向量）組成,，它描述了一個平面（仿射）坐標(biāo)系。換句話說,，這兩個向量其實是這個坐標(biāo)系的兩個基,，而運算y=Ax  則是告訴我們，在A  這個坐標(biāo)系下的x向量,，在I  坐標(biāo)系下是怎樣的,。這里的I  坐標(biāo)系就是我們最常用的直角坐標(biāo)系，也就是說,，任何向量（包括矩陣?yán)镞叺南蛄浚?，只要它前面沒有矩陣作用于它，那么它都是在直角坐標(biāo)系下度量出來的,。

（事實上,，單位矩陣I是默認(rèn)的直角坐標(biāo)系，這一說法并非總是成立的,，但是我們現(xiàn)在尋求直觀的理解方式,，我們就用最簡單的東西來實行。）

太多的文字未必能夠把問題說清楚,，我們需要一張圖來解釋一下：

圖上所用的矩陣A是
[3,2]
[1,3]
這構(gòu)成了一個仿射坐標(biāo)系,，在這個坐標(biāo)系下，有一個向量x=[2,2] T   ,，它在直角坐標(biāo)系下測得的坐標(biāo)為[10,8] T   ,，現(xiàn)在我們不難發(fā)現(xiàn)，直接用矩陣乘法來計算,，有
Ax=[3?2+2?2,1?2+3?2] T =[10,8] T  
正是我們所期待的,！

為什么會有這樣的特點？其實這源于我們對矩陣乘法的定義,，反過來,，如果我們用這樣的幾何方式來定義矩陣乘法,，那么我們也將得到在書本上了解到的矩陣乘法計算公式。更高階的矩陣也可以作同樣的類比,。推導(dǎo)過程只是一道很簡單的練習(xí)題,，讀者不妨自己動筆嘗試一下？

現(xiàn)在我們又回到孟巖文章上的說法了,，對于矩陣作用于一個向量（對應(yīng)的一個點）,，我們既可以看作點沒有變，只不過是坐標(biāo)系從直角坐標(biāo)系變換為仿射坐標(biāo)系而已,；另一方面,，我們也可以看做矩陣把直角坐標(biāo)系的一個A'點“運動”（變換）到了A點。這兩種說法都行,，正如孟巖所說的“運動是相對的”,。更正確地講，兩種說法都要同時被提及,，才算是最好的理解,。矩陣是一個點到另外一個點的變換，變換的方式就是坐標(biāo)系的變換,。

當(dāng)然,，上面只討論了矩陣乘以向量的乘法，那么矩陣乘以矩陣呢,？比如AB  ,，我們就可以看作是矩陣B  給出了一個坐標(biāo)系，但是這個坐標(biāo)系的各個分量是在A  坐標(biāo)系下測量得到的,，而A  是在直角坐標(biāo)系下測量得到的,，所以要把B  的各個分量（列向量）與矩陣A作乘法后，才得到了這個仿射坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系下的“像”,。這很直接地導(dǎo)致了矩陣乘以矩陣的計算公式,，也很顯然地回答了“為什么n階方陣只有與n階方陣相乘才有意義”，因為兩者要在同一空間中測量,，才能夠完整而唯一地把測量值確定下來,。正如，在n+1維的空間中討論n個n維向量是沒有意義的,，因為在n+1維空間中的觀測者看來,，它們只不過是一個“面”，多出的一個維度可以隨意變化,；在n維空間中討論n+1維向量就更沒有意義了,，因為維度根本就不夠用。

有了這個直觀的幾何意義,，很多問題看起來幾乎都是顯然的了,，比如那些行列式問題,，還有相似矩陣等等，這將在下回談到,。

張量介紹

我們已經(jīng)大概了解到,，數(shù)字的有序組合產(chǎn)生了向量，向量的有序組合產(chǎn)生了矩陣,。這樣兩個新構(gòu)造出來的對象,，作用一個比一個大。那么有人會聯(lián)想到：矩陣的有序組合,，就可以產(chǎn)生一個“立方陣”,，它的功能會不會更加強(qiáng)大？更一般的,，n維立方陣呢？這種聯(lián)想是有道理的,，數(shù)學(xué)上也有這樣的研究對象,，它就是張量。

最通俗的說法,，n階張量就是一個n維立方陣,，所以0階張量就對應(yīng)一個數(shù)，向量,、矩陣分別對應(yīng)1階和2階張量,，我們所說的三維立方陣，就是3階張量啦,。當(dāng)然,，張量屬于很高深的數(shù)學(xué)理論，它的性質(zhì)和作用不可能這么簡單就說清楚了,?；叵氘?dāng)年，愛因斯坦就是用張量分析作為工具,，建立起他那偉大的廣義相對論的,。如果有機(jī)會的話，我們一定會重新造訪它,。

接下來,，我們還是回到矩陣問題，談?wù)劸仃嚨男辛惺健?/p>